分形理论1完整版本

分形理论及其在材料科学中的应用

FractalTheoryandItsApplicationinMaterialsScience现代数学方法在材料科学中的应用数学是科学技术中一门重要的基础学科，在长期发展过程中，它不仅形成了自身完美、严谨的理论体系，而且成为其它科学技术必须的研究手段和工具。随着科学技术的飞速发展，数学的科学地位也发生了巨大的变化。现代数学在理论上更加抽象，方法上更加综合，更加精细，应用也更加广泛。数学与材料的交融产生了许多新的生长点，数学直接为材料科学中非线型现象的定性定量分析提供了精确的语言。分形理论研究材料的断裂表面，材料的结构，薄膜的生长等方面非常重要；有限元在材料力学分析及优化设计上有广泛的应用，是分析内应力、热应力及残余应力等的有效方法；有限元分析（FEA，FiniteElementAnalysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。有限元分析可分成三个阶段，前处理、处理和后处理。前处理是建立有限元模型，完成单元网格划分；后处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。小波分析为研究材料表面活性机理，合成新材料，如晶体、合金、陶瓷颜料等提供了新的思路拓扑学(topology)是研究图象在拓扑变换下不变性质的学科，为研究几何图形的性质以及在晶体结构描述上有重要的应用前景。拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。分形理论在材料中的应用分形由来分形图形

分形现象分形含义分形特征分形维数分形由来自然界有规则的几何可以定义,但是看似无规则的图形,例如山,天上的云等,我们用传统的几何方法无法定义(经典几何研究规则图形，平面解析几何研究一次和二次曲线，微分几何研究光滑的曲线和曲面，传统上将自然界大量存在的不规则形体规则化再进行处理),但却直观认为是山脉和云。1967年美国哈佛大学数学教授曼德布罗特（BenoitB.Mandelbrot）在书中《英国的海岸线有多长？统计自相似与分数维数》提出了”英国的海岸线有多长”（尺度问题）的问题.分形图形(1)分形植物(具有自相似性)在自然界中，有许多景物和都在某种程度上存在这种自相似特性，即它们中的一个部分和它的整体或者其它部分都十分形似。其实，远远不止这些。从心脏的跳动、变幻莫测的天气到股票的起落等许多现象都具有分形特性。这正是研究分形的意义所在。例如，在道·琼斯指数中，某一个阶段的曲线图总和另外一个更长的阶段的曲线图极为相似。分形图形(2)分形风景这张美丽的图片是利用分形技术生成的。在生成自然真实的景物中，分形具有独特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。

分形图形(3)Mandelbrot集的放大(标度不变性)月球模型(分形技术生成)除了自相似性以外，分行具有的另一个普遍特征是具有无限的细致性。上面的动画所演示的是对Mandelbrot集的放大，只要选对位置进行放大，就会发现：无论放大多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会减少。但是，注意观察上图，我们会发现：每次放大的图形却并不和原来的图形完全相似。这告诉我们：其实，分形并不要求具有完全的自相似特性。分形图形(4)Koch雪花图

Kohn雪花和Sierpinski三角形也是比较典型的分形图形，它们都具有严格的自相似特性（仔细看看，是不是这样？）。但是在前面说述的Mandelbrot集合却并不严格自相似。所以，用“具有自相似”特性来定义分形已经有许多局限了.Sierpinski三角形分形的现象(1)

非线性不可逆现象：A.天空中的白云的形态似乎和望远镜的放大倍数无关，不管放大倍数多大，它的形态几乎是保持不变；B.气象预报：长期的气象预报是不可能很准确的，因为随机性总是存在的，而它是无法事先预见的。C.另外对一个特定的地点而言，完全相同的天气（指气温、湿度、风速、风向、阳光、雨、雾等参数）也是绝对不会重现的。分形的现象(2)D.流体力学中的湍流、对流、电子线路的电噪声、某些化学反应等，远离平衡的宏观体系中自发产生时空有序状态（结构）等，这些变化过程中都不是过去的简单重复，而是不可逆地向前变化、发展的，这些变化过程中都包括着偶然性和必然性的统一。以上A、B、C、D这些现象是不可逆性和随机性。分形的含义(1)A.对于非线性科学而言，经典力学、量子力学、相对论都无用武之地，必须有新理论来研究这些科学难题。近年来，混沌（chaos）、分形（Fractal）、耗散结构（dissipativestructure）、协同学（synergetics）、负熵论（negentropics）等理论从不同角度来研究非线性不可逆问题，形成了不同的学派。分形的含义(2)B.分形是由美国IBM（InternationalBusinessMachine）公司研究中心物理部、哈佛大学数学系教授曼德勃罗特（BenoitB.Mandelbrot）在1975年首次提出的，其原意是不规则的、分数的、支离破碎的，1977年，他出版了第一本著作“分形：形态、偶然和维数”（Fractal:form,ChanceandDimension）,标志着分形理论的正式诞生。1982年，他出版了著名的专著“自然界的分形几何学”（TheFractalGeometryofNature）,至此，分形理论初步形成。因此，他也荣获了1985年的Barnard奖。

分形的含义(3)据曼德勃罗特教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。此词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere（“破碎”、“产生无规碎片”）。此外与英文的fraction（“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根。在70年代中期以前，曼德勃罗特一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。曼德勃罗特是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。3．分形和线性近似处理方法的区别长期以来，自然科学工作者，尤其是物理学家和数学家，由于受欧几里得几何学及纯数学方法的影响，习惯于对复杂的研究对象进行简化和抽象，建立起各种理想模型（绝大多数是线性模型），把问题纳入可以解决的范畴。这种线性的近似处理方法也很有效，在许多学科中得到了广泛的应用，解决了许多理论和实际问题，取得了丰硕的成果，推动了各门学科的发展。但是在复杂的动力学系统中，简单的线性近似方法不可能认识与非线性有关的特性，例如：流体中的湍流、对流等。虽然从数学上，这种近似方法也可以对一些极个别的例子可以在某一特定条件下，求出其特解以外，大多数至今都有解不出来。对于复杂一些的非线性系统和过程，则连微分方程（组）也列不出来。而分形则是直接从非线性复杂系统的本身入手，从未经简化和抽象的研究对象本身去认识其内在的规律性，这一点就是分形理论与线性近似处理方法本质上的区别。

4分形的特征4.1自组织现象4.2自相似性4.3标度不变性4.1自组织现象定义就是在某一系统或过程中自发形成时空有序结构或状态的现象，也称之为合作现象或非平衡非线性现象。自组织现象举例(1)1.化学振荡和化学钟把Ce2(SO4)3、KBrO3、CH2（COOH）2、H2SO4及几滴亚铁灵（氧化还原指示剂）混合在一起并搅拌，再把得到的均匀混合物倒入试管，试管里立刻会发生快速的振荡；溶液周期地由红到蓝地改变颜色，一会儿红色，一会儿蓝色，象钟摆一样发生规则的时间振荡。自组织现象举例(2)2.空间有序结构将一石英管用机械泵抽真空，然后通过高频感应炉的感应线圈对石英管施加一个高频交变电场，这时在石英管中就可以看到明暗相间的光环。激光也是光的频率和位相十分有序的。自组织现象举例(3)3.生物链4.2自相似性

定义：一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局限性质或局域结构与整体类似。自相似的举例在欧氏几何中，点线面及立体几何等规则形体是对自然界中事物的高度抽象，也是欧氏几何学的研究范畴，这些人类创造出来的几何体可以是严格对称的，也可以在一定的测量精度范围，制造出两个完全相同的几何。然而自然界中广泛存在的则是形形色色不规则的形体，如地球表面的山脉，河流，海岸线等，这些自然界产生的形体具有自相似特性，它们不可能是严格地对称的，也不存在两个完全相同的形体。从飞机上俯视海岸线，可以发现海岸线并不是规则的光滑的曲线，而是由很多半岛和港湾组成的，随着观察高度的降低（即放大倍数增大），可以发现原来的半岛和港湾又是由很多较小的半岛和港湾组成的。当你沿海岸线步行时，再来观察脚下的海岸线，则会发现更为精细的结构——具有自相似特性的更小的半岛和港湾组成了海岸线。如此一来，一个普通的问题就被提出来，一条海岸线的长度能精确测量吗？答案是否定的，人们无法精确地测量海岸线的长度，因为随着测量的尺子的长度的减小，海岸线的长度会逐渐增大。应用分形理论，人们认识到海岸线的长度是不确定的，它依赖于所使用的测量单位。数学家们设想了许多不规则的几何图形，瑞典数学家科赫（H.VonKoch）于1904年首次提出了Koch曲线，如图（a）它的生成方法是把一条直线等分成三段，将中间一段用夹角为60℃的二条等长的折线来代替，形成一个生成元，然后再把每个直线段用生成元进行代换，经无穷多次迭代后就呈现出一条有无穷多弯曲的Koch曲线，用它来模拟自然界中的海岸线是相当理想的。从图中可以看出，Koch曲线是个分形，具有自相似性。由于它是按一定的数学法则生成的，因此具有严格的自相似性，这类分形通常称之为有规分形。而自然界里的分形，其自相似性并不是严格的，而是在统计意义下的自相似性，海岸线就是其中的一个例子。凡满足统计自相似性的分形称之为无规分形。有规分形和无规分形Koch曲线的形成对于Koch曲线来说，把它分成了四个等份，而每一等份是原来尺寸的(1/3)。所以有N=4和r=1/3。由d=(logN)/(log(1/r))，可以计算d=(log4)/(log3)≈1.261859507143。

Sierpinski三角形的演变在Sierpinski三角形中，我们把三角形分成了三个相等的部分。而每一部分的边长和高只是原先三角形的(1/2)，所以N=3并且r=1/2，根据等式计算的结果则是d=(log3)/(log2)，结果大约等于1.584962500721自相似性的例子1)

树枝与树枝之间，树叶与树叶，叶脉等。2）

太阳系的构造与原子的结构。3）

人类历史（决不是简单的重演）4）

人体中的大脑、神经系统、血管、呼吸系统、消化系统等。5）

我国生物学家张颖清教授提出的全息胚理论：植物的一块根茎，一根枝条，一片叶子都包含着这种植物的全部信息，或者说是一整套基因，它们可以培育成完整的植物体。从分形的角度来看，这正好反映了植物本身所具有的自相似性，是动物学过程中本质特性的体现。这个规律不只是存在于植物之中，在动物中也同样适用，现已发展成生物学的一个新的分支学科——全息生物这里强调的是自相似，而不是相同或简单的重复。另外，自相似性通常只和非线复杂系统的动力学特征有关。总而言之，随着人类对自然界中复杂的、非线性动力学系统行为认识的逐步深化，提出了自相似性新概念，它是包括人类社会在内的自然界中普遍存在的一个客观规律。4.3标度的不变性分形具有自相似性，一个具有自相似特性的物体（系统）必定满足标度不变性，或者说这物体没有特征长度。所谓标度不变性，是指在分形上任选一局部区域，对它进行放大，这时得到的放大图又会显示出原图的形态特性。因此，对于分形，不论将其放大或缩小，它的形态、复杂程度、不规则性等各种特性均不会发生变化，所以标度不变性又称为伸缩对称性。

分形几何与欧氏几何学的差异

描述的对象特征长度表达方式维数欧氏几何学人类创造的简单标准物体有用数学公式为正整数（1，2，3）分形几何学大自然创造的复杂的真实物体无用迭代语言一般是分数（可以是正整数）5分形的数学基础5-1.相似维数5-2.Hausdorff

维数（分数维数)5-3.欧氏几何维数计算5-4.举例

5-1相似维数欧氏空间中非规整几何图形的几何量的计算——经验维数的提出对于点、线、平面图形、空间图形以及曲线或曲面组成的几何图形的维数（欧氏维数）分别为0，1，2，3。对于规整几何图形的几何测量是指长度（边长、周长、对角线长）、面积与体积的测量。所以欧氏几何测量中，可以把这两类图形（分别以正方体和球体作为代表）归纳为如下二点：（1）长度=l,面积=l2,体积=l3(正方体)

（2）长度（半径）=r,面积=πr2,体积=πr3(正方体)1.整数维（拓扑维或传统的维数）

a.点——零维

b.线——一维

c.面——二维

d.体——三维

从上面两式可以看到，长度、面积和体积的量纲分别是长度单位的1，2，3次方，它们恰好与这些几何图形存在空间的欧氏维数相等，而且均为整数。在欧氏几何中对规整几何图形的测量，可以用下式来表示：长度=l面积A=al2体积V=bl3式中a和b为常数，称为几何因子，与具体的几何图形的形状有关。它们是以两点间的直线距离为基础的，而且，它们的量纲数分别等于几何图形存在的空间的维数。以上讨论的维数都是整数，它们的数值与决定几何形状的变量个数及自由度数是一致的。

经验维数的矛盾以上讨论的维数都是整数，它们的数值与决定几何形状的变量及自由度是一致的。也就是说，直线上的任意点可用1个实数表示，平面上的任意点可用由2个实数组成的数组来表，……在1890年有人对经验维数提出了较深刻的疑问，这是因为只用一个实数来表示二维的正方形上的任意点。用一条曲线即可把平面完全覆盖的最好例子是Peano曲线。相似维数的提出Peano曲线可定义为图中折线的极限。从图中可看出，此曲线同样可以把平面完全覆盖。此曲线属于自相似，与Koch曲线一样，处处不能微分，是分形的一个例子，被称为非规整几何图形。Peano曲线也适用于三维以上，即可用一个实数来表示n维空间图形中的任意点。也就说，如果从自由度角度来考虑，也可把n维空间看成一维，这样就产生了矛盾，为了避免维数定义矛盾，必须从根本上重新考虑维数的定义，为此提出了相似维数（SimilarityDimension）。相似维数1.有规则形状的相似维数2.分形的相似维数3.相似维数的意义规则图形的相似维数根据相似性，现在来看线段、正方形和立方体的维数。首先，把线段、正方形和立方体的边分成两等分，这样，线段成为一半长度的两个线段，正方形则是边长为原来边长的1/2的四个小正方形，而立方体则可分为八个小正方体，其边长也为原来边长的1/2。这样，原来的线段、正方形、正方体被看成为分别由2、4、8个把全体分成1/2的相似形组成。2、4、8可改写成21、22、23，这里出现的指数1、2、3分别与其图形的经验维数相一致。一般说来，如果某图形是由把全体缩小为1/a的aD个相似图形构成的，那么此指数D就具有维数的意义。此维数被称之为相似维数。

分形的相似维数按相似维数的定义，Peano曲线是由全体缩小1/2的四个图形构成，4=22，所以它的相似维数为2，与正方形的欧氏维数相一致，前面提到的矛盾就得以解决了。相似维数常用Ds表示。按照其定义，Ds完全没有是整数的必要。如某图形是由全体缩小1/a的b个相似所组成，即b=aD,所以相似维数Ds为Ds=lnb/lna其中讨论的Koch曲线，是由把全体缩小成1/3的四个相似形构成的，因此，按Ds=lnb/lna，Koch曲线的相似维数可表示为：Ds=lnb/lna=ln4/ln3=1.2618这是一个非整数值，它定量地表示了Koch曲线的复杂程度。分形图形虽然一般都比较复杂，但其复杂程度可用非整数维数去定量化。相似维数的意义分形图形虽然一般都比较复杂，但其复杂程度可用非整数维数去定量化。提出相似维数是把经验维数扩大为非整数值的划时代的进展，但按照其定义，它的适用范围就非常有限，因为只有对具有严格的自相似性的有规分形，才能应用这个维数。所以，定义适用于包括随机图形在内任意图形的维数是很必要的。Hausdorff

维数（分数维数）设有一条长度为L的线段，若用一长为r的“尺”作为单位去量它，量度的结果是N，我们说这条线段有N尺。显然N的数值与所用尺的大小有关，它们之间具有下列关系：N（r）=L/r~r-1同理，若测量的是一块面积为A的平面，这时就用边长为r的单位小正方形去测量它，才能得出确定的N值，其N值为：N（r）=A/r2~r-2r越小，测得越准，所需小方块的数目总是比例于A/r2

如果不是用单位小方块去测量，而仅是用r的尺去直接测量，那是测不出这块面积大小的。由此可见，测量任何一个物体都必须要用一种适合于它的“尺”去量度，才能给出正确的数值。同样，可以用半径为r的小球来填满一块体积V，所需小球的数目比例于V/r3。归纳如下：对于任何一个有确定维数的几何体，若用与它相同维数的“尺”去量度，则可得到一确定的数值N；若用低于它维数的“尺”去量它，结果为无穷大；若用高于它维数的“尺”去量它，结果为零。其数学表达式为N（r）~r-DH两边取对数，得DH=lnN（r）/ln(1/r)式中DH称为Hausdorff维数，它可以是整数，也可以是分数，它欧氏几何中的几何体，它们是光滑平整，其D值为1，2，或3，均为整数。但对自然界中的物体，是形形色色的，如Koch曲线，其基本单元由4段等长的线段构成，每段长度为1/3，即N=4，r=1/3DH=ln4/ln3=1.2618DH是个比1大的分数，这反映了Koch曲线要比一般的曲线来得复杂和不规则，它是一条处处连续但不可微分的曲线。欧氏几何分数维数的计算把一个几何对象的线度放大L倍，若它本身成为原来的几何体的k倍，则该对象的维数是D=lnK/lnL例如，把一个正方形，每边放大4倍，图形本身将变为原来的正方形的16倍，即L=4，K=16，所以D=ln16/ln4=2,也就是说，正方形的维数为2。或者，我们按相反的方式，把一个图形划分为N个大小和形态完全相同的小图形，每一个小图形的线度是原图形的r倍，此时维数为D=lnN（r）/ln(1/r)和前面相同分数维的计算举例图（a）表明，人们可以通过一个重复迭加的过程来形成一个分形，而在图（b）中，把一个原来的方块一步步地分割，也构成了一个类似的图形。当k→∞时，上述的二个过程都导致一个分形的形成。N（L）=5k,L=3k

这里的k表示重复的次数，所以DH=ln5k/ln3k=1.465…类似，对逐步分割的情况N（L）=5k,L=3-kDH=ln5k/(1/ln3-k)=1.465…这表明，它们具有相同的Hausdorff维数，DH=1.465。对分形几何的这一表征并不只限于包含在某一平面之内的数学图形或形态，人们还能计算出诸如河流、海岸线、树木、闪电、云层、血管、神经或肠壁绒毛之类真实物体的分形维数，例如人的动脉的分形维数大约为2.7。分形在材料中的应用1.气固相变与分形2.材料的力学行为3.多度域分形

气固相变与分形氧化钼在气固相变时的分形生长，为国内外学术界所关注。由于MO和低价氧化物均有氧化倾向，含氧量高的氧化物在受热时容易蒸发，因此要得到MO—O系统相平衡的可靠资料是很困难的，氧化钼在不同的温度和不同的气氛条件下，有着不同晶体结构。A．

氧化钼分形生长实验设计反应——扩散体系，而且使该体系处于远离平衡的条件下。B．

实验过程是在一个温度可控的气相沉积装置中进行的。将金属钼板

1．

材料的力学行为主要研究材料韧性、断裂韧性和强度这三个方面。对材料断裂表面的传统分析，只能定性地说明断口形貌是脆性、韧性或两者的混合形式等。对断面细节的观察发现，材料中裂纹的扩展往往是按Z字形前进的，每一步都是不规则的，大小不等，方向不一，而且往往在在的Z形裂纹上又有小Z形裂纹，有不同层次的嵌套结构，具有自相似性，在一定的尺度范围内可以认为是分形结构。3.多度域分形同一种材料中可能存在多种分形结构，如沿晶裂纹、穿晶裂纹、位错、空位团、沉积相等，它们都存在于一定的度域范围。这些度域范围有的还互相交叠，统称为多度域分形。分形是一种复杂的几何形体，但并不是所有的复杂几何形体都是分形，惟有具备自相似结构的那些几何形体才可能是分形。分形理论自从它诞生那一天开始就和研究应用密不可分，它的应用范围非常广泛，从大分子到宇宙星系，从自然科学到社会科学，凡是具有自相似性的现象就有分形存在。分形在物理、生物、植物学，信息学与材料领域中广泛存在。

1.分形在生物学方面的应用内尔逊和曼彻斯特用分形几何的方法研究了肺的形态、发生，揭示出气管、支气管都具有分形特征，可以用分维来定量描述，其D=2.76。他们的研究揭示出分维可以成为表征器官形态发生过程的一个定量指标。李后强根据DLA模型，用计算机模拟了具有分形特征的毛细血管的分布，计算出在二维欧式空间中，其D=1.68，在三维欧式空间中，其D=2.4。这说明毛细血管的分布相当复杂，又因为它的分维大于1，所以我们可以通过一定的放大手段探讨其内在规律。

2.分形理论在物理学中的应用

米金提出了集团－集团凝聚（CCA）模型。该模型令所有的粒子同时进入一正方形点阵，做随机运动。当两个粒子相遇后就凝聚成集团，集团也可以随机运动，当与粒子或其他集团相遇后便形成更大的集团。这个过程发展下去便形成分形结构。

3.L系统——植物形态生态学自然界中树木是常见的景物，其形状复杂，结构特征强，对其建模是很困难的。一般来说，为生成形态逼真的树木图形，简单的递归方法是不行的。L系统可无限嵌套，具有高度简洁性和多级结构，为描述植物树木生长和增值过程的形态和结构特征，提供了行之有效的方法。

4.分形理论在图象分割中的应用用分形理论进行图象分割的原理是利用图象的分形维数进行分割。由于分形维数直观上与物体表面的粗糙程度相吻合，而自然界中的不同纹理粗糙度有很大差别。因此，可以以分形维数作为区分不同类别纹理的有效参数。特别是在区分自然场景中的人造物体时，因为人造物体本身不具有自相似性结构的特点，不满足分形模型，而自然景物存在自相似性。所以，利用分形维数不同，便可将人造物体和自然景物两者分割出来。

5.分形在语音信号处理中的应用声学及空气动力学理论已证明，语音信号是一个复杂的非线性过程，其中存在着混沌机制，而分形理论是描述混沌信号的一种手段。不同的发音人，D值不同，女性的D值大于男性。不同音节的D值有不同的取值范围，大致按下列顺序递减：擦音、塞擦音、塞音、元音、浊辅音。有人通过2S中的持续发音，算得波形分形维数D的近似值为：海豚约为1.90，人的耳语1.49，猫约为1.74，生气的猫1.78。所以D可作为说话人识别语音、分割语音的一个辅助特征。

6.分形在材料科学中的应用在材料科学的许多过程中均存在大量的无规分形。如材料的断裂、材料的磨损、薄膜的生长、陶瓷粉体流变学、材料的烧结与氧化过程，都伴随有无规分形的出现。

分形在材料磨损表面中的应用陶瓷材料的冲蚀磨损是一个复杂的动态力学过程，它涉及到诸多因素。冲蚀磨损后，陶瓷材料的表面属于非规整的几何表面，蕴藏着关于冲蚀损伤表面的丰富信息，在统计意义上遵从分形的基本规律。因此，可用分形维数对这种非规整的几何表面进行描述。在对ZTA复相陶瓷磨损表面形貌特征进行定量研究和分析中发现，材料的冲蚀表面具有较明显的分形特征。由于ZTA复相陶瓷材料本身为脆性材料，随着粒子冲击速率的增加，材料表面的负载相应增加，从而材料表面的分形维数也随之提高，其分形维数实际上反映了横向裂纹的扩展速度。分形在薄膜材料中的应用在薄膜的生长过程中，人们发现了分形结构，从纳米硅薄膜的生长过程的动力学分析出发，提出了扩散与化学限制凝聚模型（DCLA），认为成膜过程中，反应粒子的扩散运动与化学刻蚀反应同时存在，正是由于化学刻蚀作用才使晶粒的生长增大受到限制，而形成纳米晶粒。林鸿溢在半导体纳米硅薄膜的分形结构研究中指出，当T＝450℃时，分维D＝1.69，为分叉结构；当T＝800℃时，D＝1.76，为岛状结构。林鸿溢认为分形结构的形成对应于薄膜物性的突变和局部的有序化过程。此外，分形理论还可以用于研究薄膜的裂纹等。分形在陶瓷粉体流变学中的应用分形结构既可以预测粉体的流动性,也可以预测粉体在压片机中的填充状况。Peleg

认为粉体颗粒结构的分形维数上限是1.36，因为分形维数在1.68左右的蛛网形粉体粒子已无法构成稳定的力学结构，如果受到压力，蛛网纤细的枝干就会断裂而形成具有较低分形维数的较致密粒子。另外，粉末表面的分形维数可能决定复合材料的强度，而单个粉末粒子的分形维数与形状因子(如丰度、紧密度等)可一起用来预测出一定性能的复合材料所需的粉末添加量。分形在材料烧结与氧化过程中的应用（1）烧结界面中的分形以Mo/ß'-Sialon系与Ta/ß'-Sialon系梯度功能材料(FunctionallyGradientMaterials：FGM)为例，讨论分形在材料烧结机理分析中的应用。梯度功能材料具有许多优异的性能。Mo/ß'-Sialon系梯度功能材料可望用于航天飞行器的表面材料，长期反复在高温、大温度落差条件下工作。利用粉末冶金法通过热压烧结分别制备了十一层等厚的圆片状Mo/ß'-Sialon系与Ta/ß'-Sialon系FGM。实验证实其烧结过程为扩散控制。利用扫