考点03实际问题与二次函数（解析版）

考点03实际问题与二次函数

知识框架

甘工山如、口上」列二次函数解决实际问题的一般步骤

基础知识点V

［实际问题中自变量的取值

'球类运动轨迹问题

拱桥问题

喷水问题

4上啪利销售问题（利润问题）

重难点题型＜he,”*、2d"、rg

面积（长度）的最值问题

分段函数问题

二次函数综合问题

［二次函数中的其他问题

一、基础知识点

知识点3-1列二次函数解决实际问题的一般步骤

1）列二次函数解决实际问题的原则，与一元二次方程的实际问题原则类似：

①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式；

②以利于表示等量关系式为原则，设出2个变量，注意区分自变量和因变量（与一元二次方程不同的地方）；

③依据等量关系式和变量建立函数关系式，转化为二次函数问题；

④解决二次函数，并解答。

注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。

例1.（2021•江苏连云港市•中考真题）某快餐店销售4、8两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖

出份数分别为40份、80份.该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份8种快餐

的利润.售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高

1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是元.

【答案】1264

【分析】根据题意，总利润=A快餐的总利润+5快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润x对应总数量，

分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可.

【详解】解：设A种快餐的总利润为叱，8种快餐的总利润为明，两种快餐的总利润为W，设A快餐的

份数为工份，则8种快餐的份数为（120-X）份.

据题意：叱^^12-^^jxx=^12-1+20jxx=-1x2+32x

%=8+——-------（120-X）=--X2+72X-2400

22

：.W^W}+W2=-A:+104x-2400=-（x-52）+1264

；T<0.,.当x=52的时候，W取到最大值1264,故最大利润为1264元故答案为：1264

【点睛】本题考查的是二次函数的应用，正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点.

例2.（2021•江苏苏州市•九年级一模）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建

筑融为一体，最大程度地传承了苏州历史文化.如图②，“东方之门”的内侧轮廓是由两条抛物线组成的，已

知其底部宽度均为80m,高度分别为300m和225m,则在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度

（的长）为m.

（图①〉

【答案】40

【分析】以底部所在的直线为x轴，以线段A5的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面宜角坐标系，用待

定系数法求得外侧抛物线的解析式，则可知点A、8的横坐标，从而可得A8的长.

【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系:

图②

.•.C(TO,O),D(40,0),设外侧抛物线的解析式为y=a(x+40)(x-40),将(0,300)代入，得:

300=”（0+40）（0-40）,解得：。=一3,，.•.内侧抛物线的解析式为丫=-33/+300,

将y=225代入得：一士丁+300=225,解得：x=+20,A（-20,225）,3（20,225）,.•.AB=40，

16

二在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度（AB的长）为40故答案为：40.

【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、熟练掌握待定系数法是解题的关键.

例3.（2021•盐城市初级中学九年级期中）小明为了能在4月份的体育加试中取得好成绩，每天进行掷实

心球训练：当投掷实心球时会产生竖直向上的速度和水平向前的速度，研究表明：当这两个速度相等时，

投掷距离最远.实心球在投掷的过程中的高度y与实心球出手后的时间f满足：〉=-5於+加+2,水平距

离a是出手后实心球水平向前的速度，b为出手后竖直向上的速度.

（1）当a==时，①写出x与/的函数表达式为，y与，的函数表达式为；

②结合所给的平面直角坐标系，求出y与x的函数表达式及此时投掷距离.

（2）当a=b时，点。为投掷点，实心球落在圆心角为45。的NAOB区域内时成绩有效，以实心球的落

地点与投掷点O的距离为学生的投掷距离，已知落地点P在N4OB区域内且到边界的距离PM=V2m,

PN=6m,求出小明投掷的距离及实心球在此次投掷中的最高高度.

【答案】⑴①x=4"，y=-5r+4扬+2；②尸-（炉+x+2（0<x<8）,8m；（2）投掷距离为10m,

2.006m

【分析】（1）①根据题意直接代入数值即可，②将①中的两式联立即可求出表达式，当y=o时即可求出投

掷距离；（2）先求出投掷距离，确定此时的表达式，求最值即可.

【详解】解：（1）①当a==历时，x=4"，y=-5产+4万+2,

故答案为x=4夜r，y=-5r+4应f+2；

②,；x=，®y=-5t2+4\/2z+2,②联立①②可得y=-+%+2(0<xv8),

故丁与x的函数表达式为y=-?+x+2(o<X<8),

当y=0时得方程-=f+x+2=o,解得兀=8或%=一一(舍去)，故投掷距离为8m；

325

(2)作MC_LON于C,PD_LMC于，四边形DPCN为矩形，即CD=6,

；ZAOB=45°,.-.ZOMC=45°,NDMP=45°,

又♦."/>=a，PN=6,：.MD=l，MC=CD+MD=MD+PN=1,..OM=70，

又；OP2=OM2+MP2，:.OP=J(7伪?+(招2=10，即投掷距离为10m,

a=b<X—Ut,y=—r-x2+x+2.,

a

当尤=10时，y=0,.•.()=—当+10+2,解得“=±^5,

a23

[3

V«>0,:.y=-^-x2+x+2,当"=/125、=丽时达到最高高度,

332x(--)

175aq1004

此时y=一.x(而f+去+2=嘿=2.006,故此次投掷力的最高高度为2.006m.

【点睛】此题考查与斜抛运动相关的数学知识，利用二次函数求最值是本题的解题关键.

例4.（2021•河北保定市•九年级一模）疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测.某

校统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数y（单位：人）可以看作时间无（单位：分钟）的二

次函数，其中00d30.统计数据如下表：

时间X（分钟）051015202530

人数y（人）0275500675800875900

（1）求出y与x之间的函数关系式.

（2）如果学生一进学校就开始测量体温，测温点有2个，每个测温点每分钟检测20人，学生按要求排队

测温.求第多少分钟时排队等待检测体温的人数最多？

(3)检测体温到第4分钟时，为减少排队等候时间，在校门口临时增设1个人工体温检测点，己知人工每

分钟可检测12人，人工检测多长时间后，校门口不再出现排队等待的情况(直接写出结果).

【答案】(1)y=—f+60x：(2)第10分钟时排队等待检测体温的人数最多；(3)人工检测8分钟多长

时间后，校门口不再出现排队等待的情况.

【分析】(1)根据题意设出二次函数解析式，代入3个点即可求出函数解析式；

(2)两个测温点每分钟检测40人,x分钟检测40x人,则可以列出第x分钟等待检测体温的人数为y-40%,

再根据二次函数的性质求最值；(3)在原来等待人数的基础上再减去12(x-4),列出函数关系式，当不再

有人等待，即等待人数为0,解出方程即可.

【详解】(I)^y=ax2+bx+c(.a^0),将点(0,0),(5,275),(10,500)代入函数解析式，得：

c=0a--1,

<25a+5b+c=215,解得"=60,所以二次函数解析式为y=-尤?+60x(030)；

100a+10Z?+c=500c=0

(2)两个测温点卷分钟检测40人，x分钟检测40x人，

则第X分钟等待检测体温的人数为：y-40x=-X2+60x-40x=-x2+2Qx,

当x=-2=10时，等待人数最多，最多为：-1()2+20?2()1()()(人)；

2a

(3)由(2)知，第x分钟等待检测体温的人数为y-40龙=-x2+60x-40x=-x2+20x,

检测体温到第4分钟时，为减少排队等候时间，在校门口临时增设1个人工体温检测点，已知人工每分钟

可检测12人，所以当x>4时，又增加了检测人数12(尤-4),

故等待检测体温的人数为：y-40x-12(x-4)=-x2+60x-40x-12(x-4)=-x2+8x+48(x>4),

令-8/48=0,解得玉=12,々=—4(不合题意舍去)，,12—4=8(分钟)，

即当人工检测8分钟后，校门口不再出现排队等候情况；

答：人工检测8分钟后，校门口不再出现排队等候情况.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的应用，关键是根据题意列出等待人数与检

测时间的函数关系式.

例5.(2021•浙江绍兴市•中考真题)小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截

面示意图，如图1,杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径A6=4,且点A，

3关于y轴对称，杯脚高8=4,杯高£>0=8,杯底MN在x轴上.

(1)求杯体ACB所在抛物线的函数表达式(不必写出x的取值范围).

(2)为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2,杯体ACB'所在抛物线形状不变，杯口直径

A!B'HAB,杯脚高CO不变，杯深C。与杯高0。'之比为0.6,求A'B'的长.

【答案】⑴y=x2+4；(2)2娓

【分析】(1)确定8点坐标后，设出抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；(2)利用杯深CO与杯高

0D'之比为0.6,求出，接着利用抛物线解析式求出£或4横坐标即可完成求解.

【详解】解：(1)设丁=0?+4,•.•杯口直径A8=4,杯高£)0=8,.•.8(2,8)

将x=2,y=8代入，^<7=1,y=x2+4.

CD'CD'

(2)0.6,=0.6,...CD=60。'=10,

~6D,4+CD'

当y=10时，1()=/+4,%=®或：.A'B，=2R，即杯口直径A夕的长为2遍.

【点睛】本题考查了抛物线的应用，涉及到待定系数法求抛物线解析式、求抛物线上的点的坐标等内容，

解决本题的关键是读懂题意，找出相等关系列出等式等.

例6.(2021•湖北武汉市•九年级月考)如图，学校计划建造一块边长为40,”的正方形花坛A8CC,分别取四

边中点E,F,G,H构成四边形EFG”，四边形EFG4部分种植甲种花，在正方形A8CC四个角落构造4

个全等的矩形区域种植乙种花，剩余部分种草坪.每一个小矩形的面积为mA己知种植甲种花50元加2,

乙种花80元加2,草坪10元加2,种植总费用为y元.

(1)求y关于x的函数关系式；(2)当种植总费用为74880元时，求一个矩形的面积为多少？

(3)为了缩减开支，甲区域改用单价为40元/〃的花，乙区域用单价为〃元加2(。480,且a为10的倍

数)的花，草坪单价不变，最后种植费只用了55000元，求〃的最小值.

【答案】(1)y=280%+48000；(2)96,昌(3)50

【分析】(1)E,F,G,4分别为正方形ABCD各边的中点，则四边形EFGH为正方形且5正方彩£“看上黑卜

2

X4()2=800,进而求解；(2)令)=74880时，解得：x=96,即可求解；

(3)由题意得800x40+4xa+(800-4x)xl0=55000,即(a-10*=3750,而设矩形的一条边为则另一条边为20-/,

2

可得x=f(20-t)=-t+20t,当/=10时，xn,ax=100,故a>47.5,即可求解.

【详解】解：(1):E,F,G,，分别为正方形A8CC各边的中点，

二四边形EFGH为正方形且SEFGH=-SAfiCD=-X402=800,

ltfiK22

，>=800x50+4.v80+(800-4.v)x10=280x+480()0；

(2)当)，=74880时，280x+4800()=74880,解得：x=96,一个矩形的面积为96加；

3750

(3)由题意得800X40+44X+(800-4X)X10=55000,.".(d-10)x=3750,：.a=-----+10,

x

设矩形的一条边为tm,则另一条边为(20-/)①，.•.广〃(20")=“2+20/=-("0)2+100,

V-l<0,.•.当《10时,xelOO,：.a>47.5,

XVa<80,且a为10的倍数，二。的最小值为50.

【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模

型，然后结合实际选择最优方案.

例7.(2020•扬州市江都区国际学校初二期中)如图，线段48的长为6应，C为AB上一个动点，分别以

AC、8c为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACQ和△BCE,那么QE长的最小值是.

E

D

AC.B

【答案】3应

【分析】根据题意利用等腰直角三角形的特点知道AD=CD,CE=BE,ZACD=ZA=45°,NECB=NB=45°,

ZDCE=90°.利用勾股定理得出DE的表达式，进而设4。=工8。=6五—工利用配方法即可求出口£的

最小值.

【解析】解：在等腰Rtz^ACD和等腰RtZ\CBE中AD=CD,CE=BE,ZACD=ZA=45°,ZECB=ZB=45°

:./DCE=90。AD2+CD2=AC2,CE2+BE2=CB2，,CD2=-AC2,CE2=-CB2,

22

；DE2=CD2+CE?，；,DE2=-(AC2+CB2),

2

设AC=x,3C=6近一x,即有DE1=g［炉+(672-x)2］=(x-372)2+18,

:当x=3上时，。炉有最小值为18，

...当AC=30时，DE的值最小，即。E=J亚=3也.故答案为：3亚.

【点睛】本题考查等腰直角三角形的特点及二次函数求最值的方法，解答的关键是利用设参法和配方法进

行分析计算.

知识点3-2实际问题中自变量的取值

1)根据二次函数的性质知：函数的顶点为1-2,处也］,故当x=-e时，函数取得最值，x=-2①当

(2a4a)2a2a

a>0时，x=-2时函数有最小值，最小值产丝匕乏

2a4。

②当a<0时，x=-2时函数有最大值，最大值产也二三

2a4〃

2)在实际问题中，由于受自变量取值的限制，自变量有可能无法取到》=-々，这是就需要根据二次函数

2a

的性质进一步分析了。因此，在解决实际问题中，自变量的取值范围非常重要，必须要着重考虑，则解决

实际问题的步骤为：

①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式；

②以利于表示等量关系式为原则，设出2个变量，注意区分自变量和因变量；

③依据等量关系式和变量建立函数关系式，转化为二次函数问题；

④根据实际问题，确定自变量的取值范围；（添加步骤）

⑤解决二次函数，并解答。

1.（2021•山东潍坊市•九年级二模）为了推进乡村振兴战略，提升茶叶的品牌竞争力，某地政府在新茶上市

30天内，帮助茶农集中销售.设第X天（尤为整数）的售价为y（元/斤），日销售额为卬（元）.据销售记

录知：

销量：第1天销量为42斤，以后每天比前一天多销售2斤；

价格：前12天的价格一直为500元/斤，从第13天开始价格每天比前一天少10元.

请根据以上信息，解决问题：

（1）当13WXW30时，写出y关于X的函数表达式；

（2）当x为何值时日销售额w最大，最大为多少？

（3）若要保证第13天到第22天的日销售额w随x增大而增大，则价格需要在当天的售价基础上上涨，“元

/斤，求整数机的最小值.（直接写出结果）

【答案】（1）^=-10x+620（13<X<30）；（2）当X为第21天时日销售额卬最大，最大为33620元：（3）

20

【分析】（1）根据前12天的价格一直为500元/斤，后18天价格每天比前一天跌10元，可求出当13—30

时，y与x的关系；（2）根据日销售额=售价x日销售量，分类讨论在龙的取值范围内”的最大值即可得到结

.、/、,、/、2（/M+420）

论；（3）w=（>+m>（2x+40）=-20x~+2（〃?+420）%+40（m+620）,利用对称轴x=与、之22,

—2x（-2。）

即可求解.

【详解】解：（1）由题意得；y=5（X）-10（x-12）=-10x+620（13<x<30）；

（2）由题意得，销售量为42+2（x—l）=2x+40,

当1WXW12时，则w=500（2x+40）=1000x+20000,

当x=12时，卬取最大值为1000x12+20000=32000,

当13WxW30时，则w=y（2x+40）=（―1Ox+620）（2x+40）=-20（x-21）2+33620,

•••一2()<0,...当x=21H寸，卬取最大值为33620,

,/33620>32(XX),.•.当x=21时，w取最大值为33620,

答：当X为第21天时日销售额W最大，最大为33620元;

（3）依题意，w-[y+iTi）-（2x+40）=（-10%+620+m）（2x+40）

=-20x2+2（m+420）x+40（/n+620）,

•••第13天到第22天的日销售额卬随X增大而增大,

2（m+420）

二对称轴％=>22,得加之20，故加的最小值为20.

-2x（-20）

【点睛】此题主要考查了二次函数实际应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数

关系式是解决问题的关键.最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解.

2.（2021•湖南中考真题）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月

销售量》（单位：万件）与销售单价x（单位：元）之间有如下表所示关系:

X4.05.05.56.57.5

y8.06.05.03.01.0

y月销售量/万件

O45678x单价/元

（1）根据表中的数据，在图中描出实数对（x,y）所对应的点，并画出y关于X的函数图象；

（2）根据画出的函数图象，求出y关于x的函数表达式；（3）设经营此商品的月销售利润为产（单位：万

元）.①写出P关于X的函数表达式；②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成

本），若物价局限定商品的销售单价不彳号举迎进价的200%,则此时的销售单价应定为多少元？

【答案】（1）图象见详解；（2）y=-2X+16；（3）①尸=-2/+20X-32;②销售单价应定为3元.

【分析】（1）由题意可直接进行作图;（2）由图象可得y与x满足一次函数的关系，所以设其关系式为y=履+。,

然后任意代入表格中的两组数据进行求解即可;

（3）①由题意易得P=（x-2）y,然后由（2）可进行求解；②由①及题意可得_2/+20工-32=10,然后

求解，进而根据销售单价不得超过进价的200%可求解.

【详解】解：（1）y关于x的函数图象如图所示:

x单价/元

（2）由（1）可设y与x的函数关系式为》=丘+〃，则由表格可把（4,8）,（5,6）代入得：

4攵+。=8攵二一2

5&+。=6'解得：,“，・・.y与x的函数关系式为丁=-2%+16；

。=16

（3）①由（2）及题意可得：P=（x-2）y=（x-2）（-2x+16）=-2x2+20x-32；

，P关于％的函数表达式为2=-2/+20乂-32;

②由题意得：x<2x200%,即％W4，，-2/+20犬-32=10,解得：玉=3,々=7,x=3；

答：此时的销售单价应定为3元.

【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的应用，熟练掌握二次函数与•次函数的应用是解题的关键.

3.（2020.湖北省初三模拟）受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售A、B两种型号的“手写板”,

获利颇丰.已知4型，B型手写板进价、售价和每日销量如表格所示：

进价（元/个）售价（元/个）销量（个/日）

A型600900200

8型800120()400

根据市场行情，该销售商对4型手写板降价销售，同时对8型手写板提高售价，此时发现A型手写板每降

低5元就可多卖1个，B型手写板每提高5元就少卖1个，要保持每天销售总量不变，设其中A型手写板每

天多销售x个，每天总获利的利润为)'元(1)求》与x之间的函数关系式并写出x的取值范围；(2)要使

每天的利润不低于234000元，直接写出x的取值范围；(3)该销售商决定每销售一个B型手写板，就捐“

元给(0<a4100)因“新冠疫情”影响的困难家庭，当30Wx<40时，每天的最大利润为229200元，求“

的值.

【答案】(1)y=-10x2+900x+220000(0<x<6()),且x为整数；(2)20<x<60,且x为整数：

(3)a=30

【分析】(1)设A型手写板每天多销售x个，则B型手写板每天少销售x个，根据总获利的利润y等于销

售A型手写板所获利润加上销售8型手写板所获利润，根据每件销售的利润，每II的销量都为非负数且X为

非负整数求出X的取值范围；(2)结合(I)将总利润函数进行配方，求出当y=234000时的X值，结合图

象得到每天的利润不低于234000元时的x的取值范围，进而求解；(3)设捐款后每天的利润为w元，则

卬=丁一(400-x)a,然后利用二次函数的性质进行求解.

【解析】⑴y=(900-600-5x)(200+x)+(1200-800+5x)(400-x),

x>0

化简得，j=-1Ox2+900x+220000,由题意知，■300—5x20,解得，0<x<60，

400-x>0

故x的取值范围为04xK6()且％为整数；

(2)x的取值范围为20WX<60,理由如下：y=-10x2+900^+220000=-10(x-45)2+240250,

当y=234000时，-10(x-45)2+240250=234000,

••.(x-451=625，x-45=±25,；.X=2()或x=7(),要使了之234000,由图象知，20<xK7()；

v0<x<60,.-.20<%<60,且x为整数；

(3)设捐款后每天的利润为卬元，

则w=-10x~+900x+220000-(400-=-10r+(900+a)x+220000-400a,

对称轴为x=90°+3=45+幺,•.-0<a<100，.-.45+—>45,

202020

♦.•抛物线开口向下，当30WxK4()时，w随x的增大而增大，

当x=40时，卬最大，.—16(XX)+40(9(X)+a)+220000—4(X)a=229200,解得，a=30.

【点睛】本题考查二次函数的应用，正确理解题意，列出二次函数的表达式是解题的关键，第(2)(3)题

可结合二次函数的图象进行求解.

4.(2020.广东省初三期末)网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市市长亲自

在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗.为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000

元现金，作为红包发给购买者.已知该板栗的成本价格为6元/kg,每日销售量y(kg)与销售单价联元/kg)

满足关系式：y=-100^+5000.经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg.当每日销售

量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元设板栗公司销售该板栗的日获利为W(元).(1)请求出日获

利卬与销售单价x之间的函数关系式(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为

多少元？(3)当WN40000元时，网络平台将向板栗公可收取。元/kg(a<4)的相关费用，若此时日获利

的最大值为42100元，求a的值.

_J-100%2+5500%-27000(6<x<10)

【答案】(1)卬-1-100x2+5600x-32000(10<x<30)；(2)当销售单价定为28元时，日获利最大,

且最大为46400元；(3)a=2

【分析】(1)首先根据题意求出自变量x的取值范围，然后再分别列出函数关系式即可；

(2)对于(1)得到的两个函数关系式在其自变量取值范围内求出最大值，然后进行比较，即可得到结果;

(3)先求出当w=4(XXX)，即一1()0/+560()x—3200()=4000()时的销售单价，得当

w>40000,20<x<36,从而20WxW30,得用=(x-6-a)(-100x+5000)-2000,可知，当

x=28+ga时，吗叱=42100元，从而有(28+；。-6—a][—100(28+；a+5000-2000=42100,

解方程即可得到a的值.

【解析】(1)当yN4()00,即—100x+500024000,.♦.xWl().

.:当6WxW10时，w=(x-6+l)(-100x+5000)-200()=_jQOx2+5500x-27000

当10<xW30时，w=(x-6)(-100J;+5000)-2000=-100%2+5600x-32000.

-100x2+5500%-27000(6<x<10)

,卬=v

-100^2+5600%-32000(10<x<30)

(2)当6WxW10时，w=-100x2+5500x-27000.

...对称轴为―『一犹输音..当E0时,卬皿=5x400。-2000=1800。元.

当10<xW30时，w=-100x2+5600%-32000.

•.•对称轴为一/一寿旷28,.•.当片28时，=22x2200-2000=46400^.

•.•46400>18000.•.综合得,当销售单价定为28元时,日获利最大，且最大为46400元.

(3)V40000>18000..-.10<x<30,则3=-lOOf+5600x—32000.

令w=40000,则—l()0%2+5600%—32()00=4()()()().解得：%=20,%=36.

在平面直角坐标系中画出W与X的数示意图.观察示意图可知：vv>4()000,20<x<36.

又•.•10<x<30,20<x<30.

吗=(x—6-。)(一100x+5000)-2000=-1OOx2+(5600+100a)x-32000-5000a.

b5600+100a°。1

对称轴为x=----=-------------=28+—«

2a2x(-100)2

<4r••对称轴x28+—cz<30.当x28+—<7时,wmax=42100兀.

28+—ci—6—izjl—100(28+—<7j+5000—2000=42100:./一88a+172=0,4=2,4=86.

2

X,/<2<4,.\a-2.

【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系及

二次函数的性质是解题的关键.

重难点题型

题型1.球类运动轨迹问题

解题技巧：球类运动与抛物线息息相关，如运动轨迹、速度的变化等。在分析球类问题时，题干一般并未

告知函数的解析式，仅告知了某些特殊点的坐标，因此，球类问题的解题步骤为：

①根据图形中的特殊点，利用待定系数法，求解函数解析式；②转化为二次函数问题进行求解，并解答

1.（2021•吉林长春市•九年级其他模拟）为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅

球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分.已知铅球出手处A距离地面的高度是1.68米，当铅球运行

的水平距离为2米时，达到最大高度2米的8处，则小丁此次投掷的成绩是米.

B

【分析】建立坐标系，如图所示：根据顶点为（2,2）,过点（0,1.68）求得抛物线解析式，转化为抛物线与

x轴的交点问题即一元二次方程问题求解即可.

由题意得：4（0,168）,3（2,2）,点B为抛物线的顶点，设抛物线的解析式为y=a（x—2）?+2,

把A（0,1.68）代入得：而+2=1.68,解得a=-0.08,

.•.丁=-0.08（*一2）2+2,令丁=0,得-0.08（x—2）2+2=0解得％=7,x2=-3（舍），

，小丁此次投掷的成绩是7米.故答案为：7.

【点睛】本题考查/二次函数的应用，根据题意自主建立坐标系，把生活问题转化为二次函数的数学模型

求解是解题的关键.

2.（2021•青海西宁市•九年级期末）铅球运行高度y（单位：rn）与水平距离X（单位：m）之间的函数关

系满足y=—\x2+gx+3,此运动员能把铅球推出__________m.

【答案】18

【分析】运动员把铅球推出的距离即为y=0时x的正值，据此求解可得答案.

1,4

【详解】解：当y=0时，0=---X2+—x+3,整理，得：x2-16x-36=0,解得xi=18,xi=-2,

123

所以此运动员能把铅球推出18〃?，故答案为：18.

【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解运动员把铅球推出的距离即为y=0时x的正值.

3.（2020•四川泸县五中九年级一模）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一

条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：S）之间具有函数

关系y=—5/+20x,请根据要求解答下列问题：

（1）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？

（2）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？

【答案】（1）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s；（2）在飞行过程中，在2s时小球飞行高度

最大，最大高度是20m

【分析】（1）在y=-5f+20x中，令y=0,得关于x的一元二次方程，求得方程的解，再用较大的x值

减去较小的x值即可得出答案.（2）将＞=-5/+20”写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案.

【详解】解：（1）•••、=—5/+20x,.•.☆、=（）,得0=-5/+20%，解得玉=0,々=4，

•.•4-0=4（s）,.•.在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s.

（2）y=-5x2+20x=-5（x-2）2+20.

...当x=2时，丁取得最大值，最大值为20.

...在飞行过程中，在2s时小球飞行高度最大，最大高度是20m.

【点睛】本题考查二次函数的实际应用.掌握二次函数的图象及其性质是解此题的关键.

4.(2021•安徽淮南市•九年级月考)在一次篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮.已知球出手时离地面一m,

9

与篮圈中心的水平距离为7m,球出手后水平距离为4m时达到最大高度4m，设篮球运行轨迹为抛物线，

篮圈距地面3m.(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；(2)此时球能否准确投中？

(3)此时，对方队员乙在甲面前1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m,那么他能否获得成功？

【答案】(1)y=--(x-4)2+4；(2)能投中；(3)能拦截成功，理由见解析

【分析】(1)根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式；

(2)令尸7,求出y的值，与3,”比较即可作出判断；(3)将代入y=—§(x—4尸+4进而得出答案.

【详解】⑴

如图，球出手点、最高点(顶点)坐标分别为：AI0,—,8(4,4)

设二次函数解析式为y=a(x—4>+4,将点[。,歹)代入可得：16a+4=§,

2

解得：a=-L,.••抛物线解析式为：y=-l(x-4)+4；

99

1,

(2)将C点横坐标x=7代入抛物线解析式得：—§(7—4)2+4=3

即C点在抛物线上，，此球一定能投中；

(3)能拦截成功.理由：将x=l代入y=—[(x—4>+4得丫=3

,他能拦截成功.

【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，及其实际应用.此题为数学建模题，借助二次函数解决实际

问题.

5.（2021•浙江嘉兴市•九年级期末）女生排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米.某

次模拟测试中，某女生在。处将球垫偏，之后又在A,2两处先后垫球，球沿抛物线C1运动（假

设抛物线在同一平面内），最终正好在。处垫住，。处离地面的距离为1米.如图所示，以。为

（33、

坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，x轴平行于地面水平直线已知点七,第点B的横坐标

3

为一5,抛物线C,和C3的表达式分别为y=ax2-2ax^y=2cix1+hx（a。0）.

（1）求抛物线G的函数表达式.（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明

理由.（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该女生第三次垫球处B离地面

的高度至少为多少米？

【答案】（1）y^--x2+x；（2）未达到，理由见解析；（3）1.75米

2

【分析】（1）将点A坐标代入Cl：y=aY—2ox中，求出a值即可；

（2）求出抛物线G的顶点，求出实际最大高度，可得结果；

（3）根据达到最大高度达到要求得到不等式，求出b的范围，从而算出B离地面的高度.

【详解】解：⑴•••C,：y=ax2-2ax,将4已2］代入，得：-2«x-.

­128；8⑶2

解得：a=—,**•：y=——x2+x；

1

-----------------i

（2）由（1）得：a的对称轴为直线*=2x1—0=1'则顶点为（1，3），

13

TO处距离地面I米，.,•最大高度为一+1=—<2,・••未达到要求；

22

b卜H

（3）C3：y="2cix~+bxi^ci0）,对称轴为直线x二---，则顶点为（-----，----）,

4a4a8a

h1393

二,最大距国达标，，----Nl,./B的横坐标为，「.yBU—。b,

8〃222

由⑴得a=—L.•.旦21，解得:哙2或b£2,

24

Vx=—<0,.,.a,b同号，则bW-2,...yB=Zx［一1］一］乂（-2）=。，故高度至少应为1+。=1.75米.

4a212）2'，44

【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，理解题干中的实际情景.

6.（2020•天津一中九年级月考）如图，在水平地面点A处有一•网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线

是一条抛物线，在地面上落点为B,有人在直线A8上点C（靠点8一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶,

试图让网球落入桶内.已知45=4米，AC=3米，网球飞行最大高度OM=4米，每个圆柱形桶的直径

为0.5米，高为0.4米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）.

（1）建立适当的直角坐标系，求网球飞行路线的抛物线解析式；

（2）若竖直摆放4个圆柱形桶时，则网球能落入桶内吗？说明理由；

（3）若要网球能落入桶内，求竖直摆放的圆柱形桶的个数.

【答案】（1）坐标图见解析，y=—W+4；（2）不能，理由见解析；（3）5个或6个或7个

【分析】（1）根据题意顶点M（0,4）、点A（-2,0）,利用待定系数法可求出函数解析式；

（2）当桶的左侧（x=l）最高点位于抛物线以下，右侧（x=L5）最高点位于抛物线以上时，球才能落入

桶内，据此可分别计算x=l和x=1.5时y的值，与桶高4x0.4比较可知；

（3）可设桶的个数为“，根据（2）中关系列出不等式，即可求出，〃的范围.

【详解】解：（1）如图建立直角坐标系，

♦.•网球飞行的最大高度OM=4m.：.0M所在直线是抛物线的对称轴，

AB=4m，AO=BO=2m，

：.A（-2,0）,顶点M（0,4）,故可设网球飞行路线的抛物线解析式为：y=o?+4,把A（—2,0）代入得:

4a+4=（）,解得：a=—1，.•.网球飞行路线的抛物线解析式为：y=—f+4；

（2）VCD=0.5.4c=3且AO=2,

二。。=1,OD=1.5,即点。的横坐标是15点P的横坐标是1,

二当x=l时，y=3；当x=1.5时，y=l.75；

若竖直摆放4个圆柱形桶，则桶高为4x0.4=1.6m,而4x0.4<1.75,且4x0.4<3，

...若竖直摆放4个圆柱形桶时，网球不能落入桶内；

（3）设竖直摆放的圆柱形桶有机个时，网球能落入桶内，则1.75<0.4加<3,解得：4.375</«<7.5,

V八为整数，二m的值为5或6或7,

答：当竖直摆放5个或6个或7个圆形桶时，网球能落入桶内.

【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的实际应用，求能否落入桶内时高度的比

较是解题关键.

题型2.拱桥问题

解题技巧：此类题型，需要我们自己建立合适坐标系，然后求解函数解析式，最后根据解析式求响应问题。

建立坐标系原则：纵坐标建在对称轴上，横坐标依题意，可随意选择

优点：①顶点坐标容易得出，便于利用二次函数顶点坐标求解解析式；

②函数关于y轴对称，函数解析式可设为：y=ax2+k

③二次函数关于y轴对称，实际问题方便求解

（2）解题步骤：

①建立合适的坐标系（纵坐标建在对称轴上），得出特殊点的坐标值

②利用顶点式求出函数解析式

③实际问题，需确定函数取值范围

④根据题干要求，分析二次函数解析式，求解相应内容。

1.（2021•浙江台州市•九年级一模）去年下半年以来，我市遭遇连续干旱，各地河流的水位连续下降，小明

仔细观察并测量自家门