难点解析人教版九年级数学上册第二十四章圆定向攻克试题（含详细解析）

人教版九年级数学上册第二十四章圆定向攻克

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，螺母的外围可以看作是正六边形ABCDEF,己知这个正六边形的半径是2,则它的周长是

（）

A-B.12GC.12D.24

2、下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是

圆中最长的弦.其中正确的有（)

A.1个B.2个C.3个D.4个

3、已知扇形的半径为6,圆心角为150。.则它的面积是（）

3

A.一乃B.3乃C.5冗D.15万

2

4、如图，。。的半径为5,A8为弦,点。为4B的中点，若除30°,则弦48的长为（)

B

。・

A.yB.5C.芋D.56

5、如图，PA,阳是。。的切线，A,8是切点，点。为。。上一点，若乙4必=70°,则/夕的度数为

()

A.70°B.50°C.20°D.40°

6、在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为2,点/(1,73)与。。的位置关系是

()

A.在。。上B.在。。内C.在。。外D.不能确定

7、一个等腰直角三角形的内切圆与外接圆的半径之比为()

A.V2B.注C.V2+1D.>/2-1

2

8、已知点AB,C在。。上.则下列命题为真命题的是()

A.若半径0B平分弦AC.则四边形O4?C是平行四边形

B.若四边形CMBC是平行四边形.则NABC=120。

C.若ZABC=120。.则弦AC平分半径08

D.若弦AC平分半径08.则半径。8平分弦AC

9、如图，46是半圆的直径，点〃是弧4C的中点，N/8C=50°,则（)

A.105°B.110°C.115°D.120°

10、如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得BC=O.8m,并且A3L8C,则这个油桶的底面半径是

（）

A.1.6mB.1.2mC.0.8mD.0.4m

第n卷（非选择题70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，中，A3长为1cm,ZBAC=60°,ZBC4=90°,将A84C绕点/逆时针旋转120。至

△8AC,则边8c扫过区域（图中阴影部分）的面积为cm2.

2、如图所示，AB、AC为。0的两条弦，延长CA到点D,AD=AB,若NADB=35°,则

ZB0C=

3,如图，46是。。的弦，点C在过点8的切线上，且宓0C交AB于点、P,已知N以生22°,

贝IJN0®.

4、如图，ZVIBC是。。的内接正三角形，点。是圆心，点£>,E分别在边AC,A8上，若DA=EB,

则/DOE的度数是度.

5、用反证法证明：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.第一步应假

设：.

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图①已知抛物线y=or2-3ax-4〃（a<0）的图象与X轴交于A、B两点（A在B的左侧），与V的

正半轴交于点C,连结BC；二次函数的对称轴与x轴的交点E.

(1)抛物线的对称轴与X轴的交点E坐标为，点A的坐标为一

(2)若以E为圆心的圆与了轴和直线8c都相切，试求出抛物线的解析式：

(3)在(2)的条件下，如图②。(肛0)是x的正半轴上一点，过点。作＞轴的平行线，与直线BC交

于点例与抛物线交于点N,连结CN,将△CWN沿CN翻折，M的对应点为M',在图②中探究：

是否存在点2,使得M'恰好落在》轴上？若存在，请求出。的坐标：若不存在，请说明理由.

2、如图，PA、PB分别切。。于A、B,连接P0与。0相交于C,连接AC、BC,求证：AC=BC.

3、如图，在AABC中，AB=AC,以A8为直径的。。与8c交于点。，连接AO.

(1)求证：BD=CD；

(2)若。。与AC相切，求DB的度数;

(3)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧AD的中点E.(不写作法，保留作图痕迹)

4、已知，正方形40中，.以A，分别为4?边上的两点,连接8队GV并延长交于一点〃，连接〃/,E

为原/上一点，连接力£、CE,NECH~MNH=90°.

H

图3

⑴如图1,若E为驯的中点，且"f=34M,AE=—,求线段力6的长.

2

(2)如图2,若点尸为应■中点，点G为⑦延长线上一点，且％//磨CE=GE,求证:

CF+立AH=BH.

2

⑶如图3,在(1)的条件下，点—为线段4〃上一动点，连接BP,作C0L外于。，将△成、0沿式翻

折得到△况Z点不A分别为线段优；员上两点，且即=3应；BC=\BK,连接C7?、”交于点T,连

接BT,直接写出△667面积的最大值.

5、如图，在AASC中，NC=90",AB的中点0.

(1)求证：AB，C三点在以。为圆心的圆上;

(2)若ZA£>8=90。，求证：四点在以。为圆心的圆上.

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

如图，先求解正六边形的中心角ZAOB,再证明是等边三角形，从而可得答案.

【详解】

解：如图，。为正六边形的中心，OAOB为正六边形的半径，

.•.ZAOB=ix360°=60°,

6

•.Q=O8=2,

.•.AAOB为等边三角形，

：.AB=2,

二正六边形ABCDEF的周长为6x2=12.

故选：C.

【考点】

本题考查的是正多边形与圆，正多边形的半径，中心角，周长，掌握以上知识是解题的关键.

2、A

【解析】

【分析】

根据等弧的定义、弦的定义、弧的定义、分别判断后即可确定正确的选项.

【详解】

解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；

（2）直径是圆中最长的弦，故（2）错误，（4）正确；

（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；

正确的只有一个，

故选：A.

【考点】

本题考查了圆的有关定义，能够了解圆的有关知识是解答本题的关键，难度不大.

3、D

【解析】

【分析】

已知扇形的半径和圆心角度数求扇形的面积，选择公式5=皿直接计算即可.

360

【详解】

^150万x6?

解：5=-------=154.

360

故选：D

【考点】

本题考查扇形面积公式的知识点，熟知扇形面积公式及适用条件是解题的关键.

4、D

【解析】

【分析】

连接0C、0A,利用圆周角定理得出N/。作60°,再利用垂径定理得出即可.

【详解】

连接OC、OA,

'：ZAB0300,

.../4叱60°,

•.F5为弦，点。为AB的中点，

：.OCVAB,

在RtA。!6中，A氏更,

2

."比5追，

故选D.

【考点】

此题考查圆周角定理，关键是利用圆周角定理得出/力好60°.

5、D

【解析】

【分析】

首先连接小，OB,由必，心为。。的切线，根据切线的性质，即可得/切产/加90。，又由圆周

角定理，可求得/月防的度数，继而可求得答案.

【详解】

解：连接力，0B,

,：PA,如为。。的切线，

：./OAkNOB六90°,

■:NACB=70°,

4娇2/片140°,

/.Z7t360°-/OA卜/OBPNAOB=40°.

故选：D.

【考点】

此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用.

6、A

【解析】

【分析】

根据点力的坐标，求出力=2,根据点与圆的位置关系即可做出判断.

【详解】

解：•••点4的坐标为（1,后），

同可

•••由勾股定理可得：OA==2,

又：。。的半径为2,

.•.点4在。。上.

故选：A.

【考点】

本题考查了点和圆的位置关系，点和圆的位置关系是由点到圆心的距离d和圆的半径A"间的大小关系

确定的：（1）当d>r时，点在圆外；（2）当寸，点在圆上；（3）当“V/•时，点在圆内.

7、D

【解析】

【分析】

设等腰直角三角形的直角边是1,则其斜边是加.根据直角三角形的内切圆半径是两条直角边的和

与斜边的差的一半，得其内切圆半径是”正；其外接圆半径是斜边的一半，得其外接圆半径是

2

2-0

—.所以它们的比为一^-=5/2-1.

25/2

T

【详解】

解：设等腰直角三角形的直角边是1,则其斜边是血;

•.•内切圆半径是土卫，

2

外接圆半径是正，

2

2-&

...所以它们的比为.

V

故选：D.

【考点】

本题考查三角形的内切圆与外接圆的知识，解题的关键是熟记直角三角形外接圆的半径和内切圆的半

径公式：直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半；直角三角形外接圆的半径

是斜边的一半.

8、B

【解析】

【分析】

根据圆的有关性质、垂径定理及其推论、特殊平行四边形的判定与性质依次对各项判断即可.

【详解】

A...•半径0B平分弦AC,

.\OB±AC,AB=BC,不能判断四边形OABC是平行四边形，

假命题；

B.♦.•四边形OABC是平行四边形，且OA=OC,

二四边形048。是菱形，

.•.OA=AB=OB,OA〃BC,

/.A0AB是等边三角形，

Z0AB=60°,

ZABC=120°,

真命题；

C.VZABC=120°,

AZA0C=120°,不能判断出弦AC平分半径08,

假命题；

D.只有当弦AC垂直平分半径08时，半径08平分弦AC,所以是

假命题,

故选：B.

【考点】

本题主要考查命题与证明，涉及垂径定理及其推论、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等

知识，解答的关键是会利用所学的知识进行推理证明命题的真假.

9、C

【解析】

【分析】

连接/1G然后根据圆内接四边形的性质，可以得到N/%的度数，再根据点〃是弧4C的中点，可以

得到/〃。的度数，直径所对的圆周角是90°,从而可以求得/及力的度数.

【详解】

解：连接4C,

•：AABC=^°,四边形力阅9是圆内接四边形,

.•./月％=130°,

•.•点〃是弧力。的中点，

CgAC,

：.ZDCA=ZDAC=250,

•.36是直径，

AZBCA=90°,

ZBCD=ZBCA+Z=115°,

故选：C.

【考点】

本题考查圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解

答.

10、C

【解析】

【分析】

根据切线的性质，连接过切点的半径，构造正方形求解即可.

【详解】

如图所示

设油桶所在的圆心为0,连接勿，OC,

•：A8、8C与。。相切于点4C,

：.0AVAB,OCVBC,

又YABLBC,OA=OC,

四边形以比'是正方形，

0A=AB=B(=0(=Q.8m,

故选：C.

【考点】

考查了切线的性质和正方形的判定、性质，解题关键是理解和掌握切线的性质.

二、填空题

【解析】

根据已知的条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得

出答案.

【详解】

解：ZBAC=60°,ZBCA=90°,AB'AC是△的，绕A旋转120°得到，

斤120°,ZB'AC=&QQ,ZB'AC=60°,AB'AC'ABAC,

:.NC'B'A=30°,ZC'AC=\2^

cm,

.".AC，=0.5cm,

.「_1207tx『i2

••5扇形B'AB------=_7icm，

3603

2

0_120TTX0.57t2

o扇形CAF---------------------=CI71~，

36012

•*S阴影部后S扇形BYE+SABC'A-S.8GA—S国影C'AC

二S扇形8,AB-S用形c，4c

111

=-7i---7t=—Trcnr2,

3124

故答案为£

【考点】

本题考查圆的综合应用，熟练掌握旋转的性质、直角三角形的性质及扇形面积的求法是解题关键.

2、140°

【解析】

【分析】

在等腰△钿£）中，根据三角形的外角性质可求出外角N8AC的度数；而/BAC、N8OC是同弧所对的圆

周角和圆心角，可根据圆周角和圆心角的关系求出/8OC的度数.

【详解】

△4做中，AB^AD,则：ZABD=ND=35°；

，ZBAC=2ZD=70；

，ZBOC=2NBAC=140；

故答案为140.

【考点】

考查圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半.

3、44°

【解析】

【分析】

首先连接0B,由点C在过点B的切线上，且0CJ_0A,根据等角的余角相等，易证得NCBP=NCPB,利

用等腰三角形的性质解答即可.

【详解】

连接0B,

•.•BC是。0的切线,

AOBIBC,

AZ0BA+ZCBP=90°,

V0C±0A,

ZA+ZAP0=90°,

V0A=0B,Z0AB=22°,

Z0AB=Z0BA=22°,

AZAP0=ZCBP=68°,

VZAPO=ZCPB,

NCPB=NABP=68°,

AZ0CB=180°-68°-68°=44°,

故答案为44°

【考点】

此题考查了切线的性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想

的应用.

4、120

【解析】

【分析】

本题可通过构造辅助线，利用垂径定理证明角等，继而利用SAS定理证明三角形全等，最后根据角的

互换结合同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解本题.

【详解】

连接OA,0B,作OH_LAC,OM1AB,如下图所示：

因为等边三角形ABC,0H1AC,OM1AB,

由垂径定理得：A1I=AM,

又因为OA=OA,故△OAH£Z\OAM(HL).

:.ZOAH=ZOAM.

又；OA=OB,AD=EB,

ZOAB=ZOBA=ZOAD,

.,.△ODA=AOEB(SAS),

ZDOA=ZEOB,

ZDOE=ZDOA+ZAOE=ZAOE+ZEOB=ZAOB.

又•.•NC=60°以及同弧AB，

/.ZA0B=ZD0E=120°.

故本题答案为：120.

【考点】

本题考查圆与等边三角形的综合，本题目需要根据等角的互换将所求问题进行转化，构造辅助线是本

题难点，全等以及垂径定理的应用在圆综合题目极为常见，圆心角、弧、圆周角的关系需熟练掌握.

5、这两条直线不平行

【解析】

【分析】

本题需先根据己知条件和反证法的特点进行证明，即可求出答案.

【详解】

证明：已知两条直线都和第三条直线平行；

假设这两条直线不平行，则两条直线有交点，

因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

因此，两条直线有交点时，它们不可能同时与第三条直线平行

因此假设与结论矛盾.故假设不成立，

即如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

故答案为：这两条直线不平行.

【考点】

本题主要考查了反证法，在解题时要根据反证法的特点进行证明是本题的关键.

三、解答题

1、(1)(1.5,0)(-1,0)；(2)y=-0.75x2+2.25x+3；(3)[(,())[*0)

【解析】

【分析】

(1)由抛物线y=d+6+c(a#0)的对称轴为直线％=-3，即可求得点E的坐标；在y=ax?-3ax-4a

2a

(a<0)令y=0可得关于x的方程ax2-3ax-4a=0,解方程即可求得点A的坐标；

35

(2)如图1,设。E与直线BC相切于点D,连接DE,则DEJ_BC,结合(1)可得DE=0E=大，EB=-,

22

r~\

0C=-4a,在RtaBDE中由勾股定理可得BD=2,这样由tan/0BC=^—=k即可列出关于a的方程，

BDOB

解方程求得a的值即可得到抛物线的解析式；

(3)由折叠的性质和MN〃y轴可得NMCN=NM'CN=NMNC,由此可得CM=MN,由点B的坐标为(4,

0),点C的坐标为(0,3)可得线段BC=5,直线BC的解析式为y=-[x+3,由此即可得到M、N的坐

标分别为(m,-?m+3)、(m,-=m'+gm+B),作MFL0C于F,这样由sin/BC0=%=照即可解得

444MCBC

CM=|m,然后分点N在直线BC的上方和下方两种情况用含m的代数式表达出MN的长度，结合MN=CM

4

即可列出关于m的方程，解方程即可求得对应的m的值，从而得到对应的点Q的坐标.

【详解】

-3/73

解：（1）・・•对称轴x=-不=9，

2a2

3

・••点E坐标（万，0）,

令y=0,则有ax2-3ax-4a=0,

/.x=-1或4,

・••点A坐标（-L0）.

3

故答案分别为（］,0）,（-1,0）.

（2）如图①中，设。E与直线BC相切于点D,连接DE,则DEJ_BC,

35

•・・DE=0E=一，EB=-,0C=-4a,

22

・・・DB=NEB?—DE?=J2.52-l.52=2，

,DEOC

7tanZOBC=-=-

.L5—4。丘力/口3

.解得a=-1,

2j4

・••抛物线解析式为y=~x2^x^3.

44

(3)如图②中，由题意NM'CN=NNCB,

：.ZWCN=ZCNM,

.\MN-CM,

•.•点B的坐标为（4,0）,点C的坐标为（0,3）,

・・直线BC解析式为y=-ax+3,BC=5,

339

/.M(m,-—m+3),N(m,--m2+-m+3),作MFLOC于F,

444

・・・/pm-FM_BO

.sinZBC0=—=—1

.m4

**CA7-5?

.•.CM=3，

329c,3八5

①当N在直线BC上方时，--x+—x+3-(--x+3)=­m,

4444

7、A-

解得：m==§或0(舍弃)，

••*Qi(~0).

3395

②当N在直线BC下方时，(__m+3)_(--m+_m+3)=-m,

17

解得m二7或0(舍弃)，

17、

•**Q2(z彳，0),

7

综上所述：点Q坐标为(“0)或(—,0).

ft

2

图①图②

【考点】

本题是一道二次函数与几何及锐角三角函数综合的题，解题的要点是：（1）熟悉二次函数的对称轴方

程及二次函数与一元二次方程的关系是解第1小题的关键；（2）由切线的性质得到DELBC,从而得

至I」tan/OBC=《W=W，这样结合已知条件求出a的值是解第2小题的关键；（3）过点M作MFLy轴

DDOD

于点F,这样由sinNBCO=FSM2=WRO变形把MC用含m的代数式表达出来，再由折叠的性质和MN〃y

MCBC

轴证得MN=MC,这样就可分点N在BC的上方和下方两种情况列出关于m的方程，解方程求得对应的m

的值是解第3小题的关键.

2、证明见解析

【解析】

【详解】

分析：连接（）A、OB,根据切线的性质得出aOAP和△OBP全等，从而得出NAPC=NBPC,从而得出

△APC和4BPC全等，从而得出答案.

详解:连结OA,OB.VPA,PB分别切。0于点A,B,，PA=PB,

XV0A=0B,PO=PO,.,.△OAP^AOBP（SSS）,AZAPC=ZBPC,

又•.•PC=PC,.,.△APC^ABPC（SAS）.，AC=BC.

点睛：本题主要考查的是切线的性质以及三角形全等的证明与性质，属于基础题型.根据切线的性质

得出PA=PB是解题的关键.

3、（1）证明见详解

⑵4=45。

（3）作图见详解

【解析】

【分析】

(1)根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的三线合一即可证明；

(2)根据切线的性质可以得到90。，然后在等腰直角三角形中即可求解；

(3)根据等弧所对的圆周角相等，可知可以作出4〃的垂直平分线，ZA8D的角平分线，40。的角

平分线等方法均可得到结论.

(1)

证明：「AB是。。的直径，

:.ZA£>5=90。,

AD1BC,

：AB=AC,

：.BD=CD.

(2)

,/。。与AC相切，

J.ZBAC=90°,

XVAB=AC,

：.ZB=45°.

(3)

如下图，点E就是所要作的AO的中点.

【考点】

本题考查了等腰三角形的三线合一、切线的性质、以及尺规作图、等弧所对的圆周角相等，理解圆的

相关知识并掌握基本的尺规作图方法是解题的关键.

4、(1)4

(2)证明见解析

⑶]

【解析】

【分析】

(1)由正方形46口的性质，可得到△/8V为直角三角形，再由£为倒/中点，得到6佐24瓦最后由

勾股定理求得48的长度；

(2)过点力作力KLH/于点匕由EG〃BC,CE=GE,F为BE中点、,可得△磔侬△物；从而得到

△aF为等腰三角形，再根据角的关系，易得/ECG+/EC4W/BCA45：得到△例7为等腰直角三

角形，再根据△的陞△况广，得到8心阴A^BF,从而转化得到结论；

(3)当只〃重合时得到最大面积，以8为原点建立直角坐标系，求出坐标和表达式，联立方程组求

解，即可得出答案.

(1)

解：：四边形4题为正方形，且例/=341/,

.•./以290°,/场4M4队

...△4阳/为直角三角形，

•••/为8V的中点，AE=叵,

2

:.B后2A斤后,

在打△力向/中，设4沪x,则力分4x,

X2+(4X)2=(VF7)2,解得X=1,

・••心4；

(2)

过点力作小勺_初于点匕

・：EG//BC,