专题10 特殊三角形 综合检测过关卷（解析版）

专题10特殊三角形综合过关检测（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）一、单选题（本题共10小题，每题3分，共30分）1．如图，，为方格纸中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点（在格点上），使得为等腰三角形，则点的个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查格点作等腰三角形，根据等腰三角形的判断即可得到结论，掌握等腰三角形的判定是解题的关键．【详解】当为腰时，如图，当为底边时，点无格点，综上可知：为等腰三角形，则点的个数有个，故选：．2．如图，已知每个小方格的边长为，，两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点，使为等腰三角形，则这样的顶点有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】A【分析】当为底时，作的垂直平分线，当为腰时，分别以、点为顶点，以为半径作弧，分别找到格点即可求解．【详解】解：当为底时，作的垂直平分线，可找出格点的个数有个，当为腰时，分别以、点为顶点，以为半径作弧，可找出格点的个数有个；这样的顶点有个．故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．3．如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是()A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根据题意可得，进而可得，得出，根据垂直平分线的性质可得，进而得出，根据角平分线的定义得出，进而可得，，得出，，得出，进而即可求解．【详解】解：在中，，是等腰三角形；，，，点在的垂直平分线上，，是等腰三角形；，，平分，，，，是等腰三角形；，，，，是等腰三角形；，，是等腰三角形；，，是等腰三角形，综上所述，等腰三角形有，，，，，共个，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．4．如图，是的平分线，，交于E，则图中等腰三角形的个数是（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】A【分析】根据三角形内角和定理判定为等腰三角形，然后由角平分线、平行线的性质、等角对等边来找图中的等腰三角形．【详解】解：∵在中，，∴，∵为的平分线，∴，∴，∵，∴，，∵，∴是等腰三角形；∵，∴是等腰三角形；∵，∴是等腰三角形；∵，∴是等腰三角形；∵，∴是等腰三角形；综上，等腰三角形共有5个；故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定．角的等量代换的运用是正确解答本题的关键．5．如图，在中，，，是边上的两点，且有，则图中等腰三角形的个数是（

）A．2 B．6 C．5 D．7【答案】B【分析】根据等角对等边、三角形外角的性质和三角形的内角和定理逐一判断即可．【详解】解：∵，，∴△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠DAB=∠ADE－∠B=36°，∠EAC=∠AED－∠C=36°，∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，∴△DAB和△EAC都是等腰三角形，∵∠B＋∠BEA＋∠BAE=180°，∠C＋∠CDA＋∠CAD=180°，∴∠BAE=180°－∠B－∠BEA=72°，∠CAD=180°－∠C－∠CDA=72°，∴∠BAE=∠BEA，∠CAD=∠CDA，∴△BAE和△CAD都是等腰三角形，综上：共有6个等腰三角形．故选B．【点睛】此题考查的是等腰三角形的判定，掌握等角对等边、三角形外角的性质和三角形的内角和定理是解决此题的关键．6．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝40°，D，E是BC上的两点，且∠ADE＝∠AED＝80°，则图中共有等腰三角形（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【分析】由三角形的外角性质可求∠BAD，∠EAC的度数，由等腰三角形的判定可求解．【详解】解：∵∠B＝∠C＝40°，∠ADE＝∠AED＝80°，∴△ABC是等腰三角形，△ADE是等腰三角形，∵∠ADE＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝∠ADE﹣∠B＝40°，∴∠B＝∠BAD，∴△ABD是等腰三角形，同理可求∠EAC＝∠C＝40°，∴△AEC是等腰三角形，∴图中共有等腰三角形4个，故选B．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，求出各角的度数相等，然后得到相等的角是解题的关键．7．如图，的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E．下列结论：①都是等腰三角形；②，③的周长等于，其中正确的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的定义，熟练掌握等角对等边是解答本题的关键．①根据角平分线的性质、平行线的性质可证是等腰三角形，同理也是等腰三角形；②根据等量代换即可判定；③根据等量代换即可判定．【详解】解：①∵是的角平分线∴又∵∴∴∴，即是等腰三角形，同理可得是等腰三角形，故①正确；②∵是等腰三角形，∴同理：∴，故②正确；③∵∴的周长为，故③正确；故选D．8．如图，在四边形中，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，中垂线的判定和性质，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．连接交于点O，由题意可证垂直平分，,是等边三角形，是等腰三角形，作差计算即可．【详解】解：连接交于点O，∵∴垂直平分，是等边三角形，，∴，,∵，∴，∴是等边三角形，是等腰三角形,∴，，∴．故选C．9．如图，等边的边长为3，点P是边上的一个动点，过点P作于点D，延长至点Q，使得，连接交于点E，则之长为（

）

A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】此题重点考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识；由60°角可尝试作平行线构造等边三角形，接着证明全等是解决本题的关键．过点P作交于点F，先证明是等边三角形，再证明，得出，根据可得，最后根据求解即可．【详解】解：过点P作交于点F，

，是等边三角形，，，，，是等边三角形，，，，在和中，，，，，，，故选：B．10．如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点O，与交于点P，与交于点，连接．有以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤．其中正确结论的个数是（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】由等边三角形的性质，易证，即可判断①结论；根据全等三角形的性质，到，再由三角形内角和定理，得出，然后根据三角形外角的性质，即可判断②结论；证明，即可判断③结论；根据全等三角形的性质，结合等边三角形的判定，即可判断④结论：根据等边三角形的性质，得出，即可判断⑤结论；【详解】解：和是等边三角形，，，，，，在和中，，，，①结论正确；，，，，是的外角，，，②结论错误；，，在和中，，，，③结论正确；∵，，又，是等边三角形，④结论正确；，，，⑤结论正确；即正确结论的个数是①③④⑤，共4个，故选：B．【点睛】本题考查了等边三角形判定和的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．二、填空题（本题共10小题，每题3分，共30分）11．如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，且，垂足为C，连接，若，则的面积为．

【答案】9【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定和性质，过A作于H，过E作于F，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．【详解】解：过A作于H，过E作于F，

，，∵，∴，∵，∴，∴，在与中，，∴，∴，∴的面积．故答案为：9．12．如图，中，，，平分，交延长线于E．若的面积为8，则．

【答案】【分析】首先可证明，可知，只要证明，由等腰三角形的性质即可证明．再根据，则，即可求解．【详解】证明：如图，延长、相交于F，

，，，在和中，，，，∵平分，∴，，，，，，，，，．∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的对应边相等解决问题，属于中考常考题型．13．如图，已知中，，为高，为中线，与相交于点O，若，，则的面积为．

【答案】【分析】根据三角形的中线的性质和重心的性质以及利用三角形的面积公式解答即可．【详解】解：中，，AD为高，BE为中线，，，的面积，的面积的面积，中，，为高，为中线，为的重心，的面积的面积．故答案为：．【点睛】此题考查三角形的重心，关键是根据三角形的中线的性质解答．14．如图，和都是等边三角形，点E，F分别在边和上，且，若的周长最小时，则的大小是．【答案】/30度【分析】本题考查了等边三角形的性质以及垂线段最短，全等三角形的性质与判定：先通过等边三角形的性质证明，得，因为，所以是等边三角形，则当时，的周长最小，此时，即可作答．【详解】解：∵和都是等边三角形，且，∴，则，∵，∴，∴，∴，∵，∴是等边三角形，则的周长，∴当时，有最小值，∵等边三角形的三线合一，∴．故答案为：．15．如图，与是全等的两个等边三角形，在同一条直线上，为线段上一动点，若的最小值为5，则等边三角形的边长为．

【答案】【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，连接，证明得到，进而推出当三点共线时，最小，即此时，最小值为，再由的最小值为5，得到，则，据此可得答案．【详解】解：如图所示，连接，∵与是全等的两个等边三角形，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴当三点共线时，最小，即此时，最小值为，∵的最小值为5，∴，∴，∴等边三角形的边长为，故答案为：．

16．如图，是等边的中线，以为圆心，的长为半径画弧交的延长线于，连接，则．【答案】/120度【分析】本题考查了等边三角形的性质．根据等边三角形的性质可得，，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．【详解】解：是等边三角形，，，是的中线，，由题意得：，，，故答案为：．17．如图，和均是等边三角形，分别与交于点M、N，且A、C、B在同一直线上，有如下结论：①；②；③；④．其中不正确结论的结论是．

【答案】③【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，角平分线性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据等边三角形的性质，角平分线性质，全等三角形的性质和判定逐一证明即可得到答案．【详解】解：和均是等边三角形，，，在，中，，，故①正确；，在，中，，，，故②正确；，在中．，，故③错误；，，，，，故④正确．故答案为：③．18．如图，等边、等边，若，则当为度时，是等腰三角形．【答案】或或【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，设，先证明，从而表示出，再根据等腰三角形的性质，分别假设，，，从而求出．【详解】解：设，∵与是等边三角形，∴，∴，∵是等边三角形，为等腰三角形，当时，，即，解得，当时，，即，解得，当时，，即，解得所以当为或或时，是等腰三角形；故答案为：或或19．如图，点，分别在等边三角形的边，上，将沿直线翻折，使点落在处．若，则．【答案】/度【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，折叠的性质，由等边三角形的性质得到，由折叠的性质可得，根据平角的定义求出，则由三角形内角和定理得到，再由平角的定义即可求出答案．【详解】解：∵是等边三角形，∴，由折叠的性质可得，∵，∴，∴，∴，故答案为：．20．如图，已知和均为等边三角形，点是的中点，连接，，则，取最小值时与满足位置关系为．【答案】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．根据等边三角形的性质可得，，根据“”可证，可得，当时，的长度最小，根据，，从而得到．【详解】解：∵为等边三角形，点O是的中点，∴，，∵和均为等边三角形，∴，，∴，∴，∴，当时，的长度最小，∵，，∴，又∵，∴，故答案为：30；．三、解答题（本题共3小题，共40分）21（12分）．已知中，，，点D为的中点．(1)如图1，点E，F分别为线段上的点，当时，易得的形状为三角形；(2)如图2，若点E，F分别为延长线上的点，且，其他条件不变，则（1）中的结论仍然成立，请证明这个结论；(3)如图3，若把一块三角尺的直角顶点放在点D处转动，三角尺的两条直角边与线段分别交于点E，F，请判断的形状，并证明你的结论．【答案】(1)等腰直角(2)成立，见解析(3)等腰直角三角形，见解析【分析】本题考查等腰三角形判定及性质，全等三角形判定及性质．（1）根据题意连接，证明即可得到本题答案；（2）同（1）中证明方法已知，即可得到本题答案；（3）证明即可得到本题答案．【详解】（1）解：连接，∵，，点D为的中点，∴，，，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形；故答案为：等腰直角；（2）解：（1）中结论成立，理由如下：连接，如图，∵，，点D为的中点，∴，，，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形；（3）解：结论：是等腰直角三角形，理由如下：连接，∵，，点D为的中点，∴，，，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴是等腰直角三角形．22（14分）．完成下列各题问题初探如图1，中，，，点D是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，猜想和有怎样的数量关系，并说明理由．类比再探如图2，中，，，点M是上一点，点D是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，则______．（直接写出答案，不写过程，但要求作出辅助线）方法迁移如图3，是等边三角形，点D是上一点，连接，以为一边作等边，连接，则之间有怎样的数量关系？______（直接写出答案）拓展创新如图4，是等边三角形，点M是上一点，点D是上一点，连接，以为一边作等边，连接，猜想的度数并说明理由．【答案】问题初探:理由见解析类比再探：，图形见解析方法迁移：拓展创新：，理由见解析【分析】问题初探：证明，得到；类比再探：过点M作交于点F，推出，，证明，得到，根据，即可得解；方法迁移：证明，得到，即可得到；拓展创新：过点M作交BC于点G，得到是等边三角形，再证