专题14 等角存在性问题（解析版）

等角存在性问题一、知识导航除了特殊几何图形存在性问题外，相等角存在性也是今年二次函数压轴题中常见的题型，根据题目给的不同的条件，选择恰当的方式去构造相等角，是此类问题的关键．回顾一下在几何图形中有哪些方法能得到相等角，大概如下：（1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等；（2）角平分线：角平分线分的两个角相等；（3）等腰三角形：等边对等角；（4）全等（相似）三角形：对应角相等；（5）三角函数：若两个角的三角函数值相等，则两角相等；（6）圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．也许还有，但大部分应该都在此了，同样，在抛物线背景下亦可用如下思路构造相等角．想得到相等角，先考虑如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函数值，因此在以上6种方案当中，若无明显条件，可考虑求出角的三角函数值来构造相等角．二、典例精析如图，已知抛物线过点A（4，0），B（-2，0），C（0，-4）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C和点关于抛物线的对称轴对称，点P在抛物线上，且，求点P的横坐标．【分析】（1）抛物线：；（2）由题意得：坐标为（2，-4），考虑到A、C、三点坐标均已知，故可求的三角函数值．思路1：构造直角三角形过点作⊥AC交AC于H点，不难求得H点坐标为（1，3），故，，∴，则．转化“”为“”，即．①当时，设PA解析式为，将A（4，0）代入，得：，联立方程：，解得：，，故坐标为；②当时，设PA解析式为，将A（4，0）代入，得：，联立方程：，解得：，，故坐标为．综上所述，P点坐标为或．思路2：发现特殊角．如图构造等腰直角三角形AMC，易解M点坐标为（4，-4），故△AMC是等腰直角三角形．∠MAC=45°，考虑，可知，下同思路1求解P点坐标．三、中考真题演练1．（2023·湖南常德·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，．

(1)求二次函数的表达式；(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，求P点的坐标．【分析】（1）用两点式设出二次函数的解析式，然后求得C点的坐标，并将其代入二次函数的解析式，求得a的值，再将a代入解析式中即可．（3）根据各点的坐标的关系及同角三角函数相等的结论可以求得相关联的函数解析式，最后联立一次函数与二次函数的解析式，求得点P的坐标．【详解】（1）∵二次函数的图象与轴交于两点．∴设二次函数的表达式为∵，∴，即的坐标为则，得∴二次函数的表达式为；（3）如图，是抛物线上的一点，且在第一象限，当时，连接，过作交于，过作于，

∵，则为等腰直角三角形，．由勾股定理得：，∵，∴，即，∴由，得，∴．∴是等腰直角三角形∴∴的坐标为所以过的直线的解析式为令解得，或所以直线与抛物线的两个交点为即所求的坐标为【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的性质以及与坐标系几何图形的综合证明计算问题，解题的关键是将所学的知识灵活运用．2．（2023·湖北十堰·中考真题）已知抛物线过点和点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；(3)如图2，点是抛物线上对称轴右侧的点，是轴正半轴上的动点，若线段上存在点（与点不重合），使得，求的取值范围．【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（3）根据三角形外角的性质，结合已知条件得出，证明，则，设交轴于点，过点作轴于点，求得直线的解析式为，联立，得出，勾股定理求得的长，根据相似三角形的性质得出关于的二次函数关系式，进而根据二次函数的性质求得最值，即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线过点和点，∴解得：∴抛物线解析式为；（3）∵，又，∴，∴，∴，设交轴于点，过点作轴于点，

∵，∴，∵，∴，设，则，在中，，∴，解得：，∴，设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为，联立，解得：或，∴，∴，∵，设，则，∴，整理得：，∵在线段上（与点不重合），∴,∴，∴当时，取得的最大值为，∴．【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，面积问题，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．3．（2023·湖南岳阳·中考真题）已知抛物线与轴交于两点，交轴于点．

(1)请求出抛物线的表达式．(3)如图2，将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把代入，求出即可；（3）先求得抛物线的解析式为，得出，，运用待定系数法可得直线的解析式为，过点作轴于点，连接，设交直线于或，如图2，过点作轴交于点，交抛物线于点，连接，利用等腰直角三角形性质和三角函数定义可得，进而可求得点的坐标．【详解】（1）∵抛物线与轴交于两点，交轴于点，∴把代入，得，解得，∴解析式为：；（3）解：抛物线上存在点，使得．，抛物线的顶点坐标为，将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，抛物线的解析式为，抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点，，，设直线的解析式为，把，代入得，解得：，直线的解析式为，过点作轴于点，连接，设交直线于或，如图2，过点作轴交于点，交抛物线于点，连接，则，，，

，，是等腰直角三角形，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，∵，，，即点与点重合时，，；，，，，点与点关于直线对称，；综上所述，抛物线上存在点，使得，点的坐标为或．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质等知识，运用数形结合思想解决问题是解题的关键．4．（2023·浙江金华·中考真题）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为，其中点的坐标为．直线与直线相交于点．

(1)如图2，若抛物线经过原点．①求该抛物线的函数表达式；②求的值．(2)连接与能否相等？若能，求符合条件的点的横坐标；若不能，试说明理由．【答案】(1)①；②(2)能，或或或．【分析】（1）①先求顶点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解；②过点作于点．设直线为，把代入，得，解得，直线为．同理，直线为．联立两直线解析式得出，根据，由平行线分线段成比例即可求解；（2）设点的坐标为，则点的坐标为．①如图2-1，当时，存在．记，则．过点作轴于点，则．在中，，进而得出点的横坐标为6．②如图2-2，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为．③如图，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为．④如图2-4，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为．【详解】（1）解：①∵，∴顶点的横坐标为1．∴当时，，∴点的坐标是．设抛物线的函数表达式为，把代入，得，解得．∴该抛物线的函数表达式为，即．②如图1，过点作于点．

设直线为，把代入，得，解得，∴直线为．同理，直线为．由解得∴．∴．∵，∴．（2）设点的坐标为，则点的坐标为．①如图，当时，存在．记，则．∵为的外角，∴．∵．∴．∴．∴．过点作轴于点，则．在中，，∴，解得．∴点的横坐标为6．

②如图2-2，当时，存在．记．∵为的外角，∴．∴∴．∴．过点作轴于点，则．在中，，∴，解得．∴点的横坐标为．

③如图2-3，当时，存在．记．

∵，∴．∴．∴．∴．过点作轴于点，则．在中，，∴，解得．∴点的横坐标为．④如图2-4，当时，存在．记．∵，∴．

∴．∴．过点作轴于点，则．在中，，∴，解得．∴点的横坐标为．综上，点的横坐标为．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，解直角三角形，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识，分类讨论是解题的关键．5．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，连接AC、BC．(1)求抛物线的表达式；(3)点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标．【答案】(1)(3)或【分析】（1）直接利用待定系数法求抛物线解析式即可；（3）分两种情况讨论：当点P在x轴上方时，当点P在x轴下方时，分别求解即可．【详解】（1）将，，代入抛物线，得，解得，所以，抛物线的表达式为；（3）当点P在x轴上方时，∵，∴轴，点P的纵坐标为4，即，解得或0（舍去）；当点P在x轴下方时，设直线CP交x轴于F，∵，∴，设，则，在中，由勾股定理得，即，解得，，，∴设直线CF的解析式为，即，解得，∴直线CF的解析式为，令，解得或0（舍去），当时，；综上，或．【点睛】本题考查了二次函数的综合题目，涉及待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的逆定理，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握知识点并能够灵活运用是解题的关键．6．（2022·四川达州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．(1)求该二次函数的表达式；(2)连接，在该二次函数图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；【答案】(1)(2)或【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）根据题意，分情况讨论，①过点作关于的对称点，即可求P的坐标，②轴上取一点，使得，则，设，根据勾股定理求得，建列方程，解方程求解即可；【详解】（1）解：∵由二次函数，令，则，，过点，，设二次函数的表达式为，将点代入得，，解得，，（2）二次函数的图象经过点，，抛物线的对称轴为，①如图，过点作关于的对称点，，，，，②轴上取一点，使得，则，设，则，，解得，即，设直线CD的解析式为，，解得，直线CD的解析式为，联立，解得或，，综上所述，或，7．（2022·湖北黄石·模拟预测）如图：已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且．

(1)求抛物线的解析式(3)P为抛物线上一点且，求点P的坐标．【答案】(1)(3)或；【分析】（1）根据抛物线与y轴交于C点，，可得，，再利用待定系数法求函数解析式即可；（3）①过点C作轴，过点B作轴交于点D，交于点H，将绕点A顺时针旋转交延长线于点G，连接，根据正方形的判定与性质可得，由旋转的性质可得，从而可证，可得，，可证，可得，设，利用待定系数法求得直线的解析式为，可得，利用勾股定理可得，从而可得，再求解即可；②通过构造全等三角形求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于C点，∴，∵，∴，，把，代入得，，解得，∴抛物线解析式为；（3）解：①以、为边作正方形，连接交于点M，∵四边形是正方形，∴，，∵，，∴，延长，使，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，设，则，，在中，，解得，∴，设直线的解析式为，把代入得，，解得，∴直线的解析式为，联立方程组得，，解得（舍），，∴，

②如图，取的中点G，连接交抛物线于点P，∵点G是的中点，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，，设直线的解析式为，把代入得，，解得，∴直线的解析式为，联立方程组得，，解得（舍），，∴，综上所述，点P的坐标为或；

【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式和一次函数、旋转的性质、解一元一次方程和一元二次方程、全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式和一次函数是解题的关键．8．（2022·湖南株洲·二模）如图1，已知抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．

(1)若，求的长度；(2)若，，P是对称轴右侧抛物线上的点，当时，求P点的坐标；【答案】(1)(3)是为定值，该定值为2【分析】（1）当时，，根据当时，，解得，得到点A的坐标是，点B的坐标是，即可得到的长度；（2）当，时，，求出的坐标是，点B的坐标是，点C的坐标是，则，连接，是等腰直角三角形，得到，则，过点A作，使得，延长线段交抛物线于点P，过点D作轴于点E，则，证明，得到的坐标是，求出的解析式为，与二次函数联立即可求出点P的坐标；【详解】（1）解：当时，，当时，，∵，∴，解得，∵点A在点B的左侧，∴点A的坐标是，点B的坐标是，∴，即的长度为4；（2）当，时，，当时，，解得，∴点A的坐标是，点B的坐标是，当时，，∴点C的坐标是，∴，连接，

∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，过点A作，使得，延长线段交抛物线于点P，过点D作轴于点E，则，∵，，∴，∴，∴∴点D的坐标是，设直线的解析式为，把点C和点D的坐标代入得，，解得，∴直线的解析式为，联立，解得或，∴点P的坐标是；【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数和一次函数交点问题、二次函数的图象和性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．9.（20