中考复习-一元二次方程的根与系数的关系(解析版)

中考复习——一元二次方程的根与系数的关系一、选择题1、已知x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两根，则x1+x2的值是（）． A.0 B.2 C.-2 D.4答案：B解答：∵x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两根，∴x1+x2=2．选B.2、若x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，则x1·x2的值是（）． A.2 B.-2 C.4 D.-3答案：D解答：∵x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，∴x1·x2=-3．3、关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（）． A.m=-2 B.m=3 C.m=3或m=-2 D.m=3或m=2答案：A解答：设x1，x2是x2+2mx+m2+m=0的两个实数根，∴Δ=-4m≥0，∴m≤0，∴x1+x2=-2m，x1·x2=m2+m，∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1·x2=4m2-2m2-2m=2m2-2m=12，∴m=3或m=-2；∴m=-2．选A.4、一元二次方程x2-3x-2=0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是（）． A.x1=-1，x2=2 B.x1=1，x2=-2 C.x1+x2=3 D.x1x2=2答案：C解答：∵方程x2-3x-2=0的两根为x1，x2，∴x1+x2=-=3，x1·x2==-2，∴C选项正确．5、α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根，且+=-，则m等于（）． A.–2 B.–3 C.2 D.3答案：B解答：α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根，∴α+β=2，αβ=m，∵+===-，∴m=-3．选B.6、已知m，n是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（）． A.7 B.11 C.12 D.16答案：D解答：∵m，n是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两实数根，∴m+n=2t，mn=t2-2t+4，∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7．∵方程有两个实数根，∴Δ=（-2t）2-4（t2-2t+4）=8t-16≥0，∴t≥2，∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16．选D.7、若一元二次方程ax2=b，（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m-4，则=（）． A.-4 B.1 C.2 D.4答案：D解答：系数化为1时，由于一元二次方程的两个根互为相反数，所以和为0，即可求得m的值为1，两根分别为2，-2，所以=x2=4．8、若x1，x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根，则x23-4x12+17的值为（）． A.-2 B.6 C.-4 D.4答案：A解答：∵x1,x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根，∴x12+x1-3=0，x22+x2-3=0，∴x22=-x2+3，x12=-x1+3，∴x23-4x12+17=x2·（-x2+3）-4（-x1+3）+17=-x22+3x2-4（-x1+3）+17=-（-x2+3）+3x2-4（-x1+3）+17=4x2-3+4x1-12+17=4（x1+x2）+2，根据根与系数的关系可得：x1+x2=-1，∴原式=4（x1+x2）+2=-4+2=-2．选A.9、方程x2-（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（）． A.-2或3 B.3 C.-2 D.-3或2答案：C解答：∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2，∴m+6=m2，解得m=3或m=-2，∵方程x2-（m+6）+m2=0有两个相等的实数根，∴Δ=b2-4ac=（m+6）2-4m2=-3m2+12m+36=0，解得m=6或m=-2，∴m=-2．10、已知a，b，c是△ABC三边的长，b＞a=c，且方程ax2-bx+c=0的两根的差的绝对值等于，则△ABC中最大角的度数是（）． A.150° B.120° C.90° D.60°答案：B解答：设x1、x2是ax2-bx+c=0的两根，则x1+x2=，x1x2==1，∵x1-x2的绝对值等于，∴|x1-x2|=，解以上方程组：（x1+x2）2-4x1x2=2，解得：b=a，∵b＞a=c，∴等腰三角形以b为底，∴∠A=∠C=30°，∴∠B=120°．二、填空题11、若关于x的一元二次方程x2-（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，则ab=______．答案：4解答：∵关于x的一元二次方程x2-（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，∴由韦达定理，得，解得，．∴ab=1×4=4．12、若关于x的方程x2+（k-2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=______．答案：-1解答：设方程的两根为x1，x2，则x1x2=k2，∵x1与x2互为倒数，∴k2=1，解得k=1或k=-1；∵方程有两个实数根，Δ＞0，∴当k=1时，Δ＜0，舍去，故k的值为-1．13、已知一元二次方程x2+2x-8=0的两根为x1、x2，则+2x1x2+=______．答案：-解答：∵x1、x2是方程x2+2x-8=0的两根，∴x1+x2=-2，x1x2=-8．∴+2x1x2+=+2x1x2=+2x1x2=+2×（-8）=-16=--16=-．14、已知关于x的方程x2+6x+k=0的两个根分别是x1、x2，且+=3，则k的值为______．答案：-2解答：∵关于x的方程x2+6x+k=0的两个根分别是x1、x2，∴x1+x2=-6，x1x2=k，∵+==3，∴=3，∴k=-2．15、若关于x的方程x2+2mx+m2+3m-2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为______．答案：解答：关于x的方程x2+2mx+m2+3m-2=0有两个实数根x1、x2，Δ=4m2-4（m2+3m-2）≥0，解得m≤由韦达定理可知x1+x2=-2m，x1·x2=m2+3m-2．x1（x2+x1）+x22=x1x2+x12+x22=（x1+x2）2-x1x2=（-2m）2-m2-3m+2=3m2-3m+2=3（m-）2+．∵m≤，∴当m=时，取得最小值为．16、对于任意实数a、b，定义：a◆b=a2+ab+b2．若方程（x◆2）-5=0的两根记为m、n，则m2+n2=______．答案：6解答：∵（x◆2）-5=x2+2x+4-5，∴m、n为方程x2+2x-1=0的两个根，∴m+n=-2，mn=-1，∴m2+n2=（m+n）2-2mn=6．故答案为：6．17、阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=-，x1·x2=．根据该材料填空：已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，则+的值为______．答案：10解答：由题意知，x1+x2=-6，x1x2=3，所以+====10．三、解答题18、已知关于x的方程x2+2x+a-2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．答案：（1）a的取值范围是a＜3．（2）a的值是-1，该方程的另一根为-3．解答：（1）∵b2-4ac=（2）2-4×1×（a-2）=12-4a＞0，解得：a＜3．∴a的取值范围是a＜3．（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：，解得：，则a的值是-1，该方程的另一根为-3．19、已知关于x的方程x2-4x+k+1=0有两实数根．（1）求k的取值范围．（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且+=x1x2-4，求实数k的值．答案：（1）k≤3．（2）k=-3．解答：（1）∵关于x的一元二次方程x2-4x+k+1=0有两个实数根，∴Δ=（-4）2-4×1×（k+1）≥0，解得：k≤3，故k的取值范围为：k≤3．（2）由根与系数的关系可得x1+x2=4，x1x2=k+1，由+=x1x2-4可得=x1x2-4，代入x1+x2和x1x2的值，可得：=k+1-4，解得：k1=-3，k2=5（舍去），经检验，k=-3是原方程的根，故k=-3．20、已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m-2=0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2=1，求m的值．答案：（1）证明见解答．（2）8．解答：（1）依题意可得Δ=（2m+1）2-4（m-2），=4m2+9＞0．故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．（2）由根与系数的关系可得：，由x1+x2+3x1x2=1，得-（2m+1）+3（m-2）=1，解得m=8．21、已知关于x的方程x2+2x+a-2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．答案：（1）a的取值范围是a＜3．（2）a的值是-1，该方程的另一根为-3．解答：（1）∵b2-4ac=22-4×1×（a-2）=12-4a＞0，解得：a＜3．∴a的取值范围是a＜3．（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：，解得：，则a的值是-1，该方程的另一根为-3．22、已知x1，x2是一元二次方程x2-2x+k+2=0的两个实数根．（1）求k的取值范围．（2）是否存在实数k，使得等式+=k-2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．答案：（1）k≤-1．（2）存在，k值为-．解答：（1）∵一元二次方程x2-2x+k+2=0有两个实数根，∴Δ=（-2）2-4×1×（k+2）≥0，解得：k≤-1．（2）∵x1，x2是一元二次方程x2-2x+k+2=0的两个实数根，∴x1+x2=2，x1x2=k+2，∵+=k-2，∴==k-2，∴k2-6=0，解得：k1=-，k2=，又∵k≤-1，∴k=-，∴存在这样的k值，使得等式+=k-2成立，k值为-．23、已知关于x的一元二次方程x2-4x-m2=0．（1）求证：该方程有两个不等的实根．（2）若该方程的两个实数根x1、x2满足x1+2x2=9，求m的值．答案：（1）证明见解答．（2）m=±．解答：（1）∵在方程x2-4x-m2=0中，Δ=（-4）2-4×1×（-m2）=16+4m2＞0，∴该方程有两个不等的实根．（2）∵该方程的两个实数根分别为x1、x2，∴x1+x2=4①，x1·x2=-m2②．∵x1+2x2=9③，∴联立①③解之，得：x1=-1，x2=5，∴x1·x2=-5=-m2，解得：m=±．24、关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x