2023届湖北省华师大一附中华大新高考联盟高三下学期3月教学质量测评数学试题

2023届高三3月教学质量测评数学本试题卷共4页，共22题。满分150分，考试用时120分钟★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置。2．选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。3．非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内。答在试题卷上或答题卷指定区域外无效。4．考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，若中有且仅有三个整数，则正数a的取值范围是（）A．B．C．D．2．已知复数，若，，，是的共轭复数，则（）A．0 B．1 C．D．3．党的二十大于2022年10月16日在北京召开，二十大报告中提出：积极稳妥推进碳达峰碳中和，立足我国能源资源禀赋，坚持先立后破，有计划分步骤实施碳达峰行动，深入推进能源革命，加强煤炭清洁高效利用，加快规划建设新能源体系，积极参与应对气候变化全球治理．在碳达峰碳中和背景下，光伏发电作为我国能源转型的中坚力量发展迅速．某村计划安装总装机容量为200千瓦的光伏发电机，经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电800度，若该村有村民300户，从中随机抽取50户，得到其年用电量情况如直方图所示，根据直方图可得下列说法正确的是（）A．全村年用电量的众数一定是500度B．抽取50户用电量的中位数小于其平均数C．根据50户用电量的平均值可以估计计划安装的光伏发电机组够全村用电D．全村用电量度的概率约为4．已知定义域为的函数满足，，，若，则的极值情况是（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值D．既无极小值，也无极大值5．已知展开式的常数项为76，则（）A．1 B．61 C．2 D．6．将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，并沿轴向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象．若对于任意的，总存在，使得，则的值可能是（）A．B．C．D．7．在三棱锥中，是以AC为底边的等腰直角三角形，是等边三角形，，又BD与平面ADC所成角的正切值为，则三棱锥外接球的表面积是（）A．B．C．D．8．已知圆，直线经过点与圆C相交于A，B两点，且满足关系（O为坐标原点）的点M也在圆C上，则直线的斜率为（）A．1 B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．如图，在已知直四棱柱中，四边形ABCD为平行四边形，E，M，N，P分别是BC，，，的中点，以下说法正确的是（）A．若，，则B．C．平面D．若，则平面平面10．数列是等差数列，，则下列说法正确的是（）A．为定值B．若，则时最大C．若，使为负值的n值有3个D．若，则11．在正三棱柱中，若A点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，设蚂蚁移动n次后还在底面ABC的概率为，则下列说法正确的是（）A．B．C．为等比数列 D．12．已知P，Q是双曲线上关于原点对称的两点，过点P作轴于点M，MQ交双曲线于点N，设直线PQ的斜率为k，则下列说法正确的是（）A．k的取值范围是且B．直线MN的斜率为C．直线PN的斜率为D．直线PN与直线QN的斜率之和的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知圆台的侧面积与轴截面的面积之比为，若上、下底面的半径分别为1和2，则母线长为__________．14．已知实数，满足，，则__________．15．过点的直线与抛物线交于A，B两点，若M点的坐标为，则的最小值为__________．16．已知函数关于的方程有6个不等实数根，则实数t的取值范围是__________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．（1）求角C；（2）若点D在AB边上，且满足，当的面积最大时，求CD的长．18．（12分）某地区区域发展指数评价指标体系基于五大发展理念构建，包括创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个一级指标．该地区区域发展指数测算方法以2015年作为基期并设指数值为100，通过时序变化，观察创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分领域指数值的变动趋势．分别计算创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分指数，然后合成为该地区区域发展总指数，如下图所示．若年份x（2015年记为，2016年记为，以此类推）与发展总指数y存在线性关系．（1）求年份x与发展总指数y的回归方程；（2）若规定发展总指数大于115的年份为和谐发展年，和谐发展年中发展总指数低于130的视为良好，记1分，发展总指数大于130的视为优秀，记2分，从和谐发展年中任取三年，用X表示赋分之和，求X的分布列和数学期望．参考公式：回归方程，其中，，，．19．（12分）数列满足，．（1）设，求的最大项；（2）求数列的前n项和．20．（12分）已知平行六面体中，，，，侧面是菱形，．（1）求与底面ABCD所成角的正切值；（2）点E，F分别在和上，，过点B，E，F的平面与交于G点，确定G点位置，使得平面平面．21．（12分）已知A，B为椭圆左右两个顶点，动点D是椭圆上异于A，B的一点，点F是右焦点．当点D的坐标为时，．（1）求椭圆的方程．（2）已知点C的坐标为，直线CD与椭圆交于另一点E，判断直线AD与直线BE的交点P是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由．22．（12分）已知函数．（1）当时，研究函数于的单调性；（2）当时，恒成立，求a的取值范围．华大新高考联盟2023届高三3月教学质量测评数学参考答案和评分标准一、选择题1．【答案】B2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】C7．【答案】B8．【答案】D二、选择题9．【答案】ACD10．【答案】AD11．【答案】BCD12．【答案】ABC三、填空题13．【答案】2．14．【答案】1．15．【答案】34．16．【答案】．三、解答题17．【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、重要不等式．考查逻辑推理、数学运算核心素养．【解析】（1）由正弦定理可得，1分∴，3分化简得．∵，∴．5分（2）由余弦定理得，6分∴，∴，当且仅当时，等号成立．此时．若的面积取到最大，则，为等边三角形，∴，由余弦定理得，8分∴．10分18．【命题意图】本题考查回归方程、概率计算、分布列与数学期望．考查逻辑推理、数学建模、数学运算和数据分析核心素养．【解析】（1），1分，3分，4分∴．5分（2）由题可知，和谐发展年有5个，其中计分为1分的年份有3个，计分为2分的年份有2个．7分∴，，．9分所以X的分布列为11分数学期望为．12分19．【命题意图】本题考查等比数列最值求法、错位相减法．考查数学运算、数学建模、逻辑推理核心素养．【解析】（1）由得．又，∴是以1为首项，3为公比的等比数列，∴，，．3分当时，不会最大；当时，设是最大项，则，且，即，且，即且，解得．又，∴，∴的最大项是．6分（2），①①得，②8分①②得，10分∴．12分20．【命题意图】本题考查空间直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系．考查逻辑推理、直观想象、数学运算核心素养．【解析】（1）取AB的中点M，连接，MC，AC，．∵侧面为菱形，，∴为等边三角形，，．1分∵，，，由余弦定理知，2分∴，∴．在中，，，有，∴．4分又∵，∴平面．又∵平面，∴．∵，，∴平面ABCD．5分∴为直线与底面ABCD所成的角，则，∴．6分（2）当E，F分别为线段和的中点时，平面平面．证明如下：连接，，EF，．由点E为线段的中点，则．7分又∵，平面，∴平面，，，8分∴平面BEF，平面，∴平面平面BEF．9分连接交于点N，连接BN，，BD．∴平面平面，∴与平面BEF的交点在线段BN上．11分∵，，∴，即点G在线段靠近的三等分点处．12分21．【命题意图】本题考查椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系．考查逻辑推理、数学运算核心素养．【解析】（1）设椭圆的右焦点为，左焦点为，，，解得，1分∴，2分∴，，，4分∴椭圆的方程为．5分（2）设的直线方程为．联立椭圆方程，消去得．设，，则，．6分∴，又，，∴直线AD的方程为，直线BE的方程为．联立得，∴．8分又∵，∴．∴直线AD与直线BE的交点在定直线上．12分22．【命题意图】本题考查导数运算、不等式放缩．