青岛版八年级数学下册知识点总结

青岛版八年级数学下册知识点总结

第6章平行四边形

平行四边形及其性质

1.定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形

2.平行四边形的性质

(1)平行四边形的对边平行且相等；

(2)平行四边形的邻角互补，对角相等；

(3)平行四边形的对角线互相平分；

3.平行四边形的判定

平行四边形是几何中一个重要内容，如何根据平行四边形的性质，判定

一个四边形是平行四边形是个重点，下面就对平行四边形的五种判定方

法，进行划分：

第一类：与四边形的对边有关

(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

第二类：与四边形的对角有关

(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

第三类：与四边形的对角线有关

(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形

常见考法

(1)利用平行四边形的性质，求角度、线段长、周长；(2)求平行四

边形某边的取值范围；(3)考查一些综合计算问题；(4)利用平行四

边形性质证明角相等、线段相等和直线平行；(5)利用判定定理证明

四边形是平行四边形。

误区提醒

(1)平行四边形的性质较多，易把对角线互相平分，错记成对角线相

等；(2)"一组对边平行且相等的四边形是平行四边形"错记成”一组对

边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形"后者不是平行四边形的判

定定理，它只是个等腰梯形。

一、特殊的平行四边形

1.矩形：

(1)定义：有一个角是直角的平行四边形。

(2)性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。

(3)判定定理：

①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。②对角线相等的平行四边形

是矩形。③有三个角是直角的四边形是矩形。

直角三角形的性质：直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半。

2.菱形:

(1)定义：邻边相等的平行四边形。

(2)性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且

每一条对角线平分一组对角。

(3)判定定理：

①一组邻边相等的平行四边形是菱形。

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

③四条边相等的四边形是菱形。

(4)面积：

SQ=:就&励两条对角线)

3.正方形：

(1)定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。

(2)性质：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分。

正方形既是矩形，又是菱形

(3)正方形判定定理：

①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；

②一组邻边相等，一个角为直角的平行四边形是正方形；

③对角线互相垂直的矩形是正方形；

④邻边相等的矩形是正方形

⑤有一个角是直角的菱形是正方形；

⑥对角线相等的菱形是正方形。

二、矩形、菱形、正方形与平行四边形、四边形之间的联系：

1.矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四边形，其性质都是在平行四边

形的基础上扩充来的。矩形是由平行四边形增加"一个角为90。"的条件

得到的，它在角和对角线方面具有比平行四边形更多的特性；菱形是由

平行四边形增加"一组邻边相等"的条件得到的，它在边和对角线方面具

有比平行四边形更多的特性；正方形是由平行四边形增加"一组邻边相

等"和"一个角为90。”两个条件得到的，它在边、角和对角线方面都具有

比平行四边形更多的特性。

2.矩形、菱形的判定可以根据出发点不同而分成两类：一类是以四边形

为出发点进行判定，另一类是以平行四边形为出发点进行判定。而正方

形除了上述两个出发点外，还可以从矩形和菱形出发进行判定。

三、判定一个四边形是特殊四边形的步骤：

常见考法

(1)利用菱形、矩形、正方形的性质进行边、角以及面积等计算；

(2)灵活运用判定定理证明一个四边形(或平行四边形)是菱形、矩

形、正方形；

(3)一些折叠问题；

(4)矩形与直角三角形和等腰三角形有着密切联系、正方形与等腰直

角三角形也有着密切联系。所以，以此为背景可以设置许多考题。

误区提醒

(1)平行四边形的所有性质矩形、菱形、正方形都具有，但矩形、菱

形、正方形具有的性质平行四边形不一定具有，这点易出现混淆；

(2)矩形、菱形具有的性质正方形都具有，而正方形具有的性质，矩

形不一定具有，菱形也不一定具有，这点也易出现混淆；

(3)不能正确的理解和运用判定定理进行证明，(如在证明菱形时，

把四条边相等的四边形是菱形误解成两组邻边相等的四边形是菱形)；

(3)再利用对角线长度求菱形的面积时，忘记乘；(3)判定一个四边

形是特殊的平行四边形的条件不充分。

平行四边形的判定知识点

1.定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形

2.平行四边形的性质

(1)平行四边形的对边平行且相等；

(2)平行四边形的邻角互补，对角相等；

(3)平行四边形的对角线互相平分；

3.平行四边形的判定

(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形：

(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形：

(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.

对称性：平行四边形是中心对称图形

平行四边形是几何中一个重要内容，如何根据平行四边形的性质，判定一

个四边形是平行四边形是个重点，下面就对平行四边形的五种判定方法，

进行划分：

第一类：与四边形的对边有关

(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

第二类：与四边形的对角有关

(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;

第三类：与四边形的对角线有关

(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形

常见考法

(1)利用平行四边形的性质，求角度、线段长、周长;(2)求平行四边形某边

的取值范围;(3)考查一些综合计算问题;(4)利用平行四边形性质证明角相

等、线段相等和直线平行;(5)利用判定定理证明四边形是平行四边形

特殊的平行四边形知识点

【菱形】

1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2.菱形的性质：

(1)菱形的性质有：①平行四边形的一切性质;②四条边都相等;③对角

线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角;④菱形是对称轴图形，它有

2条对称轴，分别为它的两条对角线所在的直线。

(2)菱形面积=底乂高=对角线乘积的一半。

3.菱形的判定：

(1)用定义判定(即一组邻边相等的平行四边形是菱形)。

(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

(3)四条边都相等的四边形是菱形。

综上可知，判定菱形时常用的思路：

四条边都相等菱形

菱形四边形

平行

四边形有一组邻边相等菱形

【矩形】

1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2.矩形的性质：(1)具有平行四边形的一切性质;(2)矩形的四个角都是

直角；

(3)矩形的四个角都相等。

4.矩形的判定方法：

(1)用定义判定(即有一个角是直角的平行四边形是矩形)；

(2)三个角都是直角的四边形是矩形；

(3)对角线相等的平行四边形是矩形。

综上可知，判定矩形时常用的思路：

【正方形】

1.正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边

形叫做正方形。

2.正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

(1)边：四条边相等，邻边垂直且相等，对边平行且相等。

1(2)角：四个角都是直角。

(3)对角线：对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

3.正方形的判定

(1)根据定义判定;(2)对角线相等的菱形是正方形；

(2)有一个角是直角的菱形是正方形；

(3)有一组邻边相等的矩形是正方形；

(4)对角线互相垂直的矩形是正方形。

4.特殊的平行四边形之间的关系

矩形、麦形是特殊的平行四边形，正方形是更特殊的平行四边形，它

既是矩形，又是菱形，它们之间的关系如图所示：

5.依次连接四边形各边中点所得到的四边形的形状：

(1)依次连接任意四边形各边中点所得到的四边形是平行变形；

(2)依次连接对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是菱形；

(3)依次连接对角线垂直的四边形各边中点所得到的四边形是矩形；

(4)依次连接对角线垂直且相等的四边形各边中点所得到的四边形是正

方形；

三角形的中位线定理知识点

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

(1)三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角

形。

(2)要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一

半。

三角形中位线定理的作用：

位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论1:三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一

半。

结论2:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3:三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4:三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5:三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶

角相等。

初中数学三角形中位线定理知识点总结(二)

三角形中位线定义：

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形共有三

条中位线。

三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位线逆定理：

逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第

三边一半的线段是三角形的中位线。

逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的

线段，是三角形的中位线。

区分三角形的中位线和中线：

三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段；

三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段。

第7章实数

算术平方根

知识要领：若一个正数x的平方等于a,即x人2=a,则这个正数x为

a的算术平方根

算术平方根的双重非负性

1.Va中a?0

2.Va?0

算术平方根产生根号（即算术平方根）的产生源于正方形的对角线

长度''根号二"，这个''根号二"的发现一度引起了毕达哥拉斯学派的恐

慌。因为按当时的权威解释（也就是毕达哥拉斯学派的学说），世界的一切

事物都可以用有理数代表。

对于这个无理数''根号二"，最终人们选取了用根号来表示

算术平方根举例

9的平方根为±3;9的算术平方根为3,正数的平方根都是前面加

士，算术平方根全部都是正数。

算术平方根辨析

算术平方根和平方根是大家学习实数接触最多的概念，两者密不可

分。可对于初学者来说是对''挛生杀手"，很容易在解题过程中产生错误。

算术平方根和平方根到底有哪些区别与联系呢？

一、两者区别

1、定义不同：⑴一般地，如果一个正数x的平方等于a,即

x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根(arithmeticsquare

root)。⑵一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方

根或二次方根(squareroot)。这就是说，如果x2=a,那么x叫做a的

平方根。

2、表示方法不同：(1)a的算术平方根记为Va,读作''根号a",a叫

做被开方数(radicand)。⑵a的平方根记为士Ma,读作''正负根号a”,其

中a叫做被开方数。

3、个数不同：从形式上看，二者的符号主体相似，但是一个数的平

方根要在其算术平方根的前面写上、'±"。这也正好说明了一个正数和零的

算术平方根有且只有一个，而一个正数却有两个互为相反数的平方根。零

只有一个平方根

二、两者联系

1、前提条件相同：算术平方根和平方根存在的前提条件都是''只有非

负数才有算术平方根和平方根”。

2、存在包容关系：平方根包含了算术平方根，因为一个正数的算术

平方根只是其两个平方根中的一个。

3、0的算术平方根和平方根相同，都是0。：a的算术平方根记作

Va,读作''根号a",a叫做被开方数。

要点：

一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。显

然，如果我们知道了这两个平方根的一个，那么就可以及时的根据相

反数的概念得到它的另一个平方根。

如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a

的算术平方根。a的算术平方根记为，读作"根号a",a叫做被开

方数。

规定：0的平方根是0。

负数在实数范围内不能开平方，只有在复数范围内，才可以开平

方根。例如：-1的平方根为±li,-9的平方根为±3i。

平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中的一种。任何

复数都有平方根。算术平方根为：Va=a（a为非负数）被开方数是乘方

运算里的幕。求平方根可通过逆运算平方来求。

开平方：求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫

做被开方数。若x的平方等于a,那么x就叫做a的平方根，即

±Va=±x（a为非负数）

性质

与平方根的关系正数的平方根有两个，它们为相反数，其中正数

的平方根，就是这个数的算术平方根。

产生

根号（即算术平方根）的产生源于正方形的对角线长度"根号

二"，这个"根号二”的发现一度引起了毕达哥拉斯学派的恐慌。

因为按当时的解释（也就是毕达哥拉斯学派的学说），万物皆数（也就是

说世界上所有的事物都可以用数来表示）。对于这个无理数"根号

二"，最终人们选取了用根号来表示。

1、勾股定理知识点

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么.

勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定

理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为

股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了"勾三，股

四，弦五"形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的

三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方

2、勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

常见方法如下：

方法一：

e匕一e一疗

3叫"3。，2，化简可证

方法二：

四个直角三角形的面枳与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形

$=4xla5-c:=lab~r

面积任而为2

形面积为5•9一外’・"匕"

所以M-京=/

方法三：

$3=工（4-力）（4-6）S==-S....c:

,今）、，、，Xlf£Xl3z.、、

化简得证.

3、勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于

直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，

因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形

4、勾股定理的应用

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，

ZC-90*则Ja：-b：-a：

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定

理解决一些实际问题

根号2是有理数吗？

根号2不是有理数

证明：假设根号2是有理数，设根号2=Q/P(P、Q是整数，而且互

质),则Q=根号2*P

所以Q平方=2*P平方，因为右边是2的倍数，故左边Q平方也是2的

倍数，从而Q是2的倍数，设Q=2n,代入Q平方=2*P平方得：2*n

平方=P平方，由于左边是2的倍数，故右边P平方也是2的倍数，从而

P是2的倍数，则P、Q都是2的倍数，即P、Q有公因数2,这与P、

Q互质相矛盾。所以根号2不是有理数，是无理数。

知识概念

1.有理数：

(1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；

正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正

数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；不是有理

数；

(2)有理数的分类:①②

2.数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.

3.相反数：

(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0

的相反数还是0；

(2)相反数的和为0a+b=0a、b互为相反数.

4.绝对值：

(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0,负数的绝对值是它的

相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；

(2)绝对值可表示为：或；绝对值的问题经常分类讨论；

5.有理数比大小：(1)正数的绝对值越大，这个数越大；(2)正

数永远比0大，负数永远比。小；(3)正数大于一切负数；(4)两

个负数比大小，绝对值大的反而小；(5)数轴上的两个数，右边的数

总比左边的数大；(6)大数-小数＞0，小数-大数＜0.

6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若

awO,那么的倒数是；若ab=1a、b互为倒数；若ab=-1a、b互为负

倒数.

7.有理数加法法则：

(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

(2)异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减

去较小的绝对值；

(3)一个数与0相加，仍得这个数.

8.有理数加法的运算律：

(1)加法的交换律：a+b=b+a;

(2)加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c).

9.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即

a-b=a+(-b).

10.有理数乘法法则：

(1)两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；

(2)任何数同零相乘都得零；

(3)几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为

零，积的符号由负因式的个数决定.

11.有理数乘法的运算律：

(1)乘法的交换律：ab=ba;

(2)乘法的结合律：(ab)c=a(be);

(3)乘法的分配律:a(b+c)=ab+ac.

12.有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注

意：零不能做除数

13.有理数乘方的法则：

(1)正数的任何次幕都是正数；

(2)负数的奇次幕是负数；负数的偶次幕是正数；注意：当n为

正奇数时：(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n,当n为正偶数时:(-a)n=an或

(a-b)n=(b-a)n.

14.乘方的定义：

(1)求相同因式积的运算，叫做乘方；

(2)乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，

乘方的结果叫做幕；

15.科学记数法：把一个大于10的数记成ax10n的形式，其中

a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.

16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个

近似数的精确到那一位.

17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，

所有数字，都叫这个近似数的有效数字.

18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.

1、勾股定理的逆定理知识点

如果三角形三边长a,b,c满足，a=b：=c：那么这个三角形是直角三角

形，其中c为斜边.

①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方

法，它通过"数转化为形"来确定三角形的可能形状，在运用这一定理

时，可用两小边的平方和苏-"与较长边的平方作比较，若它们相等

时，以a,b,c为三边的三角形是直角三角形；若三一"《：,时，以

a,b,c为三边的三角形是钝角三角形；若苏，时，以a,b,c

为三边的三角形是锐角三角形；

②定理中a,b,c及。：-"=’：只是一种表现形式，不可认为是唯一的,

如若三角形三边长a,b,c满足,那么以a,b,c为三边的

三角形是直角三角形，但是b为斜边.

③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两

条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形

2、勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即

中，a,b,c为正整数时，称a,b,c为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3、4、5;6、8、10;5、

12、13;7、24、25等。

③用含字母的代数式表示n组勾股数:

（"22，n为正整数）；

:

2n-L2n-2n;2n--2n-l（n为JE^）

川一川,2恸而+必（m>n,m,n为正整数）

3、勾股定理的应用

勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中

线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时，必须把握直角三角形

的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾

股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角

形，以便正确使用勾股定理进行求解.

4、勾股定理逆定理的应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个

三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与

最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的

平方比较而得到错误的结论.

5、勾股定理及其逆定理的应用

勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不

可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，

又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决.常

见图形：

6、互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两

个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它

的逆命题。

平方根知识点

平方根表示法：一个非负数a的平方根记作，读作正负根号a。a叫被开

方数。

中被开方数的取值范围：被开方数a>0

平方根性质：①一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。

②0的平方根是它本身0。③负数没有平方根

开平方；求一个数的平方根的运算，叫做开平方。

平方根与算术平方根区别：

1、定义不同。2表示方法不同。3、个数不同。4、取值范围不同。

联系

1、二者之间存在着从属关系。2、存在条件相同。3、。的算术平方根与

平方根都是0

含根号式子的意义：表示a的平方根，表示a的算术平方根，表示a的负

的平方根。

知识要点

1、二次根式的概念：形如(a》0)的式子叫做二次根式。

注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为

负数没有平方根，所以a》0是6为二次根式的前提条件，如"，G+1,等是二次根式，而Q,

口等都不是二次根式。

2、取值范围

(1)、二次根式行意义的条件：山二次根式的意义可知，当aMO时，Of意义，是：次限式，所以要使

:次根式有意义，只要使被开方数大手或等于零即可。

(2)、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以“ia<0时，没有意义。

3、二次根式,々(a»0)的小负性

G(ae0)表示a的算术平方根，也就是说，J7(a30)是一个非负数，即JZ2o(a》O)。

注意：因为二次根式G(a^O)表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,

所以正负数(a'O)的算术平方根是正负数，即(&尸(a》0),这个性质也就是作负数的算术平方根的

性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若6+、历=0,则a=0,b=0：若

-Ja+hz=0,则a=0,b=0；若>[a+bz=0,则a=0,b=0«

4、二次根式(Gf的性质：(«y=a(a>0)

描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数.

注意：一次根式的性质公式（，?尸=“（a30）是逆用平方根的定义得III的结论。上面的公式也可以反过

来应用：a>0,则“=（，?）-,如：2=（^2）'.—=（./—）'；

2V2

5、二次根式的性质

77'=|«|=r（<,-（））描述为：一个数的平方的算术平方根等尸这个数的绝对值。

注意：（1）、化筒C时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0,则等fa本

身，即4了=同="（"20）；若a是负数，则等于a的相反数-a,

即6=1.414；逐xl.732；逐=2.236：<7==2.646；

2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，值一定有意义：

3、化简J方时，先将它化成同，再根据绝对值的意义来进行化简。

6、（JZf与的异同点

1、不同点：（而『与"表示的意义是不同的，（石）:表示个正数a的算术平方根的平方，而"方表

示一个实数a的平方的算术平方根；在中。20,而而"中a可以是正实数，0,负实数。但（右尸

与“7都是非负数，即（右尸20，后20。因而它的运算的结果是有差别的，（G）2=”（a^O）,

而"=同=*'"）

[-a（a<0）

2、相同点：当被开方数都是IE负数，即a》0时，（6）2=47；a<0时，（右尸无意义，而，7=-«。

7,二次根式的运算

（1）因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移

到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解困式,•变形为积的形式，再移因式到根号外面，

反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的

被开方数并将运算结果化为最简二次根式.

4ab=6•跖（aNO,b^O）；=~^=（bNO,a>0）.

（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,

都适用广二次根式的运算.

立方根知识点

读作"三次根号a"其中，a叫做被开方数，3叫做根指数。（a等于

所有数，包括0）如果被开方数还有指数，那么这个指数（必须是三能约去

的）还可以和三次根号约去。

求一个数a的立方根的运算叫做开立方。

立方根的性质：

⑴正数的立方根是正数.⑵负数的立方根是负数.（3）0的立方根是0.-

般地，如果一个数X的立方等于a,那么这个数X就叫做a的立方根

（cuberoot,也叫做三次方根）。如2是8的立方根，-3分之2是-27分

之8的立方根，0是0的立方根。

立方和开立方运算，互为逆运算。

互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。

负数不能开平方，但能开立方。

立方根如何与其他数作比较?⑴做这两个数的立方

⑵作差

（3）比较被开方数（如三次根号3大于三次根号2）

任何数（正数、负数、或零）的立方根如果存在的话，必定只有一个.

平方根与立方根的区别与联系

-、区别

⑴根指数不同：平方根的根指数为2,且可以省略不写;立方根的根指

数为3,且不能省略不写。

⑵被开方的取值范围不同：平方根中被开方数必需为非负数;立方根

中被开方数可以为任何数。

(3)结果不同：平方根的结果除0之外，有两个互为相反的结果;立方

根的结果只有一个。

二、连系

二者都是与乘方运算互为逆运算

用计算器求平方根和立方根知识点

应用计算器计算时要注意以下几个问题：(1)不同的按键顺序会导致不同的

结果;(2)不同的计算器显示的有效数字不一定完全相同，在开方开不尽的情

况下,如无特殊说明，计算结果一般保留小数点后四个有效数字;(3)凡从计算

器上得到的结果，我们一般约定使用等号.

一、利用计算器计算数的平方根

例1用计算器求36的算术平方根.

解:用计算器求的步骤如下：

所以36的算术平方根是6.

点评:如果是求平方根，则注意在写结论时，应填上"士"号，如上例中36的

平方根为±6.

二、利用计算器计算数的立方根

例2用计算器求0.8456的立方根.

分析:求解时要用到yx上方的键,因此要用功能键进行切换.

解:步骤如下：

=0.9456.

点评:求立方根和求平方根十分类似，区别是在倒数第二步将2改为3,

只是次数不同.另外，如果要求一个负数的立方根，可以先求它的相反数的立

方根,再在结果前加上负号即可.

三、利用计算器探求数学规律

例3借助计算器求下面的式子的值.

(1)；(2)；(3).

仔细观察上面几个式子的运算结果，试猜想的结果，并验证.

解:我们可以利用计算器得到：(1)=3;(2)=33;(3)=333.

仔细观察上面几个式子的运算结果，可猜想：

可以利用提取验证猜想是正确的.

另外,有的计算器功能不同，操作步骤也相应不同.同学们要视实际情况

而定.

实数知识点

实数包括有理数和无理数.其中无理数就是无限不循环小数，有理数就

包括整数和分数.

数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数.本来实数仅称

作数,后来引入了虚数概念，原本的数称作"实数"一一意义是"实在的数

实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类,或正数，负

数和零三类.实数集合通常用字母R或RAn表示.而RAn表示n维实数

空间.实数是不可数的.实数是实分析的核心研究对象.

实数可以用来测量连续的量.理论上，任何实数都可以用无限小数的方

式表示，小数点的右边是一个无穷的数列(可以是循环的，也可以是非循环

的).在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数(保留小数点后n

位,n为正整数).在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数

经常用浮点数来表示.

①相反数（只有符号不同的两个数,我们就说其中一个是另一个的相反

数）实数a的相反数是-a

②绝对值（在数轴上一个数所对应的点与原点0的距离）实数a的

绝对值是：

|a|=①a为正数时,|a|=a

②a为0时,|a|=0

③a为负数时,|a|=a

③倒数（两个实数的乘积是1,则这两个数互为倒数）实数a的倒数

是:1/a（a/0）

与实数相对应的就是虚数：a+bi表示

实数：

定义：仃理数和无理数统称为实数。

分类：

整数

有限小数和无限循环小数

有理数

分数

无理数无限不循环小数

按有理数和无理数分类

正整数

正分数

负整数

负分数

按正、负微

实数的分类

1、有理数：任何一个有理数总可以写成的形式，其中p、q是互质

的整数，这是有理数的重要特征。

2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如、；特定

结构的不限环无限小数,如1.101001000100001……;特定意义的数,

如兀。等。

3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化

简后才下结论。

第8章一元一次不等式

不等式的基本性质知识点

1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等式的方向不变。

2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数,不等式的方向不变。

3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数,不等式的方向改变。

4：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等式的方向不变。

知识导引

不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型，在概念方面，它与方程很类似，尤其重要

的是不等式具有一系列基本性质，而且数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式.

本讲的主要知识点，

1、不等号有与“，“>”，“<”，？”，表示大于或等于；表示小于或等于.

2、一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，即不等式的解集.

3、不等式性质1：不等式两边同时加上或减去一个相同的数，不等号方向不变；

不等式性质2：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；

不等式性质3：不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；

4、在数轴上表示解集，必须注意空心圈与实心点表示的不同含义.

5、不等式解集口诀：大大取大，小小取小，小大大小连起写，大大小小题无解.

6、解决与不等式相关的问题，常用到分类讨论、数形结合等相关概念和方法.

1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式,

不等号的方向不变。

2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的

方向不变。

3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的

方向改变。

4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等

号是不变的，是随着加或乘的运算改变。②如果不等式乘以

0,那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，

那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，

那么不等式乘以的数就不等为0,否则不等式不成立；

一元一次不等式知识点

一、不等式的概念

1、不等式

用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集

对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，

都叫做这个不等式的解。

对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的

集合，简称这个不等式的解集。

求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

3、用数轴表示不等式的方法

二、不等式基本性质

1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向

不变。

2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

三、一元一次不等式

1、一元一次不等式的概念

一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1,且不等

式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步骤：

（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数

化为1

一元一次不等式的概念

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1,系数不等于0的不

等式，叫做一元一次不等式.这个不等式必须同时满足3个条件：（1）只

含有一个未知数；（2）含未知数的式子是整式；（3）未知数的次数是

1.这3个条件缺一不可.如：2x-（4x+1）>3、5y+2<3（y-1）,都是不等

式，而x2-3x+20是关于x的一元一次不等式，则a必须具备的条件是a-

1#0,即aW1.

列一元一次不等式解应用题

步骤：

1.审清题意、设未知数，只能设一个未知数。

2.找等量关系列方程

3.解方程

4.写出结果（也就是答）

5.检验

6.答

一元一次不等式组知识点

1、一元一次不等式组的概念

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等

式组的解集。

求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解

为空集。

2、一元一次不等式组的解法

(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集

(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解

集。

第9章二次根式

二次根式和它的性质知识点

Va2=|a|

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：

1、化简丫22时・，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若

是正数或0,则等于a本身，即Va2=|a|=a(a20)；若a是负数，则等于a

的相反数-a,即Va2=|a|=—a(a<0)；

2、Va2中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，Va2一

定有意义；

3、化简Va2时，先将它化成|a|,再根据绝对值的意义来进行化简。

一'、概念要点:

1.二次根式：式子彳（。20）叫做二次根式:

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：

（1蔽开方数中丕含开方开的尽的因数或因式⑵被开方数中不含分母；（3份母中不含根式:

3.同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：

「a（。＞0）

（1）（Q）三。（。20）；（2）籽0（^7=0）；

、一〃（4V0）

5.二次根式的运算：

（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到

根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可

以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化或最简二次根式苒合并同类二次根式.

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商〉仍作积〈商）的

被开方数并将运算叁果化为最简二次根式.

Vb4b,、

<a>0,b>0)；।一=一产(b>0,a>0).

ayja

（4）有理数的加法交换津、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,

都适用于二次根式的运算.

:、知识要点梳理

知识点一'二次根式的主要性质：

].Q0(a20),J甸=fl(fl-0).”*也(八0),

4.积的算术平方根的性质，匾=而限2。,b>0),

晅邛(心0,6>0)

5.商的算术平方根的性质，4毋

6.若a>620.则石>6

知识点二、二次根式的运算

1.二次根式的乘除运算

(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号

(2)注意每一步运算的算理，

2.二次根式的加减运算先化简，再运算，

3,二次根式的混合运算(1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；

(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用

知识点三、二次根式的运算方法

1,二次根式的乘除运算

(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根

式或有理式；②分母中不含根号.

(2)注意每一步运算的算理；

(3)乘法公式的推广：

(4)注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运

算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考

虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根

式.

2.二次根式的加减运算需要先把二次根式化简，然

后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系

数相加减，被开方数不变。

3.二次根式的混合运算

Q)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算

加减，有括号先算括号里；

(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次

根式的混合运算中也同样适用.

(3)二次根式运算结果应化简.另外，根式的分数必须写

成假分数或真分数，不能写成带分数或小数.

4.简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：

1因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号

外.即：.

2因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则

要进行讨论。

二次根式的加减法知识点

知识点1:同类二次根式

(I)几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几

个二次根式叫做同类二次根式，如这样的二次根式都是同类二次根式。

(H)判断同类二次根式的方法：(1)首先将不是最简形式的二次根式化

为最简二次根式以后，再看被开方数是否相同。(2)几个二次根式是否是同

类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关。

知识点2:合并同类二次根式的方法

合并同类二次根式的理论依据是逆用乘法对加法的分配律，合并同类

二次根式，只把它们的系数相加，根指数和被开方数都不变，不是同类二

次根式的不能合并。

知识点3:二次根式的加减法则

二次根式相加减先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次

根式合并，合并的方法为系数相加，根式不变。

知识点4:二次根式的混合运算方法和顺序

运算方法是利用加、减、乘、除法则以及与多项式乘法类似法则进行

混合运算。运算的顺序是先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号

内的。

知识点5:二次根式的加减法则与乘除法则的区别

乘除法中，系数相乘，被开方数相乘，与两根式是否是同类根式无

关，加减法中，系数相加，被开方数不变而且两根式须是同类最简根式。

计算法则：

二次根式相加减，应先把各个二次根式化为最简

二次根式，然后把其中被开方式相同的二次根式分别

口升・

第10章一次函数

知识点1一次函数和正比例函数的概念

若两个变量X,y间的关系式可以表示成y=l<x+b（k,b为常数，k#0）

的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称

y是x的正比例函数.

知识点2函数的图象

由于两点确定一条直线，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点，直线

与x轴的交点。.不必一定选取这两个特殊点.

画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点(0,0),(1,k)即可.

知识点3一次函数y=kx+b(k,b为常数，kWO)的性质

(1)k的正负决定直线的倾斜方向；

①k>0时，y的值随x值的增大而增大；

②k<0时，y的值随x值的增大而减小.

(2)|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大

①当b>0时，直线与y轴交于正半轴上；

②当bvO时，直线与y轴交于负半轴上；

③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数.

(4)由于k,b的符号不同，直线所经过的象限也不同；

①如图所示，当k>0,b>0时，直线经过第一、二、三象限(直线不经

过第四象限)；

②如图所示，当k>0,6<0时・，直线经过第一、三、四象限(直线不经

过第二象限)；

③如图所示，当k<。，6>0时-，直线经过第一、二、四象限(直线不经

过第三象限)：

④如图所示，当k<0,6<0时・，直线经过第二、三、四象限(直线不经

过第一象限).

(5)由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐

角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的.另外，从平移的

角度也可以分析，例如：直线y=x+1可以看作是正比例函数y=x向上平

移一个单位得到的.

知识点4正比例函数y=kx(kWO)的性质

(1)正比例函数y=kx的图象必经过原点；

(2)当k>0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；

(3)当kvO时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小.

知识点5点P(xO,yO)与直线y=kx+b的图象的关系

(1)如果点P(xO,yO)在直线y=kx+b的图象上，那么xO,yO的值必

满足解析式y=kx+b；

(2)如果xO,yO是满足函数解析式的一对对应值，那么以xO,yO为坐

标的点P(1,2)必在函数的图象上.

例如：点P(L2)满足直线y=x+1,即x=1时，y=2,则点P(1,

2)在直线y=x+l的图象上；点P'(2,1)不满足解析式y=x+1,因

为当x=2时，y=3,所以点P'(2,1)不在直线y