电磁场与电磁波-第5章

第5章电磁场中的能量主要内容:欧姆定律、焦耳定律、电阻、电感、电容、静电场的能量、静电力、恒定磁场能量、磁场力电路理论基本物理量：电压电流电路参数：电阻电感电容电磁场理论基本场量：电场强度电位移矢量磁感应强度磁场强度媒质参数：电导率磁导率介电常数场论和路论关系：统一、不可分割的。场论强调普遍性，在电路尺寸远小于工作波长时即准静态情况下，路论是可以由麦克斯韦方程组导出的近似理论。引言：一、欧姆定律★3.欧姆定律的微分形式由此可见，从场论出发，可以导出路论中的欧姆定律表达式。欧姆定律只是在线性、各向同性媒质的假设下才成立。对于均匀直导线的电阻它反映电阻两端电压和流经电阻的电流的关系，即1.概念2.条件4.两者之间的关系电阻率二、焦耳定律在一段含有电阻的电路中，计算损耗功率的关系式为：导电媒质中自由电子在电场力作用下运动，运动过程中电子和结晶点阵不断发生碰撞作用，电子的动能被转化为热能称为功率损耗。1.概念2.功率损耗的含义体积元中全部自由电子的损耗功率为:★3.焦耳定律的微分形式电子电荷在电场力作用下移动距离,则电场力做功为：相应的功率为：为电子漂移速度所得结果和路论中的焦耳定律式一致。这又一次反映了场论和路论的统一关系。4.关系在体积为V的一段导体中，总的损耗功率为：

对于一段均匀直导体的情况，令，dlv和电流线一致，dSv和电流线垂直，则：

三、电阻的计算★设和电流线垂直的两个端面为等位面，两端面之间的电压降为：根据定义可得到两端面间导电媒质的电阻R为：通过任意横截面S的电流为：四、电容1.孤立导体的电容式中：为导体所带的电荷量，为导体的电位。2.双导体系统的电容式中为带正电导体的电荷量，为两导体间的电压。必须求出其间的电场。由上式可见：欲计算两导体间的电容，例1：一无限长同轴电缆的内外半径分别为，其间填充介电常数为的介质，如图所示。求：同轴电缆单位长度的电容。和解：设内导体单位长度带电荷量为，在内、外导体之间取单位长度的闭合柱面，在该闭合面上应用高斯定律：同轴电缆截面图即：所以：内外导体间的电压为：同轴线单位长度电容为：如图1所示,若在一平行板电容器中置入一金属球，请问：平行板间的电容如何变化？式中、和称为导体系统的部分电容，其等效电路如图2所示。图1含金属球的平行板电容器图2三导体系统的等效电路多导体的电容，每个导体的电位不仅与导体本身电荷有关，同时还与其他导体上的电荷有关，对于三个导体以上的多导体系统用部分电容来描述。3.部分电容包括自感L

和互感M

。

五、电感在正弦交流电路中，若只含一个纯电感时，如图所示。电感上的电压和电流的关系为当电路包括两个以上电感线圈时，如图所示。电感上的电压和电流的关系为：1.概念:2.自感式中称为自感系数，简称为自感，它取决于线圈的几何形状和尺寸以及磁介质的磁导率。（1）单匝线圈的自感假设线圈内外不存在铁磁性物质，则和之间存在线性关系，比值是一个常数如图所示。磁通为

根据矢量磁位的定义若有N匝相同的线圈，则得磁链相应回路的电感：由斯托克斯定理，得到（2）多匝线圈的自感内自感：导线内部的磁链与导线中电流的比值。外自感：导线外部环面内的磁链与导线中电流的比值。式中为内自感，为外自感。（3）内自感和外自感单个载流回路的自感应为内自感和外自感之和，即例2：一空气同轴线，内导体的半径为a，外导体的内半径为b，设外导体的壁厚很小，求同轴线单位长度的电感。内导体的内自感如图所示，由安培环路定律得解：同轴线单位长度的电感可分为内导体中的内自感、内外导体之间的外自感和外导体中的内自感三部分。所以：在内导体内的总磁链为：所以：内导体单位长度的内自感为(H/m)单位长度内导体截面的磁通量为只和半径为r的圆截面内的电流交链，与总电流相交链的磁链为：（2）内外导体间的外自感同轴线单位长度的外自感为：

(H/m)内外导体之间单位长度上的磁通为：根据安培环路定律所以：(3)外导体中的内自感按题意，外导体的壁很薄，可以认为电流只在的壁面上流动，这样外导体中的内自感为零。于是同轴线单位长度的总电感为利用能量关系也可方便地算出：此时，同轴线单位长度的总电感为:(H/m)

(H/m)若考虑外导体的壁厚，为外导体的外半径，需给出外导体的内自感。例3：无限长双导线单位长度上的电感。导线半径为。单位长度上的外自感：双导线单位长度上的电感：解：已知单位长度的内自感为：外自感：思考：一无限长导线平行于无限大导磁面，导线半径为a，求：单位长度上的电感。单位长度上的电感：3.互感不难证明，线圈回路间的互感是互易的，即式中：同理，线圈对线圈的互感为线圈对线圈的互感为如果两个载流回路分别由匝线圈组成，则互感变为例4：如图所示，求无限长直导线和直角三角形导线回路间的互感。解：根据互感定义得：思考：如图所示，求两对无限长双导线单位长度上的的互感。六、电场能量

已知在静电场的作用下，带有正电荷的带电体会沿电场方向发生运动，这就意味着电场力作了功。静电场为了对外作功必须消耗自身的能量，可见静电场是具有能量的。如果静止带电体在外力作用下由无限远处移入静电场中，外力必须反抗电场力作功，这部分功将转变为静电场的能量储藏在静电场中，使静电场的能量增加。由此可见，根据电场力作功或外力作功与静电场能量之间的转换关系，可以计算静电场能量。设带电体的电量Q

是从零开始逐渐由无限远处移入的。由于开始时并无电场，移入第一个微量dq

时外力无须作功。当第二个dq

移入时，外力必须克服电场力作功。若获得的电位为

，则外力必须作的功为

dq

，因此，电场能量的增量为

dq

。已知带电体的电位随着电荷的逐渐增加而不断升高，可见电位是电量q的函数。那么当电量增至最终值Q

时，外力作的总功，也就是电量为Q的带电体具有的能量为首先根据外力作功与静电场能量之间的关系计算电量为Q的孤立带电体的能量。1.用场源表示静电能量已知孤立导体的电位

等于携带的电量q

与电容C的之比，即代入式，求得电量为Q

的孤立带电体具有的能量为或者表示为对于n

个带电体具有的总能量，也可采用同样的方法进行计算。

q2从移到b点，需克服q1的电场力做功，q1从移到a点不受力，所需能量W1=0，q3从移到c点，所需能量总能量推广1：若有n个点电荷的系统，静电能量为单位：J（焦耳）推广2：若是连续分布的电荷，式中

为体元dV、面元dS、或线元dl所在处的电位，积分区域为电荷分布的空间。从场的观点来看，静电场的能量分布在电场所占据的整个空间，应该计算静电场的能量分布密度。静电场的能量密度以小写英文字母we表示。2.用场量表示静电能量能量：由因为无电荷区域被积函数为零，积分区域以及所在区域扩展至无穷远并不影响由电荷的值。当S扩展至无穷远时，由于电荷分布在有限区域，在无穷远处看来，相当于一个点电荷，电场分布也与点电荷类似，故有，同时有因当时，面积分为零，即无限远处的电位及场强趋于零。因此注意：上式的体积分应遍布整个空间。单位：焦耳J因此电场能量密度为：该式表明电场能量储藏在有场强的空间,从场的观点来看，静电场的能量分布在电场所占据的整个空间。对于各向同性的线性介质，，代入后得此式表明，静电场能量与电场强度平方成正比。因此，能量不符合叠加原理。虽然几个带电体在空间产生的电场强度等于各个带电体分别产生的电场强度的矢量和，但是，其总能量并不等于各个带电体单独存在时具有的各个能量之和。事实上，这是因为当第二个带电体引入系统中时，外力必须反抗第一个带电体对第二个带电体产生的电场力而作功，此功也转变为电场能量，这份能量通常称为互有能，而带电体单独存在时具有的能量称为固有能。例5：计算半径为a，电量为Q的导体球具有的能量。导体周围介质的介电常数为

。解可以通过三种途径获得相同结果。（1）已知半径为a，电量为Q的导体球的电位为那么求得（2）已知导体表面是一个等位面，那么积分求得（3）已知电量为Q

的导体球外的电场强度为为能量密度为，那么沿球外整个空间积分求得aQrrwWa

π8d

sindd2

2e

π0

π2

0

eeqqf==òòò¥例6：一平板电容器其电容量为C，加于极板间的电压为U。它所储存的电场量在电路理论中表示为

We=1/2CU²。现以电场能量密度的体积分来验证这一电容器所储存的电场能量的表达式。

解：对于平板电容器，忽略边缘效应时，极板间电场可以认为是均匀的。设电容器极板面积为s，极板间距为d，因为于是而结果与电路理论相同。

因电容器极板上电荷Q=CU，故电容器储存电场能量亦可表示为另两种形式例7：设真空中有一孤立的带电金属球，半径为R，所带电荷为q，求电场储存的能量。。解：法1：金属球的电位法2：七、电场力已知某点的电场强度在数值上等于单位正电荷在该点受到的电场力。因此，点电荷受到的电场力为若上式中E

为点电荷q产生的电场强度，则式中

为该点电荷周围介质的介电常数。那么，点电荷受到点电荷q的作用力，或者说点电荷q对于点电荷的作用力为式中er

为由q指向的单位矢量。上式就是法国科学家库仑根据实验总结归纳的库仑定律。已知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可以计算带电体电荷之间的电场力。但是，对于电荷分布复杂的带电系统，根据库仑定律计算电场力是非常困难的，有时甚至无法求解。为了计算具有一定电荷分布的带电体之间的电场力，通常采用虚位移法。这种方法是假定带电体在电场作用下发生一定的位移，根据位移过程中电场能量的变化与外力及电场力所作的功之间的关系计算电场力。以平板电容器为例，设两极板上的电量分别为+q及-q

，板间距离为l。为了计算方便，假定在电场力作用下，极板之间的距离增量为dl。众所周知，两极板间的相互作用力实际上导致板间距离减小。因此，求出的作用力应为负值。dll-q+q既然认为作用力F

导致位移增加，因此，作用力F的方向为位移的增加方向。这样，为了产生dl

位移增量，电场力作的功应为。根据能量守恒定律，这部分功应等于电场能量的减小值，即由此求得式中脚注q=常数说明当极板发生位移时，极板上的电量没有发生变化，这样的带电系统称为常电荷系统。已知平板电容器的能量为。对于常电荷系统，发生位移时电量q未变，只有电容C

改变了。式中S

为极板的面积，l为两极板的间距。将这些结果代入上式，求得平板电容器两极板之间的作用力为已知平板电容器的电容式中负号表明作用力的实际方向是指向位移减小的方向。如果假定发生位移时，电容器始终与电源相连，这样，在虚位移过程中，两极板的电位保持不变，这种系统称为常电位系统。根据这种常电位的假定，也可以计算平板电容器两极板之间的作用力，所得结果应该与上完全相同。设在电场力作用下，极板间距的增量为dl。由于电容改变，为了保持电位不变，正极板的电荷增量为dq，负极板的电荷增量为-dq

。设正负极板的电位分别为

1

及

2

，则电场能量的增量为式中为两极板之间的电压。为了将dq

电荷移至电位为

1的正极板，将电荷-dq移至电位为

2的负极板，外源必须作的功为根据能量守恒原理，外源作功的一部分供给电场力作功，另一部分转变为电场能的增量，因此求得例8：利用虚位移法计算平板电容器极板上受到的表面张力。解：利用虚位移概念，假定由于同一极板上的同性电荷相斥产生的表面张力为F。在此表面张力F的作用下，使极板面积扩大了dS，则电场力作的功为FdS。根据能量守恒原理，这部分功应等于电场能量的减小值，即已知平板电容器的能量为，代入上式，得若虚位移时，极板与外源相连，因而电位保持不变。那么，表面张力F

应为那么将代入，即可获得同样结果。八、恒定磁场能量已知穿过闭合回路的磁通发生变化时，在回路中产生感应电动势，因而回路中产生感应电流。此时，产生电流所需的能量是由外部磁场提供的。若在回路中加入外源，回路中产生电流。在电流建立过程中，回路中产生的反磁通企图阻碍电流增长，为了克服反磁通产生的反电动势，以维持电流达到一定数值，外源必须作功。若电流变化非常缓慢，可以不考虑辐射损失，则外源输出的能量全部储藏在回路电流周围的磁场中。上述能量转换说明了磁场可在回路中产生电流，而外源又可向磁场提供能量。由此可见，磁场具有能量。根据外源在建立磁场过程中作的功即可计算磁场能量。设单个回路的电流从零开始逐渐缓慢地增加到最终值I，因而回路磁通也由零值逐渐缓慢地增加到最终值

。若时刻t

回路中的电流为i(t)

，则此时刻回路中的瞬时功率为在dt

时间内外源作的功为已知反电动势为为了克服这个反电动势，外源必须在回路中产生的电压

U=-e，即1、磁场能量（1）单一回路已知单个回路的磁通链与回路电流的关系为那么，在线性媒质中，由于回路电感L与电流i无关，求得dt

时间内外源作的功为当回路电流增至最终值I时，外源作的总功

W

为这个总功在回路中建立的电流为I，在其周围建立磁场。因电流增长很慢，辐射损失可以忽略，外源作的功完全转变为周围磁场的能量。单个回路电流的磁通链即是穿过回路的磁通，因此若以Wm

表示磁场能量，那么此式又可改写为由此可见，若已知回路电流及其磁场能量，那么利用上式计算电感十分方便。考虑到，则单个回路电流周围的磁场能量又可表示为式中

为与电流

I

交链的磁通链。（2）N个回路（以两个回路为例）则t时刻，回路1、2中的感应电动势为

若要继续充电，外源必须克服回路的感应电动势做功第一步：从

当i1有增量di1时，周围磁场有改变，l1和l2两回路的磁链的增量分别是d

11和d

21。必须在回路1和2中外加电压-

11和-

21，以保证回路1中的电流在dt内改变di1和回路2中维持i2＝0。外源需做功

过程中，外源所做的功第二步：不变，从

则t时刻，回路1、2中的感应电动势为若要继续充电，外源必须克服回路的感应电动势做功，即

不变，从，外源所做的功故两个通电线圈的磁场能量推广自有能互有能

•

是回路k独存在时的能量，称为自有能量。自有能量始终大于零。

•

与两回路的电流及互感系数有关，称为互有能。当两个载流线圈产生的磁通是相互增加的，互有能为正；反之为负。•对于单一回路2、能量密度

磁场能量是在建立回路电流的过程中形成的，分布于磁场所在的整个空间中。考虑到磁通可以用矢量磁位A表示，则磁能Wm可表示为式中为导电媒质体积元所占体积，为导电媒质的总体积。若电流连续地分布在体积V中，电流密度为J：由于在导体所占空间外并无其他电流分布，故上式体积分可遍及整个空间而不影响积分效果。由矢量恒等式利用的关系，式中V为电流所在的区域。显然，若将积分区域扩大到无限远处，上式仍然成立。令S

为半径无限大的球面，则由高斯定理知，上式第一项的则单位：J（焦耳）上式表明磁能是以磁能密度的形式储存在整个场域中。磁能密度单位：磁场能量与磁场强度平方成正比，磁场能量也不符合叠加原理。例9计算同轴线中单位长度内的磁场能量。设同轴线中通过的恒定电流为I

，内导体的半径为a，外导体的厚度可以忽略，其半径为b，内外导体之间为真空。解已知同轴线单位长度内的电感为因此，单位长度内同轴线中磁场能量为我们也可以通过磁场密度计算同轴线的磁场能量。已知内导体中的磁场强度为因此内导体中单位长度内的磁场能量为又知内外导体之间的磁场强度Ho

为所以内外导体之间单位长度内的磁场能量为单位长度内同轴线的磁场能量应为，此结果与前式完全相同。已知，可见，通过磁场能量也可计算电感。例10利用磁场能量求长为l，截面半径为a，（l>>a）的导线内自感。解：导线内离轴线R处，磁场强度例11用磁场能量求无限长同轴线单位长度的电感。解：在的区域三个区域单位长度内的磁场能量分别为由例9得：因为总磁场能量所以同轴线单位长度的电感为其中（内自感）（内芯的外感）（外套管壁内的电感）与例2计算的结果一致。3、磁场力dl1Ozyxdl2l2l1I2I1r2-r1r2r1已知式中磁感应强度B1为因此，B1对于整个回路l2的作用力F21为那么，由回路电流I1

产生的磁场B1对于电流元I2dl

的作用力dF21为同理，回路电流I2产生的磁场B2对于整个回路l1的作用力F12

为（安培定律）根据牛顿定律得知，应该。这个结论也可直接由上式获得证明。如果回路形状复杂，上述积分计算是很困难的，甚至无法求得严格的解析表达式。为了计算磁场力，类似计算电场力一样，也可