一元一次不等式知识点及例题

一元一次不等式知识点及例题不变。?不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。一元一次不等式、不等式的解集:7?能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。?一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。?求不等式解集的过程叫做解不等式。知识点与典型基础例题一不等式的概念:例判断下列各式是否是一元一次不等式,考点一、不等式的概念(3分)1、不等式:用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。2、不等式的解集:对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。5、用数轴表示不等式的方法考点二、不等式基本性质(3~5分)1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。2、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。4、说明:?在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改二不等式的解:三不等式的解集:例判断下列说法是否正确，为什么,X=2是不等式x+3,2的解。X=2是不等式3x,7的解。不等式3x,7的解是x,2。X=3是不等式3x?9的解变。?如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么四一元一次不等式:就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，例判断下列各式是否是一元一次不等式否则不等式不成立;考点三、一元一次不等式(6--8分)不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。2、解一元一次不等式的一般步骤:(1)去分母(2)去括号(3)移项(4)合并同类项(5)将x项的系数化为1(8分)考点四、一元一次不等式组1、一元一次不等式组的概念:几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。5、一元一次不等式组的解法(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。6、不等式与不等式组不等式:?用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。?不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。?不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向1Acb>abBac>abCcb<abDc+b<a+b1、一元一次不等式的概念:一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且例五(不等式的基本性质问题例1指出下列各题中不等式的变形依据例2用>”或<”填空，并说明理由例3把下列不等式变成x>ax<a的形式。例4已知实数a/b/c/在数轴上的对应点如图，则下列式子正确的是()例将下列不等式的解集在数轴上表示出来。六在数轴上表示不等式的解集:题型一:求不等式的特殊解例,)求x+3,6的所有正整数解,)求10-4(x-3)?2(x-1)的非负整数解，并在数轴上表示出来。,)设不等式,,,,?,只有,个正整数解，求正整数题型二:不等式与方程的综和题例关于,的不等式,,,,?,,的解集如图，求,的取值范围。不等式组的解集是,,,，则,的取值范围是,若关于,、,的二元一次方程组的解是正整数，求整数,的值。题型三确定方程或不等式中的字母取值范围例,为何值时方程,,,,,,(,，,)的值是非正数已知关于x的方程3k,5x,,9的解是非负数，求k的取值范围已知在不等式,,,,?,的正整数解是,，,，,，求,的取值范围。若方程组的解中x>y，求K的范围。如果关于x的方程x+2m-3=3x+7的解为不大于2的非负数，求m的范围。若|2a+3|,2a+3,求a的范围。若(a+1)x,a+1的解是x,1,求a的范围。若的解集为,,，求,的取值范围。如果0的整数解为,、,、,，求整数,、,的值。题型五求最小值问题题型六不等式解法的变式应用例根据下列数量关系，列不等式并求解。X除以2的商加上2，至多为5。A与b两数和的平方不可能大于3。2例,取何值时，,(,,,),(,,,),,的值是非负数,把不等式组的解集表示在数轴上正确的是()题型七解不定方程例求方程,,，,,,,,,的正整数解。已知无解，求,的取值范围。题型八比较两个代数式值的大小例已知,,,，,，,,,,,，,，,,,，,,,,,，求,与,，,与,的大小关系题型九不等式组解的分类讨论,,答案:C不等式,(的解集是(),(,(,(答案:C例解关于,的不等式组8、常见题型一、选择题3，m，1)在第二象限，则m的取值范围为()在平面直角坐标系中，若点P(m,A(,1,m,3B(m,3C(m,,,D(m,,,答案:A已知关于的一元二次方程B(有两个不相等的实数根，则实数C(D(答案:D的取值若不等式组有实数解，则实数的取值范围是()A(若A(B(，则C(D(答案:A的大小关系为()C(D(不能确定答案:AB(不等式—x—5?0的解集在数轴上表示正确的是()范围是()A(关系是(D)四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P、Q、R、S，如图3所示，则他们的体重大小答案:B不等式,的正整数解有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个答案:C把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是()A、B、C、D、3A(B(C(D(答案:B答案:C把不等式组的解集表示在数轴上，正确的为图3中的()不等式组，的解集是()A(不等式组B(C答案:C的解集在数轴上可表示为()(D(无解A(B(C(D(答案:BABCD答案:D实数在数轴上对应的点如图所示，则，示三种不同的物体，现放在天平上比，的大小关系正确的是()用表较两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为()A(答案:D如图，a、b、c分别表示苹果、梨、桃子的质量(同类水果质量相等，则下列关系正确的是()A(a,c,bB(b,a,cC(a,b,cD(c,a,不等式组答案:C不等式组的解集在数轴上表示正确的是()的解集在数轴上可表示为()答案:AB(C(D(b4不等式组的整数解的个数为(答案:46.已知关于答案:A在数轴上表示不等式组的解集，正确的是()答案:9.不等式组的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是(的解集是(答案:10(直线于的不等式与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关的解集为(答案:A二、填空题已知3x+4?6+2(x-2),则如图，已知函数和的最小值等于________.答案:1答案:的图象交点为，则不等式<-1的解集为,1,x,2，则(m，n)2008,__________(答案:1的13.已知不等式组三、简答题解不等式组答案:解:解不等式(1)，得原不等式组的解是(解不等式(2)，得((不等式组的解集为(答案:5(3)原问题转化为:并写出该不等式组的最大整数解.当解:解不等式x+1,0,得x,-1解不等式x?，得x?2当当的故时，(时，，大于或等于最大值(解不等式组，随，即的增大而减小，的最大值为7(?不等式得解集为-1,x?2?该不等式组的最大整数解是2若不等式组根，求a的值。解:解不等式得解方程，则整数解x=-2代入方程得a=4。。由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和,2的整数解是关于x的方程解不等式组并把解集表示在下面的数轴上.的距离之和为5的点对应的x的值。在数轴上，1和,2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或,2的左边，若x对应点在1的右边，由图(17)可以看出x,,,3，故原方程的解是x=2或x=2;同理，若x对应点在,2的左边，可得x,3的解集是:解:的解集是:所以原不等式的解集是:„„„„„„„„„„„„„„„(3分)解集表示如图„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(5分)参考阅读材料，解答下列问题:(1)方程(2)解不等式(3)若解:(1)1或当的解为?9;?a对任意的x都成立，求a的取值范围解:((2)和的距离为7，的两侧((由不等式(1)得:由不等式(2)得:所以:5,x?3解不等式组:并判断是否满足该不等式组(<5?3因此，满足不等式的解对应的点3与易知在3的右边时，如图(2)，解不等式组当易知在的左边时，如图(2)，(原不等式的解为或6解:原不等式组的解集是:，满足该不等式组(解不等式3x-2<7,将解集在数轴上表示出来,并写出它的正整数解(解:3x-2<73x<7+23x<9x<3解不等式组，并写出它的所有整数解.解:解不等式组并求出所有整数解的和(解:解不等式?，得，解不等式?，得(原不等式组的解集是(则原不等式组的整数解是(所有整数解的和是:不等式复习1一:知识点回顾1、一元一次不等式(组)的定义:2、一元一次不等式(组)的解集、解法:3、求不等式组的解集的方法:若a,b，当时，x,b;(同大取大)当时，x,a;(同小取小)当时，a,x,b;(大小小大取中间)当时无解，(大大小小无解)二:小试牛刀1、不等式8-3x?0的最大整数解是_______________.2、若的解集是，则a必须满足_______3、若不等式组，则a的取值范围是________(的解集是、如图，直线经过点，和点，0)，直线过点A，则不等式的解集为()A((((、不等式组的解集为x,2，试求k的取值范围______78、由x,y得ax?ay的条件是()A.a,0B.a,0C.a?0D.a?0A.m,0B.m,0C.m?0D.m是任意有理数9、由a,b得am2,bm2的条件是()三:例题讲解1、已知关于x的不等式2x+m>-5的解集如图所示，则m的值为()A,1B,0C,-1D,32、不等式2x+1<a有3个正整数解，则a的取值范围是,取值范围。若方程组的解x、y的值都不大于1，求m的、关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是多少,、不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是7、用若干辆载重为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装5吨，则剩下10吨货物，若每辆4、若方程组的解满足且，求整数k的取值范围。车装满8吨，则最后一辆汽车不空也不满，请问有多少辆汽车,8、某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共100件，学校计划租用甲乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多载40人和10件行李;乙种汽车每辆最多载30人和20件行李。(1)设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的方案请你选择最省钱(2)如果甲乙两种汽车每辆的租车费分别为2000，1800元，的一种租车方案。9、为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A、B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题(两种型号沼气池的占地面积、使用5、若不等式组无解，求a的取值范围.6、已知不等式组的解集是1,x,b(则a，b的值,9、某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两农户数及造价见下表:2种产品共50件，已知生产一件A种产品用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m，该村农户共有492户(元;生产一件B种产品用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元。B两种产品的生产件数，有哪几种方案,请你设计出来;(1)按要求安排A、(2)设生产A、B两种产品总利润为之间的函数关系式，并利用函数的性质说明那种方案获利最大,最大利润是多少,8(1)满足条件的方案共有几种?写出解答过程((2)通过计算判断，哪种建造方案最省钱(y元，其中一种产品生产件数为x件，试写出y与x先在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数去掉分母，在去分母时不要漏乘没有分母的项，再作其他变形(【解答】去分母，得4(2x-1)-2(10x+1)?15x-60(去括号，得8x-4-20x-2?15x-60移项合并同类项，得-27x?-54系数化为1，得x?2(在数轴上表示解集如图所示(2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练一元一次不等式及其应用?知识讲解1(一元一次不等式的概念类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1•的不等式叫做一元一次不等式(2(不等式的解和解集不等式的解:与方程类似，我们可以把那些使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解(不等式的解集:对于一个含有未知数的不等式，它的所有的解的集合叫做这个不等式的解集(它可以用最简单的不等式表示，也可以用数轴来表示(3(不等式的性质那么a?c>b?c(【点评】?分数线兼有括号的作用，分母去掉后应将分子添上括号(同时，用分母去乘不等式各项时，不要漏乘不含分母的项;?不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变;?在数轴上表示不等式的解集，当解集是x<a或x>时，不包括数轴上a这一点，则这一点用圆圈表示;当解集是x?a或x?a时，包括数轴上a这一点，则这一点用黑圆性质1:不等式两边加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变，即如a>b，【分析】本题主要考查代数式大小的比较有两种方法:其一，由于选项是确定的，我们可系(以用特值法，取a>15(一元一次不等式的应用列一元一次不等式解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系十分重要(?例题解析【点评】应用特值法来解题的条件是答案必须确定(如，当a>1时，A与2a-2•的大小关系不确定，当1<a<2时，当a>2a-2;当a=2时，a=2a-2;当a>2时，a<2a-2，因此，•此时a9与2a-2的大小关系不能用特征法(例3若不等式-3x+n>0的解集是x<2，则不等式-3x+n<0的解集是_______(代入-3x+n<0得:-3x+6<0，?x>2器供选择，其中每台机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示(经过预算，本【分析】一方面可从已知不等式中求出它的解集，•再利用解集的等价性求出n的值，故选择方案二(【点评】?部分实际问题的解通常为整数;?方案的各种情况可以用表格的形式表达(例5某童装加工企业今年五月份，•工人每人平均加工童装150套，最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的60%(为了提高工人的劳动积极性，按照完成外商订货任务，企业计划从六月份起进行工资改革(•改革后每位工人的工资分两部分:一部分为每人每月基本工资200元;另一部分为每加工1套童装奖励若干元(按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工1套童装企业至少应奖励多少元(精确到分),(2)根据经营情况，企业决定每加工1套童装奖励5元(•工人小张争取六月份工资不少于1200元，问小张在六月份应至少加工多少套童装,【分析】(1)五月份工人加工的最少套数为150×60%，若设平均每套奖励x元，则该工人的新工资为(200+150×60%x)，由题意得200+150×60%x?450;(2)六月份的工资由基本工资200元和奖励工资两部分组成，•若设小张六月份加工了y【解答】(1)设企业每套奖励x元，由题意得:200+60%×150x?450(因此，该企业每套至少应奖励2.78元;解得y?200(【点评】本题重点考查学生从生活实际中理解不等关系的能力，对关键词“不低于”、“至少”、“不少于”的理解是解本例的关键(?强化训练一、填空题例4某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞(•现有甲，乙两种机(1)•为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准450元，哪种购买方案,(2)若该公司购进的6台机器的日生产能力不低于380个，那么为了节约资金应选择套，则依题意可得200+5y?1200(【解析】(1)可设购买甲种机器x台，然后用x表示出购买甲，•乙两种机器的实际费解得:x?2.78(用，根据“本次购买机器所耗资金不能超过24万元”列不等式求解(约资金”两个条件选择购买方案(解(1)设购买甲种机器x台，则购买乙种机器(6-x)台，则7x+5(6-x)?34解得x?2又x?0?0?x?2?整数x=0，1，2?可得三种购买方案:方案一:购买乙种机器6台;方案二:购买甲种机器1台，乙种机器5台;方案三:购买甲种机器2台，乙种机器4台(10(2)分别算出(1)中各方案每天的生产量，根据“日生产能力不低于”与“节(2)设小张在六月份加工y套，由题意得:200+5y?1200，4(不380个等式4(x+1)?6x-3的正整数解为______(5(已知3x+4?6+2(x-2)，则?x+1?的最小值等于______(8(小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，•每支钢笔5元，那么小明最多能买______支钢笔(货员最低可以打______折出售此商品(万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，若要总收入不低于15.6万元，•则最多只能安排_______人种甲种蔬菜(9(某商品的进价是500元，标价为750元，商店要求以利润不低于5%的售价打折出售，售10(有10名菜农，每个可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，•已知甲种蔬菜每亩可收入0.5一位同学可能获得的奖励为()A(3项B(4项C(5项D(6项三、解答题ABCD12(如图所示，O是原点，实数a，b，c•在数轴上对应的点分别为A，B，C，则下列结论错误的是()A(a-b>0B(ab<0C(a+b<0D(b(a-c)>013(如图所示，一次函数y=kx+b的图象经过A，B两点，则不等式kx+b>0•的解集是()A(a>5B(a=5C(a>-5D(a=-515(关于x的不等式2x-a?-1的解集如图所示，则a的取值是()0B(-3C(-2D(-1A(扩印一张照片0.50元，每人分一张，将收来的钱尽量用掉的前提下，•这张照片上的同学最少有()A(2个B(3个C(4个D(5个17(四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P，Q，R，S，如图所示，则他们的体重大小关系是()A(P>R>S>QB(Q>S>P>RC(S>P>Q>RD(S>P>R>Q1123(某零件制造车间有工人20名，•已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，•每制造一个乙种零件可获利260元，在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，•其余工人制造乙种零件((1)请写出此车间每天所获利润y(元)与x(人)之间的关系式;(2)若要使每天所获利润不低于24000元，•你认为至少要派多少名工人去制造乙种零件才20(王女士看中的商品在甲，乙两商场以相同的价格销售，两商场采用的促销方式不同:在甲商场一次性购物超过100元，超过的部分八折优惠;在乙商场一次性购物超过50元，超过的部分九折优惠，那么她在甲商场购物超过多少元就比在乙商场购物优惠,21(甲，乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，•各自推出不同的优惠方案:在甲超市累计购买商品超出300元之后，•超出部分按原价8折优惠;在乙超市累计购买商品超出200元之后，超过部分按原价8.5折优惠(设顾客预计累计购物x元(x>300)((1)请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用;(2)试比较顾客到哪家超市购物更优惠,说明你的理由(22(福林制衣厂现有24名制作服装工人，•每天都制作某种品牌衬衫和裤子，每人每天可制作衬衫3件或裤子5条((1)若该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等，则应安排制作衬衫和裤子各多少人,天获得利润不少于2100元，则至少需要安排多少名工人制作衬衫,二、选择题11(不等式-x-5?0的解集在数轴上表示正确的是()16(初中九年级一班几名同学，毕业前合影留念，每人交0.70元，一张彩色底片0.68元，(2)已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，•若该厂要求每合适,的整数解是______________;24(足球比赛的记分规则为:胜1场得3分，平1场得1分，负1•场得0分，一支足球队9(不等式组在某个赛季中共需比赛14场，现已比赛8场，负了1场，得17分，请问:(1)前8场比赛中，这支球队共胜了多少场,(2)这支球队打满了14场比赛，最高能得多少分,(3)通过对比赛情况的分析，这支球队打满14场比赛得分不低于29分，•就可以达到预期目标,•其中面25(宏志高中高一年级近几年招生人数逐年增加，去年达到550名，向全省招收的“宏志班”学生，也有一般普通班学生(由于场地、师资等限制，今年招生最多比去•“宏志班”学生可多招10%，问年增加100人，其中普通班学生可以招20%，今年最少可招收“宏志班”学生多少名,(若关于x的方程组的解满足x>y，则P的取值范围是_________;预期目标，请你分析一下，在后面的6场比赛中这支球队至少要胜几场，才能达到二(选择题:(每小题3分，共30分)11(若a>b,则下列不等式中正确的是()(A)(B)(C)(D)(在数轴上表示不等式的解集，正确的是()(A)(B)(C)(D)13(已知两个不等式的