第一节向量及其线性运算

第一节向量及其线性运算一问题的提出四空间直角坐标系六小结与思考判断题二向量的概念三向量的线性运算五利用坐标作向量的线性运算5/12/20241一问题的提出

在平面解析几何中，我们曾经用代数的方法来解决集合问题，空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的。和解决平面问题相仿，我们先是给出空间直角坐标系的定义，接着给出空间中任意一点的坐标表示。和平面上任意两点间的距离相仿我们给出空间中任意两点间的距离公式。5/12/20242

向量是我们解决空间解析几何问题的一个重要工具，同时向量的方法也是力学，物理学以及其他应用学科的一个好的方法。在这一节，我们在引入向量概念的基础上，给出向量的加减数乘的概念。同时要会应用向量来解决空间几何中的问题。大家需要注意的是，向量的方法是我们解决以后问题的一个重要的方法。5/12/20243向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模长为1的向量.零向量：模长为0的向量（它的方向是任意的）.||向量的模：向量的大小（长度）.单位向量：二向量(Vector)的概念或或或5/12/20244自由向量：不考虑起点位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.负向量：大小相等但方向相反的向量.向径：空间直角坐标系中任一点

与原点构成的向量.

∥5/12/202451加法(Addition)：（平行四边形法则）特殊地：若‖分为同向和反向三向量的线性运算（OperationsofVectors)5/12/20246向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律：（2）结合律：2减法(Subtraction)5/12/20247(MultiplicationbyNumbers)3向量与数的乘法5/12/20248数与向量的乘积符合下列运算律（1）结合律：（2）分配律：（3）分配律：向量相加及数乘向量统称为向量的线性运算.5/12/20249按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.5/12/202410我们用数乘向量来说明两个向量的平行关系：证条件的充分性显然；下证必要性‖5/12/202411两式相减，得5/12/202412例1化简解5/12/202413平行四边形的对角线互相平分解5/12/202414横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系.四空间直角坐标系5/12/202415Ⅶ面面面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ5/12/202416空间的点有序数组特殊点的表示:坐标轴上的点坐标面上的点5/12/202417轴X上点P轴Y上点P轴Z上点P5/12/202418空间的点M向量的坐标式5/12/202419空间两点间的距离5/12/202420空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为5/12/202421五利用坐标作向量的线性运算利用向量的坐标，可得向量的加减法、向量与数的乘法运算5/12/202422解设为直线上的点，5/12/202423由题意知：5/12/202424六向量的模、方向角、投影5/12/2024255/12/202426解原结论成立.5/12/202427解设P点坐标为所求点为5/12/202428空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.2向量的方向角与方向余弦5/12/202429向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向.5/12/202430当时，向量方向余弦的坐标表示式5/12/202431方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为5/12/202432解所求向量有两个，一个与同向，一个反向或5/12/202433解5/12/2024345/12/202435空间一点在轴上的投影5/12/2024363向量在轴上的投影5/12/202437空间一向量在轴上的投影5/12/202438关于向量的投影定理（1）证5/12/202439关于向量的投影定理（2）（可推广到有限多个）5/12/202440证于是5/12/202441解5/12/202442向量的概念向量的加减法向量与数的乘法（平行四边形法则）（注意数乘向量的方向）向量在