2024年江苏省南京市中考数学5月模拟试题（二）

2024年江苏省南京市中考数学5月模拟试题（二）注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．2024年1月17日，国家统计局公布：2023年末全国人口140967万人，比上年末减少208万人．140967用科学记数法可表示为（

）A． B． C． D．2．整数a满足，则a的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．63．已知，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．4．如图，正五边形内接于，连接，则（

）

A． B． C． D．5．若k为任意整数，则的值总能（

）A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除6．如图，在中，，D为的中点．若点E在边上，且，则的长为（

）A．1 B．2 C．1或 D．1或2二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．的相反数是，9的平方根是．8．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是．9．因式分解：．10．若，，则．11．一个圆锥的主视图是边长为4cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于cm2．12．如图，已知点是矩形的对角线上的一动点，正方形的顶点都在边上，若，则．13．已知点A在第二象限，点O为坐标原点，．反比例函数的图像经过点A，则的取值范围是．14．已知二次函数（是正整数）图像经过点，且与轴有两个不同的交点，则的最大值为．15．如图，在半圆中，点在半圆上，点在直径上，将半圆沿过所在的直线折叠，使恰好经过点．若，，则半圆的直径为．16．如图，正方形的边长为2，点在边上运动（不与点、重合），，点在射线上，且，与相交于点，连接、、．则下列结论：①；②；③；④面积的最大值为，其中正确结论的序号为．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算．18．解不等式组并写出不等式组的整数解．19．人口数据是研究经济社会发展规划的重要依据，阅读以下统计图，并回答问题．年中国城镇人口和乡村人口的统计图(1)下列结论中，正确结论的序号是；①2023年的总人口比2017年的总人口少；②2017年我国乡村人口比上一年下降约；③年我国城镇人口逐年增长，且增长率相同．(2)请结合上图提供的信息，从不同角度写出两个与我国人口相关的结论．20．某博物馆开设了A，B，C三个安检通道．甲、乙两人随机选择一个通道进入博物馆，(1)甲从A通道进入博物馆的概率是；(2)求甲、乙从不同通道进入博物馆的概率．21．甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测10个，甲检测300个零件所用的时间与乙检测240个零件所用的时间相等，求甲、乙两个机器人每小时各检测零件多少个?22．如图，在中，点E，F分别在，上，，连接，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)已知，，，当的长为时，四边形是菱形．23．如图，一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作.无人机悬停在P处，测得前方水平地面上大树的顶端B的俯角为，同时还测得前方某建筑物的顶端D的俯角为．已知点A，B，C，D，P在同一平面内，大树的高度为，建筑物的高度为，大树与建筑物的距离为，求无人机在P处时离地面的高度（参考数据：，）．24．某公司成功研制出一种产品，经市场调研，年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系如图所示，其中曲线为反比例函数图像的一部分，为一次函数图像的一部分．(1)求y与x之间的函数表达式；(2)已知每年该产品的研发费用为40万元，该产品成本价为4元/件，设销售产品年利润为w(万元)，当销售单价为多少元时，年利润最大?最大年利润是多少?(说明：年利润年销售利润研发费用)25．如图，与相交于点E，连接，，．经过A，B，C三点的交于点F，且是的切线．(1)连接，求证：；(2)求证：(3)若，，，，则的半径为．26．已知二次函数．(1)求证：该函数的图像与x轴总有两个公共点；(2)若该函数图像与x轴的两个交点坐标分别为且求证(3)若，，都在该二次函数的图像上，且结合函数的图像，直接写出k的取值范围．27．几何问题中需建构模型去研究图形中元素之间的关系…在中，P是上一点，点E在直线的上方，连接，，，探究下列问题：【认识模型】（1）如图①，，①连接，求证：；②与满足的数量关系为；【运用模型】（2）已知，D是的中点，且，①如图②，若P是的中点，连接，求证：；②若，当点P在上运动时，点E的位置随点P的位置的变化而变化，直接写出的长的最小值．参考答案：一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．C【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，据此求解即可．【详解】解：140967=1.40967×105，故选：C．2．C【分析】本题主要考查无理数的估算，确定即可求得结果【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，所以，只有选项C符合题意，故选：C3．B【分析】由可得，则，根据不等式的性质求解即可．【详解】解：得，则，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了不等式的性质，注意：当不等式两边同时乘以一个负数，则不等式的符号需要改变．4．D【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可．【详解】∵，∴，故选D．【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．5．B【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式．【详解】解：，能被3整除，∴的值总能被3整除，故选：B．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式．6．D【分析】由含的直角三角形的性质可求，利用勾股定理求得，分两种情况讨论，由三角形中位线定理和相似三角形的性质可求解．【详解】解：在中，，∴，∵点D是的中点，∴，∵，∴，如图，当时，∵，，∴，∴，∴，如图，当时，取的中点H，连接，∵点D是中点，点H是的中点，∴，∴，∴，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．/0.5【分析】本题主要考查平方根，相反数的概念，关键是要牢记平方根，相反数的定义．根据相反数，平方根的定义直接求解．【详解】解：的相反数是；∵，∴9的平方根是．故答案为：，8．且【分析】本题考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件．根据被开方数为非负数，以及分式中分母不能为0，列不等式组求解即可．【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，∴，解得：且，故答案为：且．9．【分析】本题考查了因式分解．先根据完全平方公式分解，再根据平方差公式分解即可．【详解】解：．故答案为：．10．【分析】根据同底数幂的乘法运算法则得到，即可解答．【详解】解：∵，，∴，，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算法则，有理数的加法运算法则，掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键．11．【分析】根据题意得圆锥的母线长为4cm，底面圆的半径为2cm，由弧长公式求出圆心角，根据扇形的面积公式求解即可．【详解】解：根据题意得圆锥的母线长为4cm，底面圆的半径为2cm，∴圆锥展开图的弧长为解得∴圆锥的展开图是半径为4cm的半圆∴圆锥的侧面积为（cm2）故答案为：．【点睛】本题考查了弧长公式，扇形的面积，等边三角形的性质，主视图等知识．解题的关键在于明确圆锥展开图的半径与圆心角．12．【分析】根据题意得知，由平行线的性质得到，结合相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义即可解答.【详解】∵，，∴，设则，∴，∵，∴∠∠，∴.故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，将求∠的正切值转化为求∠的正切值是解题的关键.13．/【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握点的坐标特征是解答本题的关键．利用反比例函数图象上点的坐标特征解答本题即可．【详解】解：当反比例函数的图象与图象交于点A时，k的绝对值最大，此时点A的坐标为，，若反比例函数的图象经过点A，则k的取值范围是，故答案为：．14．【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，利用不等式求自变量或函数值的范围，明白“在已知两个三元一次方程的时候，要善于用一个字母表示其它的字母，根据其中一个字母的取值范围来确定要求的代数式的取值范围”是解题的关键．根据已知条件得到关于，，的方程组，用表示和，根据与轴有两个不同的交点，求得的取值范围，再进一步分析求出的最大值【详解】解：把，代入，得：，整理得：，∵二次函数（是正整数）图像与轴有两个不同的交点，∴，∴，，，∴或，解得：或，又∵是正整数，∴，∵，∴，，∴的最大值为，故答案为：．15．【分析】本题考查了利用弧、弦、圆心角的关系求解，结合半圆（或直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握知识点推理、正确计算是解题的关键．利用弧、弦、圆心角的关系，证明，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理列出一元二次方程求解，进而得出半圆的直径即可．【详解】解：如图，点为圆心，过点作交于点，连接、、，∵在半圆中，点在半圆上，点在直径上，将半圆沿过所在的直线折叠，使恰好经过点，∴和是等圆中的圆弧，且所对的圆周角都等于，，∴和所对的圆心角也相等，∴，∴，又∵，，，∴设，则，，，，，∵，∴，整理得：，，∴或，解得：，（负值舍去），∴半圆的直径，故答案为：．16．①②④【分析】如图1中，在上截取，连接．证明，即可判断①②；如图2中，延长到Q，使得，则，即可判断③；设，则，，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题可判断④；从而可得答案．【详解】解：如图1：在上截取，连接，∵，∴，，∵，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，，，故①②正确；如图2，延长到Q，使得，在正方形中，，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴；故③错误，如图1；设，则，，∴，∵，∴时，的面积的最大值为；故④正确，故答案为：①②④．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数最值的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】本题考查了分式的混合运算，先计算括号内的分式加法，再计算分式的除法即可得．熟练掌握分式的运算法则是解题关键．【详解】解：原式．18．，整数解为整数解为、0、1．【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，则不等式组的解集为，所以其整数解为、0、1．19．(1)②(2)见解析【分析】本题主要考查了条形统计图：（1）根据条形统计图中的数据进行逐一判断即可；（2）根据条形统计图中的数据进行描述即可．【详解】（1）解：2023年的总人口14.09亿人比2017年的总人口14亿人多，故①错误；2017年我国乡村人口比上一年下降约，故②正确；年我国城镇人口逐年增长，但增长率逐不同，故③错误；综上，正确结论的序号是②，故答案为：②；（2）根据统计图可得，①年我国城镇人口逐年增长，年我乡村人口逐年减少，说明我国逐渐向城镇化靠拢；②年我国总人口逐年增长，但2023年有所下降，说明我国出生率有所上升．20．(1)(2)甲、乙从不同通道进入博物馆的概率为【分析】本题考查的是利用概率的定义求解概率，列表法或树状图法求解概率，熟练掌握概率的定义，以及列出正确的表格或树状图找出符合条件的可能结果是解题关键．（1）直接利用概率公式求解可得答案；（2）先列表得出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可．【详解】（1）解：进入博物馆总共有三个通道，即三种可能的结果，并且他们发生的可能性相等，而甲从A通道进入博物馆是三种可能结果中的一种结果，其概率为：，故答案为：；（2）根据题意列表如下：甲乙ABCAAAABACBBABBBCCCACBCC总的情况有9种，其中甲、乙从不同通道进入博物馆的情况有6种，则甲、乙从不同通道进入博物馆的概率，答：甲、乙从不同通道进入博物馆的概率为．21．甲机器人每小时检测零件50个，乙机器人每小时检测零件40个．【分析】本题考查分式方程的实际应用．读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．设甲机器人每小时检测零件x个，则乙机器人每小时检测零件个，根据题意，列出关于x的方程，求解并检验即可．【详解】解：设甲机器人每小时检测零件x个，则乙机器人每小时检测零件个，根据题意有：，解得：，经检验是原方程的解，个．答：甲机器人每小时检测零件50个，乙机器人每小时检测零件40个．22．(1)证明过程见详解；(2)【分析】本题考查平行四边形和菱形的判定，难度适中，解题关键是熟练掌握它们的判定方法并灵活运用．（1）根据一组对边平行且相等判断四边形是平行四边形即可；（2）根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可求出的值．【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，．又，，四边形是平行四边形．（2）解：作于点G，作于点H，,四边形是矩形，,，,,，,在中，，设,，则,在中，，，解得：，∴当时，四边形是菱形．23．无人机在处时离地面的高度【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，过点作，过点作，过点作，得，，，，设，则，，利用锐角三角函数的定义表示出，的长，最后列出关于x的方程进行计算，即可解答．【详解】解：过点作，过点作，过点作，则四边形，四边形均为矩形，∴，，，，由题意可知，，，设，则，，在中，，在中，，则，解得：，即：无人机在处时离地面的高度．24．(1)(2)当销售单价为16元时，该产品利润最大，最大利润是104万元【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用，理解题意是解决问题的关键．（1）分两段：当时，当时，利用待定系数法解答，即可求解；（2）设利润为w元，分两段：当时，当时，求出w关于x的函数解析式，再根据反比例函数以及二次函数的性质，即可求解．【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为，∵点在该函数图象上，∴，解得：，∴当时，y与x的函数关系式为，当时，设y与x的函数关系式为，，解得，即当时，y与x的函数关系式为，综上所述，y与x的函数关系式为；（2）当时，，∵，∴y随x的增大而增大，∴w随x的增大而增大，∴当时，w取得最大值，此时，当时，，∴当时，w取得最大值，此时，∵，∴当销售单价为16时，该产品利润最大，最大利润是104万元，答：当销售单价为16元时，该产品利润最大，最大利润是104万元．25．(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）如图，连接，交于点，由切线性质可知，由，，，可推导，进而可知，由垂径定理可得，垂直平分，即可证明结论；（2）如图，连接，由（1）知，，则，结合圆周角定理可证，进而可证明，得，即可证明结论；（3）如图，连接并延长交于点，连接，，结合题意知，由（2）可知，，可得，由（2）知，则，继而可得，可知垂直平分，得，由此可得，设半径为，则，，在中，，列出方程即可求解．【详解】（1）证明：如图，连接，交于点，∵是的切线，∴，即，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，由垂径定理可得，垂直平分，∴；（2）证明：如图，连接，由（1）知，，则，又∵，∴，又∵，∴，∴，即：；（3）解：如图，连接并延长交于点，连接，，∵，，则，由（2）可知，，∴，由（2）知，则，即，∴，又∵，∴垂直平分，∴，在中，，设半径为，则，，在中，，即：，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定及性质，勾股定理等知识，熟悉相关图形的性质，添加辅助线构造相似三角形和直角三角形是解决问题的关键．26．(1)见解析(2)见解析(3)或【分析】（1）先求出，然后利用不等式的性质证明即可；（2）利用根与系数的关系得出，，结合，求出，，然后代入，整理即可得证；（3）分对称轴