专题16 特殊角问题（解析版）

特殊角问题一、知识导航一、什么是特殊角？说到特殊角我们很快就能想到比如30°、45°、60°、90°等，事实上，之所以以上角能称为特殊角，关键在于这些角的三角函数值特殊，比如同为整十，为什么我们会将60°称为特殊角，而50°便不是，原因很简单，，而我们并不知道50°的任一三角函数值．因此角度特殊不在于这个角是多少度，而在于其三角函数值是否有特殊值，所以除了常见的30°、45°、60°，我们可以扩充一下特殊角的范围．

以及从最后一张图中可得二倍角或者半角的三角函数构造：比如求tan15°：tan22.5°：一般半角三角函数值求法：一般二倍角函数值求法：

二、特殊角在坐标系中的意义当我们初次接触到平面直角坐标系时，我们就认识了一、三象限角平分线及二、四象限角平分线，即直线y=x和直线y=-x，在一次函数中我们知道，若两直线平行，则k相等．综合以上两点，可得：对于直线y=x+m或直线y=-x+m，与x轴夹角为45°．并且我们还可通过画图与计算得知：即“y=kx+b的k”与“直线和x轴的夹角”存在某种固定的联系．关系就是：（是直线与x轴的夹角）．不装了，我摊牌了~

三、坐标系中特殊角的处理在坐标系中构造定角，从其三角函数值着手：思路1：构造三垂直相似（或全等）；思路2：通过三角函数值化“角度条件”为“直线k”．二、典例精析引例1：如图，在平面直线坐标系中，直线AB解析式为，点M（2，1）是直线AB上一点，将直线AB绕点M顺时针旋转45°得到直线CD，求CD解析式．【分析】思路1：构造三垂直相似（全等）在坐标系中存在45°角，可作垂直即可得到等腰直角三角形，构造三垂直全等确定图形．在直线AB上取一点O，过点O作OP⊥AB交CD于P点，分别过M、P向x轴作垂线，垂足为E、F点．易证△OEM≌△PFO，故PF=OE=2，OF=ME=1，故P点坐标为（-1，2），结合P、M坐标可解直线CD解析式：．构造等腰直角的方式也不止这一种，也可过点O作CD的垂线，但直角顶点未知的情况计算略难于直角顶点已知的情况，故虽可以做但并不推荐．思路2：利用特殊角的三角函数值．过M点作MN∥x轴，则，，考虑到直线CD的增减性为y随着x的增大而减小，故，所以直线CD：，化简得：．

引例2：如图，在平面直线坐标系中，直线AB解析式为，点M（2，1）是直线AB上一点，将直线AB绕点M顺时针旋转得到直线CD，且，求直线CD解析式．【分析】在直线AB上再选取点O构造三垂直相似，如下图所示，易证△PFO∽△OEM，且相似比，即，，故P点坐标为，结合P、M点坐标可解直线CD解析式：．本题并不容易从三角函数值本身下手，原因在于角度并不属于我们所讨论的特殊角范围之内，简便的做法只存在于特殊的角中．认识特殊角，了解特殊角，运用特殊角，就能在复杂问题中找到简便的求法．三、中考真题演练1．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，抛物线经过坐标原点，且顶点为．

(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线与轴正半轴的交点为，点位于抛物线上且在轴下方，连接、，若，求点的坐标．【答案】(1)(2)，【分析】（1）设抛物线的表达式为，将代入可得；（2）过作轴于，过作轴于，设，求出；根据，，得，故，从而，即可解得答案．【详解】（1）解：设抛物线的表达式为，将代入得：，解得，；（2）过作轴于，过作轴于，如图：

设，在中，令得或，；，，，，，，，，解得或（此时与重合，舍去），，．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形相似的判定与性质，解题的关键是证明，用对应边成比例列式求出的值．2．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．

(1)求此抛物线的解析式；(2)已知抛物线上有一点，其中，若，求的值；【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）在中，，则，得到直线的表达式为：，进而求解；【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：，即，则，故抛物线的表达式为：①；（2）解：在中，，，则，故设直线的表达式为：②，联立①②得：，解得：（不合题意的值已舍去）；3．（2023·黑龙江大庆·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于A，两点，且自变量的部分取值与对应函数值如下表：

备用图(1)求二次函数的表达式；(2)若将线段向下平移，得到的线段与二次函数的图象交于，两点（在左边），为二次函数的图象上的一点，当点的横坐标为，点的横坐标为时，求的值；【详解】（1）解：由表格可知，二次函数的图象经过点，，，代入得到，解得，∴二次函数的表达式为；（2）如图，连接，，过点R作交的延长线于点M，

∵点的横坐标为，∴，∵，∴抛物线的对称轴为直线，∵点P与点Q关于直线对称，设点，则，解得，∴点P的坐标为，当时，，即，则，∴，，∴，即的值为；4．（2023·山东泰安·中考真题）如图1，二次函数的图象经过点．

(1)求二次函数的表达式；(3)小明认为，在第三象限抛物线上有一点D，使；请判断小明的说法是否正确，如果正确，请求出D的坐标；如果不正确，请说明理由．【详解】（1）解：将代入得：，解得：，∴抛物线解析式为：；（3）解：正确，，理由如下：如图所示，连接，，设与对称轴交点为，对称轴与轴交点为，连接，延长与对称轴交于点，

由（1）、（2）可得，，∴，，根据抛物线的对称性，，∴，，∵，∴，∴，在中，，∵且，∴，∴，即：在中，，∵，∴，∴，设直线解析式为：，将、代入解得：，∴直线解析式为：，联立，解得：或（不合题，舍去）∴小明说法正确，D的坐标为．5．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接和交于点，当时．求点的坐标；【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，则对称轴为直线，∴，解得：∴抛物线解析式为；（2）解：由，当时，，解得：，∴，当时，，则，∵，∴，∴，即，∴，∴，则，设直线的解析式为，则，解得：，∴直线的解析式为，如图所示，过点作轴，交于点，

∵，∴∵∴，则设，则即，将点代入即解得：或（舍去）当时，，∴；6．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点．

(1)求抛物线的解析式；(3)在（2）的条件下，连接，在直线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线过点，对称轴为直线，待定系数法求解析式即可求解；（3）根据题意可得，以为对角线作正方形，则，进而求得的坐标，待定系数法求得的解析式，联立解析式，即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，则对称轴为直线，∴，解得：∴抛物线解析式为；（3）∵，，则，是等腰直角三角形，∴，由（2）可得，∵∴，由（2）可得，设直线的解析式为，则解得：∴直线的解析式为如图所示，以为对角线作正方形，则，

∵，则，则，，设，则，解得：，，则，，设直线的解析式为，直线的解析式为则，，解得：，，设直线的解析式为，直线的解析式为，∴解得：，则，解得：,则，综上所述，或．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．7．（2023·内蒙古通辽·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点．

(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作轴，垂足为D，连接．①如图，若点P在第三象限，且，求点P的坐标；【详解】（1）∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，∴把，代入得，，解得，，∴抛物线的函数解析式为；（2）①设，过点作于点，如图，

∴∵∴∵轴，∴又∴四边形是矩形，∴∴∵∴∴（不合题意，舍去）∴∴；8．（2023·湖北·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，连接．

(1)抛物线的解析式为__________________；（直接写出结果）(2)在图1中，连接并延长交的延长线于点，求的度数；【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）待定系数法求得直线直线的解析式为：，直线的解析式为：．联立两直线解析式，得出点的坐标为．方法1：由题意可得：．过点E作轴于点F．计算得出，又，可得，根据相似三角形的性质得出；方法2：如图2，延长与轴交于点，过点作于点，过点作轴于点．等面积法求得，解即可求解．方法3：如图2，过点作于点．根据，得出，进而得出；【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，∴，解得：，∴抛物线解析式为；（2）∵点，点，设直线的解析式为：．∴，∴，直线的解析式为：．同上，由点，可得直线的解析式为：．令，得．∴点的坐标为．方法1：由题意可得：．∴．如图1，过点E作轴于点F．∴．∴．∴．又，∴．∴．∵，∴．∵，即．

方法2：如图2，延长与轴交于点，过点作于点，过点作轴于点．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∵，，∴．∴∴，即．

方法3：如图2，过点作于点．∵．∴．∵，∴．∴．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，一次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．9．（2023·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；(2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标；【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）先求得抛物线的对称轴为直线，设与交于点，当点F在x轴上方时，过点作于点，证明，设，则，，进而得出点的坐标，代入抛物线解析式，求得的值即可求出点F的坐标；当点F在x轴上方，且点E与点A重合时，利用等腰直角三角形的性质求出，即可求出点F的坐标；同理可求得当点F在x轴下方时的坐标；当点与点重合时，求得另一个解，进而即可求解；【详解】（1）解：将点，，代入中得，解得：，∴抛物线解析式为；（2）解：∵点，，∴抛物线的对称轴为直线：，如图所示，当点F在x轴上方时，设与交于点，过点作于点，

∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，∴，∵，∴，∴，设，则，∴，∵点在抛物线上∴解得：（舍去）或,∴；如图所示，当点F在x轴上方时，且点E与点A重合时，设直线l与x轴交于G，∵是等腰直角三角形，且，∴，∴；如图所示，当点F在x轴下方时，，设与交于点，过点作于点

∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，∴，∵，∴，∴，设，则，∴，∵点在抛物线上∴解得：（舍去）或，∴，如图所示，当点F在x轴上方，当点与点重合时，

∵，是等腰直角三角形，且，∴∴，综上所述，或或或；10．（2023·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；(3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（3）设，直线的解析式为，的解析式为，求得解析式，然后求得，即可求解．【详解】（1）解：将点，，代入中得，解得：，∴抛物线解析式为；（3）解：设，直线的解析式为，的解析式为，∵点，，，∴，解得：，∴直线的解析式为，的解析式为，对于，当时，，即，对于，当时，，即，∵在抛物线上，则∴∴为定值．【点睛】本题主要考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，一次函数与坐标轴交点问题，全等三角形的性质与判定等等，熟练掌握二次函数的性质并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．11．（2023·湖南郴州·中考真题）已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点．(1)求抛物线的表达式；(3)如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可；（3）求出点坐标为，进而得到，得到，分点在点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，，∴，解得：，∴；（3）解：存在，∵为的中点，∴，∴，∵，∴，在中，，∵，∴，①当点在点上方时：过点作，交抛物线与点，则：，此时点纵坐标为2，设点横坐标为，则：，解得：，∴或；②当点在点下方时：设与轴交于点，则：，设，则：，，∴，解得：，∴，设的解析式为：，则：，解得：，∴，联立，解得：或，∴或；综上：或或或．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，难度较大，属于中考压轴题．12．（2023·湖南·中考真题）如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线．

(1)求a的值．(3)抛物线上是否存在点P，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据待定系数法即可得出结果；（3）分两种情况讨论，当点在直线下方时，与当点在直线上方时．【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点，得，解得：；（3）解：存在点P，理由如下：当点在直线下方时，在轴上取点，作直线交抛物线于（异于点）点，

由（2）中结论，得，，，，，设直线的解析式为，代入点，得，解得，故直线的解析式为；当点在直线上方时，如图，在轴上取点，连接，过点作交抛物线于点，

∴，∴，，，，设直线的解析式为，代入点，得，解得，故设直线的解析式为，，且过点,故设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为．综上所述：直线的解析式为或．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．13．（2023·湖南怀化·中考真题）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)点为第三象限内抛物线上一点，作直线，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标；(3)设直线交抛物线于点、，求证：无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角．【答案】(1)(2)面积的最大值为，此时点的坐标为(3)见解析【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）如图所示，过点作轴于点，交于点，得出直线的解析式为，设，则，得出，当取得最大值时，面积取得最大值，进而根据二次函数的性质即可求解；（3）设、，的中点坐标为，联立，消去，整理得：，得出，则，设点到的距离为，则，依题意，