2022-2023学年甘肃省金昌市统招专升本高数自考真题(含答案)

2022-2023学年甘肃省金昌市统招专升本高

数自考真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（20题）

1.

设L为直线.r+y=1上从点A（l,0）到点B（O.l）的直线段.则1（丁+»）必一山，=

（）

A.2B.1C.-1D.-2

2.

设/Q）=sin（cos2'）.iG（—8,+8）,则此函数是（）

A.有界函数B.奇函数C.偶函数D.周期函数

3.

把积分「山^不^八九山山化为极坐标形式为（）

J1，J0

A.|dl^j/(rcos0,rsin0)rdrB.Idj]f(rcosd,rsind)rdr

Ji>ji>

C-fprint)

C.|<101f(rcosff.rsin<7)rdrD.d。J(rcos0*rsinfl)rdr

jiiJu

4.

微分方程xdy+ylnydz=0的通解为()

A.ye，=CB.yer=4+C

C..r\ny=CD.>=C-

5.

.下列函数中.哪个是e，+e)的原函数()

A.)(e'+er>B.

C.-l(e^+e-u)D.十一e

6.

设〉=f(，/为可导函数，则学=

sin!)()

ci.r

A.sina,2/(sinj2)B.cos//"(sirtr2)

C.Zjsin.r2/^(sinj2)D.2-icosj-2X(sin.r2)

7.

下列级数发散的是()

儿苧-匕3

C.苧-1尸上D，

S(2H+D?

8.

微分方程:ry'—*=/的通解为()

A.y=B.y=jr(x+C)

一+C

(・y=3iDy=*+c)

9.

级数收敛，则级数()

W-1

A.X|«,.|收敛B.X(-1)"“"收敛

tf=Lw=1

c.4收敛D.X""二"收敛

>•-1“一i4

10.

.微分方程3e*tany&r+(1—e*)sec21ydy=0的通解是()

A.coty=C(ex-1)3B.tany=C(eJ—1)s

C.coty=C<ex+1)3D.tany=C(eJ+1)3

11.

.微分方程dy-2i_/cLr=0满足条件y（D=-1的特解是)

A1

A.y-B.y=~p-

C・y=J2D・y=­J2

12.

下列级数收敛的是()

A.'（一1）'（日尸B.(—l)flCOSM7T

”=1

3L

C.2（一1尸咛+打D.y(-i)-ln»

/n

13.

设y=（1+3＞（"为正整数），则=（）

A.5"B.n!C.5，D.n

14.

下列不等式不成立的是()

A.|Inxdu>J(ln<r)2d<rB.jsinjdjV1;cdw

j<iJ(i

C.Iln(1+T)d.r<fid.TD.fe，dbV[(1+x)d.r

15.

设A,B均为”阶矩阵.IA|=2,|If|=-3,则|2A'8i|=()

_2_2“T

A.1rCND

Jo-T--r

16.

()

A.1B.2C.eD.+oo

17.

试确定当HfO时，下列哪一个无穷小是对于1的三阶无穷小（）

A.6—右B.JT不F-]

C..r'+0.0002J-2D.(sin.d

18.

设f(x)=sinfd，,g(、r)=三+'7"，则当1->()时,

J<J5b

A.低阶无穷小B.高阶无穷小

C.等价无穷小

19.

下列级数收敛的是(

Ay5"+2By22+1

£"+1n=1n2

82

D』

n=l乙

20.

1一1121

若矩阵A=3A-12,且A的秩为2*则;I=

5316

A.3B.4C.5D.6

二、填空题（10题）

〜微分方程2契+4雯+3》=0的通解为

21.由一dr

(e1-DdZ

极限1而甚--------

22'Jarctaixr

曲线）=«re-的拐点为

已知/(.r)的一个原函数为空文.则j=

24.才J

rl00

011

设A=22，则［（A、）TJ'=,

。一

25.

定积分「

占在

曲线y=1=1处的切线方程是

27.

已知-1.唬’

28.

29设’•则打，-。=

lim”生3

30.

三、判断题(10题)

31设尸2$，，贝IJ），'=5♦2".

A.否B.是

32.

sin（j-+cosj-）dj-=0.

A.否B.是

设/(a)=工士，则函数/(x)有1个间断点.

33.A.否B.是

已知(arcsinz+六)，=—贝U|—dr=arcsine+兀.

34,A.否

B.是

limq=a当且仅当limi2”=limi2=a.

M—8fl—♦OQ81rH

35.A.否B.是

36.

函数y=I*(3〃+sinf)d，，则=6i+cos—()

Jidr"

A.否B.是

37.

当1时,无穷小量C—l是才一1的低阶无穷小量.()

A.否B.是

已知函数1y=由参数方程J确定，则j=2r—1.

IV=/一产

38.1A.

否B.是

函数/<x)=e，与/(a)=ln.r的图形是关于原点对称的._

39.A.否B.是

函数_y=arctan(j--1)的最大值是

40.■A.否B.是

四、计算题(5题)

讨论函数y=-1.一的单调性.

O5

41.

求微分方程外业+(.N4-i)dj=o的通解.

42.

求微分方程-4)，+3y=4x的通解.

43.

「ln(l+〃)」,

-------at

«1______

计算lim弓

.，-*Ur-sin.r

44.

求微分方程9y"+6y'+y=0的通解.

45.

五、证明题(2题)

证明不等式e">/.

46.

47.

设函数人外在闭区间［0,1］上连续，在开区间(0,1)内可导，且/函)=0J(l)=2.证

明：在(0,1)内至少存在一点“使得/(。=2(+1成立.

六、应用题(5题)

48.

25.将局长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体,矩形的边长各为多少时，才可

使圆柱体的体积最大？

49.

为倡导低碳生活,某节能产品生产厂家拟举行消费者购买产品获补贴的优惠活动.若

厂家投放两种型号产品的价值分别为a、〃万元时.则消费者购买产品获得相应的补贴分

别为名,，“ln(l+&)万元且为常数).已知厂家把总价值为10万元的A、B两种型号的

产品投放到市场，且A、B两种型号的投放金额都不低于1万元，参考数据：ln4R1.4)

(1)设投放B型产品的金额为1万元,请写出这次活动中消费者得到的总补贴函数L(.r).

并求其定义域.

(2)当•时，当投放6型产品的金额为多少万元时.消费者得到的总补贴最多.并求

出最大值.

50.

某大学城超市按批发价每件30元买进一批T恤，若零售价定为每件50元，预计可售

出1000件.若在此基础上每件降价2元，则可多售出200件.问每件零售价定为多少，该超市可

以获得最大利润？

51.

求由两条曲线y=cos/"=sim及两条直线I=0"=?所围成的平面图形绕

7轴旋转而成的旋转体体积.

52.

某工厂需要围建一个面积为64平方米的长方形堆料场，一边可利用原来的墙壁，而现

有的存砖只够砌24米长的墙壁，问这些存砖是否足够围建此堆料场？

参考答案

l.D

I：答案］D

【精析】由题意可得积分曲线可表示为如图,则

J(1+y)dz-dy=J1#+(1-力］dr-(―1)<1,

—J(1十I—x+I)dx—2x|

=-2.

2.A

［答案］A

【精析】因为一1Wsin(cos2T)<1.所以函数/<J')=sin(cos2x)是有界函数.

又/(—a)T6/(X)•/(—JC)#一/(K)，JXJT)壬/(J+T).则既非奇函数.又非偶函数.

也非周期函数.

3.D

［答案1D

【精析】D={(,x,y)|-v2)={(r.0)|彳,0&r&4}.

所以「dy|'GS/Q、》)d.r

=/：4/'(rcos。,尸sinJ)rdr，故应选D.

4.C

［答案1C

【精析】由idy+ylnydi=°得飞*也=--^心,两边积分得In\ny\=—In|x|+G,

即ilny=C,故应选C.

5.D

【精析】A项：；(—+R—')2'=J♦2(e，+e-J')•(eJ—e-x)=e2x—e-2j；

乙，

B项：「)(/一七-一丁=-L.2(ex-e-J)•(eJ+e-T)=e。­e~;

乙乙

C项：「：(e。+e-M)］，=l(e2j,2-2e-^)=-L'；

乙乙

D项；(e，—e-，)'=e，+e~；

6.D

［答案］D

【精析】(sina2)•(siru，)'=2①cosU/'lsiru').

7.A

［答案］A

【精析】由于lim（—iy/J，、=lim（-1）'•（一4）/0,

"-3?+1）3?+2）-—

所以X(—D"/；二及，、发散,故选A.

77](〃十1)(〃十/)

8.B

【精析】将方程化为标准形式y'—Ly=八是一阶线性微分方程，故通解

JC

y=e-f~+lU(JxeJ-+"d_r+C)=.r(Jx•—d.r+C)—+C).

9.D

[答案1D

【精析】反例：当心=(一])"指时，2”“收敛•但2।卬i=S；发散，

U-1W—1M—I\/fl

S(-ir«..=S2发散，Xutta,H-I=S/1发散.A、B、c选项均不正

•r-I«-1y]nn-Iir-I(〃+l>

确.故选D.

10.B

【精析】两边同乘以R、一.方程分离变量为0dy=0,即

(1-e>tany1-etany

=笆7dl,积分得

tan^re—1

In|tany|=31n|e'一1|+In|C|,

所以方程有通解为

tany=C(e'—1尸.

ll.B

【精析】对微分方程分离变量，得竽=2",两边积分.得一?=/+C,代入

y(D=-1.得。=0.故方程的特解为》=一』.故应选B.

JT

12.D

［答案］D

【精析】令八"=#，则=三里，

令/(x)=0.则x=e.且当工＞€时./'(»＜0.

所以人才)在(e,+oo)上单调递减.所以u(w)=皿在(3.+8)上单调递减.

n

又因为lim回=0.所以£(一1)“皿满足莱布尼兹定理条件，收敛.

则中收敛.故选D.

13.B

【精析】丁'=M.r+3)e..y"="(〃-1)(］+3)"-2「.‘炉”=加，则炉”2)=加，故

选B.

14.D

［答案］D

【精析】由定积分的比较性质可知「eTr＞「(1+I)心•.故应选D.

JdJ0

15.D

［答案1D

【精析】因为A'=|A|•,V1=2A，所以|A'|=|2A-1\=2"•~=2j所以

COS/

【精析】］im=lim隼=.上=1.

—Jlur.o+±tag

16.A-r

17.B

［答案］B

______X,3

【精析】lim=lim^—h=3,则A错;lim。1十"--------=limH

.r-*P»l*..fUy.'jF-r-*U./-»UJ"，L

则vT不F—1在.rf0时是N的三阶无穷小.故B正确；lim/七9：.20°2/=1+

―。X

lim=03，故C错;lim'"7广-=lim三=lim二=co,故D错.

J-J*.r•<1.1'X•l>XT•|>JT"

18.B

［答案］B

I

sin/dt

sirtr•sin(1—cos/)

【精析】limlimtllim

4(1).「一*•。才力I.r-*0M

-T(1—COSN)’(1—cos^)2

limlim

『+x5M+V

J

lim二()，

r-»n+M

19.D

【精析】对于选项A,limu=lim叫牛=5/0,不满足级数收敛的必要条件，故级

nM-A8"-I1

数£市发散・

2"+l

T

红士又£白发散,则级数£红要发散.

对于选项B.lim-4—limA=2,

n-*o©1『8〃"=|>jn”=1n7

oooo

1+(-l)n(一l)Bn

对于选项c.£，因为20上收敛发散，故

n=1n=¥[!+仁«

oo

1+(-1)°

由收敛级数的性质可知级数£发散.

n=1

(w+1)22n

对于选项DJim也吐=lim=9v1.故级数E『收敛.

n-*oow-*oo2“十】7

20.C

1-1121一112

【精析】A=3-120A+3-4-4

o31608一4一4

1一12

0A+3一4

05.00

因为r(A)=2,所以5—入=0,所以A=5.

21.

y=e+C\sin

【精析】原方程的特征方程为2户+4r+3=0.特征根为，I=—l+^i,；-2=-1-

.所以原方程的通解为y=，(Cicos+C'sin).

22.

~2

r

(e-Ddt2”(/—1)

【精析】lim8-------7—

r-oarctaur4z3

23.

【精析】y'=e-'--”=-e--(e--.re-r)=.re-r-2br=e-r(x-2).

令y"=o得1=2，11在①=2左右两侧凹凸性改变.又当上=2时.y=252.即拐点

为"卜

24.

［答案］222+C

丘

【精析】f-V(77)clr=(而=2^^+C.

JVvT丁Ji

25.

-400、

［答案］0一2—4

0—6一10

【精析】由于…=|A|A-二则(4•尸=(|A|A1)-'=

100

01

—40O'

故(A')'=-4A0-2—6

0-4-10

-400T400

r(A,)t?1=C(A'>-IT=o-2—60-2—4

0-4-100-6—10

26.

［答案14

11

r城用Tf1._1fd(2z+3)

【精析】J(2W+3)2**-jJ-j(2^+3*

11_2

2(2i+3)-i―T'

27.

3y+2.r=5

【精析】炉^=一则切线的斜率4=y'|=一,.当丁=1时,y=1.故切线

3I.，■J<5

方程为丁一1—一~|■（才一1）•整理得3y+=5.

28.

e1

2)，

［答案］—导

【精析】方程两边同时对才求导得1+2》毕=0.则孚=-f

fT/AI

29.dx

［答案］da

【精析】=J；：尸，所以了'="==1，则d.yL="=&r.

30.

［答案］〃

arcsinai

【精析】lim

1

S

31N【精析】/=2"-ln2•(5/)'=51n2-2\

［答案］＜

【精析】由于定积分］sin(才+cos.r)cb是个常数.故其导数为0.

32.Y

33.Y

【精析】函数/(8为罄指函数.故底数1＞。.且一rr1•则函数定义域为(0.DU

(1,+8),故可知函数y(.r)有一个间断点J-=1.

［精析］/I：d-r

arcsin.r+C.

34.N0

35丫【精析】由数列收敛的性质可得・

［答案］＜

2

【精析】y3x—sin.7,-r^=(y')'=6、T+cos.r.

36.Yd.7"

37.N

［答案］x

【精析】lime-：=Um~~__三_12=__C,故当『f1时，无穷小量c—cr与I-

1是同阶非等价无穷小.

【精析】*=9=寻=2，一L

38.Y"

39.N

【精析】因为¥=e，所以工=Iny,函数/＜.r)=e，与/(J)=Iru"互为反函数，图像

关于3=2对称.

【精析】V=arctan（才—1）的值域是/一£•.告），没有最大值.

40.N\-一）

41.

【精析】函数的定义域为（-8・+3），因为/=/一＞=VQ-DQ+l）.所以,

令』=0.得驻点a-j=-1.j-2=0,X,）=1.列表讨论如下：

参*举亲去其冬*析

w(—t,—1)-1(-1,0)0(0,1)1（1,+。匚）

f

y+0—0—0+

X/

y4

所以.函数/（.r）在区间—与（L+3）上单调增加,在区间（一1.1）上单调减少.

42.

.【精析】分离变量得

-dv=—,1d,z,,

y-/+1

两端积分得

JE，=[（-三）小

即In|y|=-J乙ln（/+1）+（'].

所以原方程的通解为

y=

Jx"+L

43.

【精析】此方程为二阶常系数线性非齐次微分方程.

对应的齐次方程的特征方程为/-4r+3=0,解得八=l,r2=3.

对应的齐次方程的通解为Y=Ce，+Ce”.

原方程中八］）=4.r'=0不是特征方程的根.因此设原方程的特解为/=Ar+B.

则（<）'=八，（/）"=0,

将V.（/）'♦（》「）”代入原方程并整理得3Az+（-4A+3B）=4_r.

grp,._4„_16._4,16

所以八=5，B=三，,y=—+—，

0yoy

所以原方程的通解为.y=y+V=cq+。户+—+群

44.

【精析】当％o时.「皿士12山-o,故原极限为“l”型的极限，应用洛必达法则

可得.

［■,ln（l+^）ln（l+>）

dA

rJi>t1.rvln（1+.r）r./Q

lim--------；------=lim----------=lim——---------=lim：=乙.

lnx—sirir1—COSJ;r（1—cosJ-），一，1，

।•'2'r'

45.

对应的特征方程为9，+6r+l=0,解得,-=—1,为二重根，故原方程的通

0

解为

y=eT（G+。2力）.

46.

【证明】两边取对数，并将n换为7,得辅助函数.

设/（彳）=eln.r-才./“（工）=——1.

当e时./'（/）<0.则/（X）在［e.+2）时单调减小，

7（.r）V/（e）=0.取1=%>e./（7t）V0.

即