高考数学复习选考部分不等式选讲2证明不等式的基本方法文市赛课公开课一等奖省名师获奖课件

第二节证实不等式基本方法1/642/64【教材基础回顾】1.比较法a>ba<ba=ba>ba<b3/642.综正当普通地,从_________出发,利用_____、公理、_____、性质等,经过一系列_____、_____而得出命题成立,这种证实方法叫做综正当.综正当又叫_________或由因导果法.已知条件定义定理推理论证顺推证法4/643.分析法证实命题时,从___________出发,逐步寻求使它成立_________,直至所需条件为_________或____________________(定义、公理或已证实定理、性质等),从而得出要证命题成立,这种证实方法叫做分析法,这是一个执果索因思索和证实方法.要证结论充分条件已知条件一个显著成立事实5/64【金榜状元笔记】1.证实不等式基本方法(1)比较法:作差(商)比较法.(2)综正当:由因导果法.(3)分析法:执果索因法.6/642.常见结论(1)a2≥0(a∈R).(2)(a-b)2≥0(a,b∈R),其变形有a2+b2≥2ab,≥ab,a2+b2≥(a+b)2.(3)若a,b为正实数,则尤其地,≥2.(4)a2+b2+c2≥ab+bc+ca.7/64【教材母题变式】1.已知a,b∈R+且a≠b,求证:a5+b5>a3b2+a2b3.【证实】因为a5+b5-(a3b2+a2b3)=a5-a2b3+b5-a3b2=a2(a3-b3)+b2(b3-a3)=(a3-b3)(a2-b2)=(a-b)2(a2+ab+b2)(a+b),8/64又因为a≠b,所以(a-b)2>0,又a,b∈R+,所以a2+ab+b2>0,a+b>0,故(a-b)2(a2+ab+b2)(a+b)>0,即a5+b5>a3b2+a2b3.9/642.已知a>0,b>0,c>0,且a,b,c不全相等,求证:10/64【证实】因为a,b,c∈(0,+∞),所以

同理

因为a,b,c不全相等,所以上述三个不等式中最少有一个等号不成立,三式相加,得>2(a+b+c),即>a+b+c.11/643.求证:【证实】

故原不等式成立.12/644.已知a>0且a≠1,P=loga(a3+1),Q=loga(a2+1),试比较P,Q大小.【解析】P-Q=loga(a3+1)-loga(a2+1)=当0<a<1时,0<a3+1<a2+1,0<<1,所以

即P-Q>0,所以P>Q.13/64当a>1时,a3+1>a2+1>0,>1,所以

即P-Q>0,所以P>Q.所以,总而言之,P>Q.14/64【母题变式溯源】题号知识点源自教材1作差法比较大小P21·例12综正当P23·例13分析法P24·例34作差法比较大小P26·习题2.2T715/64考向一综正当证实不等式【典例1】(·全国卷Ⅱ)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d.证实: (1)若ab>cd,则(2)是|a-b|<|c-d|充要条件.16/64【证实】(1)因为由题设a+b=c+d,ab>cd得所以17/64(2)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,a,b,c,d均为正数,所以ab>cd.由(1)得18/64(ii)若则即因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.19/64所以|a-b|<|c-d|.综上,是|a-b|<|c-d|充要条件.20/64【一题多变】1.题中条件改为:a+b=c+d=1,证实:ab+cd≤21/64【证实】因为a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d=1,所以所以ab+cd≤22/642.题中条件改为:a+b+c+d=1,证实:23/64【证实】

当且仅当a=b=c=d=时等号成立.24/64【技法点拨】综正当证实不等式方法(1)综正当证实不等式,要着力分析已知与求证之间,不等式左右两端之间差异与联络.合理进行转换,恰当选择已知不等式,这是证实关键.25/64(2)在用综正当证实不等式时,不等式性质和基本不等式是最惯用.在利用这些性质时,要注意性质成立前提条件.26/64【同源异考·金榜原创】1.已知a>0,b>0,a3+b3=2,证实:(1)(a+b)(a5+b5)≥4.(2)a+b≤2.27/64【证实】(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)所以(a+b)3≤8,所以a+b≤2.28/642.已知△ABC中角A,B,C所正确边长分别为a,b,c,且其中任意两边长均不相等.若a,b,c成等差数列.求证:0<B≤29/64【证实】因为△ABC三边a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,再依据所以B∈所以0<B≤30/64考向二分析法证实不等式【典例2】已知a>0,b>0,2c>a+b,求证:31/64【证实】要证

只要证

即要证|a-c|<即要证(a-c)2<c2-ab,即要证a2-2ac<-ab.32/64因为a>0,所以即要证a-2c<-b,即要证a+b<2c,这即为已知.所以原不等式成立.33/64【技法点拨】分析法证实不等式应注意问题(1)注意依据是不等式基本性质、已知主要不等式和逻辑推理基本理论.34/64(2)注意从要证不等式出发,逐步寻求使它成立充分条件,最终得到充分条件是已知(或已证)不等式.(3)注意恰当地用好反推符号“⇐”或“要证实”“只需证实”“即证实”等词语.35/64【同源异考·金榜原创】1.已知m>0,a,b∈R,求证:36/64【证实】因为m>0,所以1+m>0.欲证成立.只需证实(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2),即证m(a2-2ab+b2)≥0,只要证实a2-2ab+b2≥0,37/64又a2-2ab+b2=(a-b)2≥0显然成立,故38/642.已知a≠b,求证:【证实】要证只需证:

<(a-b)2,即1+a2-+1+b2<a2-2ab+b2,化简1+ab<39/64当1+ab<0时,显然成立,当1+ab≥0时,只需证(1+ab)2<(1+a2)(1+b2),即1+2ab+a2b2<1+a2+b2+a2b2,化简得a2+b2>2ab,即只需证a2+b2>2ab即可,40/64又a≠b,所以a2+b2>2ab,综上可知,当a≠b时,成立.41/64考向三比较法证实不等式◀高频考点42/64【典例3】(1)当p,q都是正数且p+q=1时,试比较(px+qy)2与px2+qy2大小.(2)已知a,b∈R+,求证:aabb≥43/64【解析】(1)(px+qy)2-(px2+qy2)=p2x2+q2y2+2pqxy-(px2+qy2)=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy.因为p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p.所以(px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2.44/64因为p,q为正数,所以-pq(x-y)2≤0,所以(px+qy)2≤px2+qy2.当且仅当x=y时,不等式中等号成立.45/64(2)当a=b时,当a>b时,由指数函数性质知46/64当a<b时,由指数函数性质知所以aabb≥47/64【一题多变】本例(2)小题条件不变,求证:abba≤48/64【证实】

当a=b时,当a>b>0时,49/64当b>a>0时,所以≤1,即abba≤50/64【技法点拨】比较法证实不等式步骤1.作差比较法(1)作差比较法证实不等式普通步骤:①作差:将不等式左右两边式子看作一个整体作差;51/64②变形:将差式进行变形,化简为一个常数,或通分,因式分解变形为若干个因式积,或配方变形为一个或几个平方和等;③判号:依据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差正负号;④结论:必定不等式成立结论.52/64(2)作差比较法应用范围:当被证不等式两端是多项式、分式或对数式时,普通使用作差比较法.53/642.作商比较法(1)作商比较法证实不等式普通步骤:①作商:将不等式左右两边式子作商;②变形:将商式分子放(缩),分母不变,或分子不变,分母放(缩),或分子放(缩),分母缩(放),从而化简商式为轻易和1比较大小形式;54/64③判断:判断商与1大小关系,就是判断商大于1或小于1或等于1;④结论.(2)作商比较法应用范围:当被证不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时,普通使用作商比较法.55/64【同源异考·金榜原创】命题点1作差法证实不等式1.已知a,b为正实数.(1)求证:≥a+b.(2)利用(1)结论求函数y=(0<x<1)最小值.56/64【解析】(1)因为又因为a>0,b>0,所以当且仅当a=b时等号成立.所以≥a+b.57/64(2)因为0<x<1,所以1-x>0,由(1)结论,函数y=≥(1-x)+x=1.当且仅当1-x=x即x=时等号成立.所以函数y=(0<x<1)最小值为1.58/64命题点2作商法证实不等式2.已知a≥1,利用作商比较法,求证:59/64【证实】

又所以原不等式成立.60/64关键素养系列（六十三）逻辑推理——证实不等式中关键素养依据绝对值代数意义去绝对值号,然后分类讨论解不等式组