2023-2024学年雅礼中学高二数学下学期期中考试卷附答案解析

-2024学年雅礼中学高二数学下学期期中考试卷试卷共120分，考试用时120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知，，则（

）A． B． C． D．2．复数满足，则等于（

）A．1 B． C．2 D．43．“”是“方程表示双曲线”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知函数，则A．0 B．1 C．2 D．45．已知是等差数列的前项和，且满足，则（

）A．65 B．55 C．45 D．356．有5名志愿者去定点帮扶3位困难老人，若要求每名志愿者都要帮扶且只帮扶一位老人，每位老人至多安排2名志愿者帮扶，则不同的安排方法共有（

）A．180种 B．150种 C．90种 D．60种7．关于函数，下列说法正确的是（

）①有两个极值点

②的图象关于原点对称③有三个零点

④在上单调递减A．①④ B．②④ C．①③④ D．①②③8．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．设，为不重合的两条直线，，为不重合的两个平面，下列命题正确的是（

）A．若且，则； B．若且，则；C．若且，则； D．若且，则.10．已知函数，则下列结论正确的有（

）A．函数的最小正周期为B．将函数的图象右移个单位后，得到一个奇函数C．是函数的一条对称轴D．是函数的一个对称中心11．定义域为的函数，对任意，且不恒为0，则下列说法正确的是（

）A．B．为偶函数C．若，则关于中心对称D．若，则三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知平面向量，若与共线，则实数．13．的展开式中的系数为.（用数字作答）14．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．设函数．(1)求函数的单调递增区间；(2)，，分别为内角，，的对边，已知，，的面积为，求的周长．16．如图，已知多面体的底面是边长为2的正方形，底面，，且．(1)证明：平面；(2)求四棱锥的体积；(3)求平面与平面所成角的余弦值．17．2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占，并将这200人按年龄分组，第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.(1)求a，并估计参与调查者的平均年龄；(2)把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，得到如下2×2列联表.请将列联表补充完整填入答题卡，并回答：依据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注民生与年龄有关？关注民生问题不关注民生问题合计青少年中老年10合计200(3)将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取4名青少年，记录4人中“不关注民生问题”的人数为，求随机变量时的概率和随机变量的数学期望．附：．0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.82818．已知函数为定义在上的偶函数，且当时，(1)①作出函数在上的图象；②若方程恰有6个不相等的实根，求实数的取值范围；(2)对于两个定义域相同的函数和，若，则称函数是由“基函数和”生成的．已知是由“基函数和”生成的，若，使得成立，求实数的最小值．19．为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划.活动共计50多个班级参与，1000余件物品待出售.摄影社从中选取了20件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三1，2，3班分别有，，的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为.(1)现从三个班中随机抽取一位同学：（i）求该同学有购买意向的概率；（ii）如果该同学有购买意向，求此人来自2班的概率；(2)对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以0元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于2，则在已叫价格基础上增加1元更新叫价，若点数小于3，则在已叫价格基础上增加2元更新叫价；重复上述过程，能叫到10元，即获得以10元为价格的购买资格，未出现叫价为10元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率（精确到0.01）.1．D【分析】先求集合的补集，再结合交集运算可得答案.【详解】因，则，故．故选：D．2．B【分析】先求得复数z再去求其模即得.【详解】由，可得，则.故选：B3．A【分析】若方程表示双曲线，则有，再根据充分条件和必要条件的定义即可判断.【详解】因为方程表示双曲线等价于，所以“”，是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题考查充分条件与必要条件以及双曲线的性质，属于基础题.4．B【详解】函数，有，.故选B.5．D【分析】由等差数列的基本量法及前项和定义求得公差，然后计算出，再由等差数列的性质求得.【详解】设数列的公差为，则，．故选：D6．C【分析】根据题意，结合排列组合的知识，先分组再分配，即可得到结果.【详解】由题意得，先将5名志愿者分成3组，只有一种情况，即种分组方法，再将3组志愿者分配给3为位老人，则共有种安排方法.故选：C7．C【分析】求得，利用导数可知的单调性和极值，即可判断①④，根据极值的符号性判断零点的个数，即可判断③；取特指判断奇偶性，即可判断②.【详解】函数的定义域为，求导得，当或时，，当时，，可知函数在上单调递增，在上单调递减，故④正确；因此的极大值为，极小值为，故①正确；而，且当趋近于时，趋近于，当趋近于，趋近于，因此函数有三个零点，③正确；又因为，则函数不是奇函数，其图象关于原点不对称，②错误.故选：C8．A【分析】根据圆的弦长公式可得，进而根据平行关系可得，利用椭圆定义以及勾股定理即可求解.【详解】过作，由于圆O截直线的弦长为，所以，由于，所以,结合是的中点，所以，故，，化简得，所以，故选：A9．BD【分析】根据线面的位置关系和面面的位置关系可以得出答案.【详解】解：A：若且，则，可能相交、平行或异面，故A错误；B：若且，根据垂直于同一平面的两直线互相平行，故B正确；C：若且，根据面面的位置关系定义可得与可能平行也可能相交，故C错误；D：若且，根据面面平行的判定可知垂直于同一直线的两平面互相平行，故D正确.故选：BD10．AD【分析】根据题中所给的函数解析式，利用正弦型函数的性质，确定出函数的周期，得到A项正确，根据平移变换的原则，求得移动之后的函数解析式，确定其不是奇函数，得到B项错误；求得点对应的函数值，确定其为对称中心的坐标，能够判断C项和D项的正误.【详解】，∴，A正确；将的图象右移个单位后，得函数的图像，不满足，所以不是奇函数，B错误；因为，所以不是函数的对称轴，而是函数对称中心的横坐标，C错误，D正确.故选：AD.11．BC【分析】根据给定的等式，利用赋值法，结合奇偶函数的定义、对称中心及周期性定义逐项判断得解.【详解】对于A，令，有，而不恒为0，则，A错误；对于B，由A知，令，有，即，则函数为偶函数，B正确；对于C，若，令，有，则关于中心对称，C正确；对于D，显然关于中心对称，又为偶函数，则，即，因此，是周期为4的周期函数，显然，，即，所以，D错误.故选：BC12．2【分析】利用向量共线的坐标表示可得答案.【详解】，若与共线，则，解得.故答案为：.13．7【分析】由二项式展开式的通项公式可得，令和，据此即可确定的系数.【详解】的展开式中的系数为，由二项式展开式的通项公式可得，令和，则的系数为.故答案为：7．14．（【分析】求出转化为在区间上恒成立，再构造函数，结合导数，求在区间上的最小值可得答案.【详解】因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，令，则，所以在上递增，又，所以．所以的取值范围是．故答案为：．【点睛】思路点睛：求出分离常数，利用构造函数法，结合导数，求得参数的取值范围.15．(1)；(2)．【分析】（1）辅助角公式化简函数解析式，整体代入法求单调递增区间；（2）由，得，由的面积为，得，，余弦定理求出，可求的周长．【详解】（1），令，解得，所以函数的单调增区间为．（2）由得．，，，又，则，由余弦定理得，，的周长为．16．(1)证明见解析；(2)2；(3)．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得答案；（2）由题意易知四边形为直角梯形，计算可得答案；（3）以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，再由向量的夹角公式计算可得答案.【详解】（1）底面，底面，．又平面，平面；（2）由题意易知四边形为直角梯形，．；（3）如图，以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，则易知平面，平面的一个法向量，设平面的法向量，，令，得，所以，，由图可得平面与平面所成角为锐角，故平面与平面所成角的余弦值为．17．(1)0.035；41.5岁(2)表格见解析；有关(3)；1【分析】（1）利用频率直方图面积和为1，即可得到，根据频率直方图计算平均数即可；（2）根据频率分布直方图得到青少年组、中老年组人数，从而得到列联表，再零假设计算出，根据独立性检验可得答案；（3）将频率视为概率，计算出青少年“不关注民生问题”的概率，根据每次抽取的结果是相互独立的得，可得答案【详解】（1），，，估计参与调查者的平均年龄为：41.5岁；（2）选出的200人中，各组的人数分别为：第1组：人，第2组：人，第3组：人，第4组：人，第5组：人，青少年组有人，中老年组有人，参与调查者中关注此问题的约占有人不关心民生问题，选出的200人中不关注民生问题的青少年有30人，列联表如下；关注民生问题不关注民生问题合计青少年9030120中老年701080合计16040200零假设：假设关注民生问题与性别相互独立，，根据独立性检验，可以认为零假设不成立，即能依据小概率值的独立性检验，认为是否关注民生与年龄有关；（3）由题意，青少年“不关注民生问题”的频率为，将频率视为概率，每个青少年“不关注民生问题”的概率为，因为每次抽取的结果是相互独立的，所以，所以，所以，．18．(1)①答案见解析；②；(2)．【分析】（1）①先利用描点法作出区间上的函数图象，结合偶函数的对称性可得上的图象，②利用图象和实数根的个数可得实数的取值范围；（2）先根据复合函数求出的最小值，利用可得答案.【详解】（1）①当时，．列表：01234567891012432101234描点连线，图象如图，因为为偶函数，所以的图象关于轴对称，所以在上的图象如图所示；②恰有6个不相等的实根，等价于与有6个交点，由图象可知当时，有6个交点，所以实数的取值范围为；（2）由题意，，因为在上为增函数，在上为增函数，所以在上为增函数，因为在上为增函数，所以在上为增函数，所以，由（1）可知在上的最小值为0，因为，使得成立，所以，所以，解得，所以实数的最小值为．19．(1)（i）；（ii）(2)0.75.【分析】（1）设事件“该同学有购买意向”，事件“该同学来自班”.根据全概率公式即可求解，根据条件概率公式即可求解；（2）由题意可得每次叫价增加1元的概率为，每次叫价增加2元的概率为.设叫价为元的概率为，叫价出现元的情况只有下列两种：①叫价为元，且骰子点数大于2，其概率为；②叫价为元，且骰子点数小于3，其概率为.于是得到，构造等比数列，结合累加法可求解.【详解】（1）（i）设事件“该同学有购买意向”，事件“该同学来自班”.由题意可知，，所以，由全概率公式可得：.