专题06 解答基础题：几何证明与求值（解析版）

专题06解答基础题：几何证明与求值1．（2023•上海）如图，在中，弦的长为8，点在延长线上，且，．（1）求的半径；（2）求的正切值．【答案】（1）5；（2）【详解】（1）过点作，垂足为，，，在中，，，的半径为5；（2）过点作，垂足为，，，，，，，，，，在中，，在中，，的正切值为．2．（2021•上海）如图，在圆中，弦等于弦，且相交于点，其中、为、中点．（1）证明：；（2）连接、、，若，证明：四边形为矩形．【答案】见解析【详解】（1）证明：连接，，，，．，，，，，，，，，，，，，，，．（2）证明：连接，设交于．，，，，，，，，，垂直平分线段，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是矩形．3．（2021•上海）如图，已知中，，，，，为边上的中线．（1）求的长；（2）求的值．【答案】（1）6；（2）【详解】（1），，，，在中，由勾股定理得，，即的长为6；（2）如图，连接，过点作的垂线，垂足，为边上的中线，即为的中点，，在中，由勾股定理得，，三角形为等腰三角形，，，在中，，．解法二：为边上的中线，是中点，，，，是△的中位线，，，在△中，．4．（2020•上海）如图，在直角梯形中，，，，，．（1）求梯形的面积；（2）连接，求的正切值．【答案】（1）39；（2）【详解】（1）过作于，，，，，四边形是矩形，，，，，，梯形的面积；（2）过作于，，，，，，，，，，的正切值．5．（2019•上海）已知：如图，、是的两条弦，且，是延长线上一点，联结并延长交于点，联结并延长交于点．（1）求证：；（2）如果，求证：四边形是菱形．【答案】（1）见解析【详解】证明：（1）如图1，连接，，，、是的两条弦，且，在的垂直平分线上，，在的垂直平分线上，垂直平分，；（2）如图2，连接，，，，，，，，，，，，，四边形是菱形．6．（2023•徐汇区二模）如图，、分别是边上的高和中线，已知，．（1）求的长；（2）求的值．【答案】（1）2；（2）【详解】（1）是边上中线，，．是边上的高，，是等腰直角三角形，，，设，则，．，，解得，的长为2；（2）如图，作于．由（1）知，，，．在中，，可设，则．，，解得，，．7．（2023•杨浦区二模）已知：在直角梯形中，，，沿直线翻折，点恰好落在腰上的点处．（1）如图，当点是腰的中点时，求证：是等边三角形；（2）延长交线段的延长线于点，联结，如果，求证：四边形是矩形．【答案】见解析【详解】证明：（1）由折叠得：，，点是腰的中点，是的垂直平分线，，，，，，，，是等边三角形；（2）过点作，垂足为，，，，，四边形是矩形，，，由折叠得：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是矩形．8．（2023•浦东新区二模）已知：如图，是的外接圆，平分的外角，，，垂足分别是点、，且．（1）求的度数；（2）如果，，求的半径长．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：平分的外角，，，，且．，；；（2）解：延长交于，连接，，，且．，，，，，，，，解得，故的半径长为．9．（2023•黄浦区二模）已知，如图，的半径为2，半径被弦垂直平分，交点为，点在圆上，且．（1）求弦的长；（2）求图中阴影部分面积（结果保留．【答案】（1）；（2）【详解】（1）垂直平分，，，是等边三角形，，，，，；（2），，，是等边三角形，，，，的面积的面积，阴影的面积扇形的面积，扇形的面积，阴影的面积．10．（2023•虹口区一模）如图，在中，，，，点在边上，且，过点作交边于点，的平分线交线段于点，求的长．【答案】4【详解】，，，，，解得，，，，，，，，，，，平分，，，，．11．（2023•嘉定区二模）如图，在中，，，圆经过、两点，圆心在线段上，点在圆内，且．（1）求圆的半径长；（2）求的长．【答案】（1）5；（2）【详解】（1）作于点，则，，，，，，，，，解得，的半径长为5．（2）作于点，则，，，，，，，，的长是．12．（2023•嘉定区二模）如图，已知、分别是和它的邻补角的角平分线，，垂足为点，，联结，分别交、于点、．（1）求证：四边形是矩形；（2）试猜想与之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）【详解】证明：（1）如图所示，、分别是和它的邻补角的角平分线，，，，，，，，又，四边形是矩形；（2）．理由如下：四边形是矩形，，，，，，又平分，，，，，．13．（2023•闵行区二模）如图，在中，，，，点为的中点，过点作的垂线，交的延长线于点．（1）求线段的长；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【详解】（1），中，代入，，得，为的中点，，，（2）解法为的中点，，，，又，，，，，，中，．解法与中，设得，解得，．14．（2023•闵行区二模）如图，在扇形中，点、在上，，点、分别在半径、上，，联结、．（1）求证：；（2）设点为的中点，联结、、，线段交于点、交于点．如果，求证：四边形是矩形．【答案】见解析【详解】证明：（1），，，，在和中，，，；（2）连接，如图，点为的中点，，，，，，，，，，，，，四边形为平行四边形，，四边形为矩形．15．（2023•宝山区一模）如图，已知圆的弦与直径交于点，且平分．（1）已知，，求圆的半径；（2）如果，求弦所对的圆心角的度数．【答案】（1）；（2）【详解】（1）连接，如图，设的半径为，则，，平分，，，在中，，解得，即的半径为；（2）连接，如图，，，即，，，在中，，，，，，即弦所对的圆心角的度数为．16．（2023•静安区二模）如图，已知、分别是平行四边形的边、上的高，对角线、相交于点，且．（1）求证：四边形是菱形；（2）当，时，求的余切值．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：，，，，四边形是平行四边形，，，，，四边形是菱形；（2）在菱形中，，，设，则，，在中，根据勾股定理，得，即，解得或（舍去），，，，．17．（2023•静安区二模）如图，在矩形中，点是边的中点，是的外接圆，交边与于点．（1）求证：；（2）当是以点为中心的正六边形的一边时，求证：．【答案】见解析【详解】证明：（1）四边形是矩形，，，点是边的中点，，在与中，，，；（2）连接，，是以点为中心的正六边形的一边，，，是等边三角形，，连接并延长交于，连接，．，，，，，．18．（2023•崇明区二模）如图，已知在中，，，经过的顶点、，交边于点，，点是的中点．（1）求的半径长；（2）联结，求．【答案】（1）；（2）【详解】（1）连接，，交于点，点是的中点，，，在中，，，设的半径长为，在中，，，解得：，的半径长为；（2）连接，过点作，垂足为，点是的中点，，，在中，，，，，，的面积，，，，在中，，的值为．19．（2023•崇明区二模）已知：如图，在平行四边形中，对角线、交于，是边延长线上的一点，联结，与边交于，与对角线交于点．（1）求证：；（2）联结，如果，求证：平行四边形是菱形．【答案】见解析【详解】证明：（1）四边形是平行四边形，，．，．，．．．（2），．，．，．，即．，．．四边形是平行四边形，．，即．平行四边形是菱形．20．（2023•杨浦区三模）如图，已知是的直径，弦与相交于点，，，．（1）求的值；（2）求点到弦的距离．【答案】（1）；（2）6【详解】（1）如图，过点作直径，连接，是直径，，在中，，，，是直径，，，，又，，，即，解得，，；（2）过点作于点，在中，，由于，即，，即点到弦的距离是6．21．（2023•金山区一模）如图，已知在四边形中，，，，，是对角线，．（1）求证：；（2）求的长．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：，，，，，；（2）解：由（1）知：，，，，，解得，，，即，解得．22．（2023•松江区一模）如图，已知中，，，是的中点，于点，、的延长线交于点．（1）求的正切值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）2【详解】（1）过作于，如图：，，，在中，，；（2）由（1）知，，，是的中点，，，，，，，，，，．23．（2023•虹口区二模）如图，在中，，，．小明根据下列步骤作图：①以点为圆心，的长为半径作弧，交的延长线于点；②以点为圆心，取定长为半径作弧分别交的两边于点、；③以点为圆心，为半径作弧，交于点；④以点为圆心，的长为半径作弧，交前弧于点，联结并延长交的延长线于点．（1）填空：由作图步骤①可得，由作图步骤②③④可得，又因为，所以，理由是．（2）联结，求的值．【答案】（1），，；（2）【详解】（1）由作图步骤①可得，由作图步骤②③④可得，又因为，所以，理由是，故答案为：，，．（2）作于点，则，由（1）得，，，，，，，，，，，的值是．24．（2023•松江区二模）如图．四边形中，，，，．（1）如果，求的值；（2）如果，求四边形的面积．【答案】（1）1；（2）【详解】（1）解：过作于，，，，，，，，，；（2）解：设，则，，在中，由勾股定理可得：，解得：，四边形的面积．25．（2023•松江区二模）如图，已知正方形，、分别为边、的中点，与交于点，，垂足为点．（1）求证：；（2）联结，求正弦值．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：四边形是正方形，，，、分别为边、的中点，，在和中，，，，，，，，设，则，，，，，，，，；（2）解：，，，．26．（2023•青浦区一模）如图，在中，，垂足为点，平分交于点，，，．（1）求的值；（2）求线段的长．【答案】（1）；（2）【详解】（1），，，，解得，在中，，，，在中，，；（2），平分，，，，又，，，即．解得．27．（2023•长宁区二模）如图1，点、分别在正方形的边、上，与交于点．已知．（1）求证：；（2）以点为圆心，为半径的圆与线段交于点，点为线段的中点，联结，如图2所示，求证：．【答案】见解析【详解】证明：（1）四边形是正方形，，，，，，，，，，，；（2）由（1）知，，垂直平分，，，，，为线段的中点，，，．28．（2023•宝山区二模）如图，四边形中，，、交于点，．（1）求证：；（2）是边上一点，联结交于点，如果，求证：四边形是平行四边形．【答案】见解析【详解】证明：（1），．，，．．．在和中，，．．（2），，，，即．，．．．又，四边形是平行四边形．29．（2023•金山区二模）如图，已知在中，，，点、分别是、的中点，过点作交的延长线于点，联结．（1）求的正弦值；（2）求线段的长．【答案】（1）；（2）【详解】（1）如图，过点作于，交于．，，，，；（2）点、分别是、的中点，，，，，，即，，．，，四边形是平行四边形，，，．故线段的长为．30．（2023•崇明区一模）如图，是边上的一点，，，垂足为点，若，．（1）求的长；（2）若，求的值．【答案】（1）8；（2）【详解】（1）作于点，，，，，，，，，解得，，，，解得；（2），，，由（1）知：，，，，，，，，，，．31．（2023•普陀区二模）如图，在中，，垂足为点，，，，．（1）求的长；（2）求的面积．【答案】（1）16；（2）32【详解】（1），，，，，，，又，，．（2）在中，由勾股定理得，，，．32．（2023•青浦区二模）如图，在中，已知，，．（1）求边的长；（2）已知点在边上，且，连接，试说明与相等．【答案】（1）；（2）见解析【详解】（1）过点作，垂足为点，在中，，，，在中，，，设，那么，，，，解得，，，在中，，即的长为；（2）过点作，垂足为点，，，，，由得，，，，是线段的垂直平分线，，．33．（2023•静安区校级一模）如图，已知在中，为锐角，是边上的高，，，．（1）求的长；（2）求的正弦值．【答案】（1）20；（2）【详解】（1），，，，，；（2）作于