ch8 非线性控制系统分析

第八章非线性控制系统8-1

非线性系统的概述8-3相平面分析法8-2常见非线性系统特性分析8-4

描述函数法

介绍工程上常用的相平面法和描述函数法非线性系统一般理解为非线性微分方程所描述的系统。线性系统的本质特征是叠加原理。非线性系统不满足叠加原理的系统。

8-1

非线性系统的概述

1.研究非线性系统的意义1）实际的控制系统，存在着大量的非线性因素。这些非线性因素的存在，使得我们用线性系统理论进行分析时所得出的结论，与实际系统的控制效果不一致。线性系统理论无法解释非线性因素所产生的影响.2）非线性特性的存在，并不总是对系统产生不良影响.2.非线性系统的主要特征：

系统的稳定性除与结构参数有关外，还与起始偏差的大小有关。

统的响应形式与输入信号的大小和初始条件有关。

在没有外界周期变化信号输入时，非线性系统完全可能产生具有固定周期和幅值的稳定振荡过程。(自激振荡非线性一阶系统的时间响应非线性系统的自激振荡非线性系统的特点（P360）8-2常见非线性系统特性分析例饱和特性系统若有饱和非线性元件，它的开环增益会大幅度地减小，从而导致系统的过滤过程时间增加和稳态误差变大。图8-111种非线性(P362-365)8-3节相平面法设二阶系统微分方程式的一般形式为一、相平面的基本概念不同的初始条件,方程式的解是不相同的,即间的关系随初始条件而变化,把为坐标的平面上,这种关系曲线称相轨迹.由组成的平面叫相平面.的关系画在以和设弹簧,质量.阻尼器系统的齐次方程为写成标准化形式1）用解析法求出x1和x2与t的关系(见图)2）以t为参变量,求出x2=f(x1)的关系，并把它画在x1-x2平面上，(见图）图二阶线性系统的时域响应和相轨迹求解方法：二、等倾线法等倾线法续1第一个新思想是第二个新思想是令为常数αα是相轨迹斜率β是等倾线斜率等倾线法续2－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－等倾线法续3等倾线法续4注意这两条线渐近线叫开关线注意事项相轨迹的性质：1）相轨迹上每一点都有其确定的斜率2）相轨迹的奇点3）相轨迹正交于x1轴4）相轨迹运动方向的确定在相平面的上半平面上，由x2＞0于，表示相轨迹的运动方向是x1的增大方向，却向右运动。在相平面上，由于x2

＜0，相轨迹的运动方向是x1的减小方向，即向左运动。三、线性系统的相轨迹绘制绘制相轨迹的方法有解析法和图解法两种。解析法只适用于系统微分方程较简单的场合；图解法适用于非线性系统。用解析法求相轨迹例8-2设二阶系统的微分方程为：图8例8-2的相轨迹（1）无阻尼运动相轨迹方程为：其中相轨迹如图所示，在相平面上是为一族同心的椭圆。每个椭圆相当于一个简谐振动。图系统无阻尼运动时的相轨迹相轨迹的方向如图中箭头所示。相轨迹垂直穿过横轴。坐标原点处相轨迹的斜率不能由该点的坐标唯一地确定，这种点叫做奇点。图的奇点(0,0)通常称为中心

（2）欠阻尼运动其中方程的解为相轨迹如图所示。从图中可以看出，欠阻尼系统不管初始状态如何，它经过衰减振荡，最后趋向于平衡状态。坐标原点是一个奇点，它附近的相轨迹是收敛于它的对数螺旋线，这种奇点称为

稳定的焦点。图系统欠阻尼运动时的相轨迹（3）过阻尼运动这时方程的解为相轨迹如图所示。图过阻尼时的相轨迹图过阻尼运动的时间响应坐标原点是一个奇点，这种奇点称为稳定的节点。（4）负阻尼运动相轨迹图如图所示，此时相轨迹仍是对数螺旋线，但相轨迹的运动方向与欠阻尼图不同，随着t的增长，运动过程是振荡发散的。这种奇点称为不稳定的焦点。图系统的相轨迹图如图所示，奇点称为不稳定的节点。图不稳定（5）负阻尼运动此时相轨迹如图所示。奇点称为

鞍点

该奇点是不稳定的。图斥力系统的相轨迹（6）符号相反的负实根线性系统特征根与相轨迹j0j0j0节点稳定焦点中心不稳定节点不稳定焦点鞍点

λ1j0

λ2j0λ2λ1j0λ1λ2四、奇点与奇线五、相平面分析

饱和非线性系统的相轨迹饱和非线性系统的相轨迹描述函数图非线性控制系统图中G(s)为线性环节,N为非线性元件.若在N的输入端施加一幅值为X频率为ω的正统信号,即e=Xsinωt，则其输出为：8-4描述函数法假设:1）非线性元件的特性对坐标原点是奇对称的,即A0=02）R(t)=03）G(s)具有良好的低通滤波器特性，能把y中多高次谐波滤掉，只剩一次谐波项。则其中经过线性化处理后，非线性元件的输出是一个与其输入信号同频率的正弦函数，仅在幅值和相位上与输入信号有差异。非线性特性线性化的条件：1）假设系统的输入r(t)=02）非线性元件的静特性不是时间t的函数3）非线性元件的特性是奇对称的，即有4）系统的线性部分具有良好低通滤波器的性能，经过线性化后，非线性元件的输出与输入的关系为：

N(X)---非线性特性的描述函数图8-7用描述函数表示非线性特性的系统描述函数可以定义为非线性特性输出的一次谐波分量与输入正弦量的复数比。非线性环节的正弦响应(补充)y(t)ωty(t)ωtωty(t)y(t)ωt描述函数的定义(P382)y(t)=A0+∑(Ancosnωt+Bnsinnωt)n=1∞若A0=0，且当n>1时，Yn均很小，则可近似认为非线性环节的正弦响应仅有一次谐波分量！1111非线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响应形式为此，定义正弦信号作用下，非线性环节的稳态输出中一次谐波分量和输入信号的