高中数学学业水平考试知识点大全

2013年高中数学学业水平考试知识点大全2013年高中数学学业水平测试知识点必修一一、集合与函数概念并集:由集合A和集合B的元素合并在一起组成的集合，如果遇到重复的只取一次。记作:A?B交集:由集合A和集合B的公共元素所组成的集合，如果遇到重复的只取一次记作:A?B补集:就是作差。nnn2221、集合的子集个数共有个;真子集有–1个;非空子集有–1个;,,a,a,...,a12nn2非空的真子有–2个.,1,1y,f(x)2、求的反函数:解出，互换，写出的定义域;函数图x,f(y)x,yy,f(x)象关于y=x对称。3、(1)函数定义域:?分母不为0;?开偶次方被开方数;?指数的真数属,0于R、对数的真数.,04、函数的单调性:如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x，x，当x<x1212时，都有f(x)<()f(x)，那么就说f(x)在区间D上是增(减)函数，函数的单调性,12是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质。fxfx()()-=-5、奇函数:是，函数图象关于原点对称(若在其定义域内，则x,0f(0)0,);fxfx()()-=偶函数:是，函数图象关于y轴对称。6、指数幂的含义及其运算性质:x(1)函数叫做指数函数。y,a(a,0且a,1)x(2)指数函数当为减函数，当为增函数;01,,aa,1yaaa,,,(0,1)rsrs，rsrsrrraaa,,?;?;?。()aa,()(0,0,,)abababrsQ,,,,(3)指数函数的图象和性质x0<a<1a>1y,a图象定义域R性质值域(0,+?)定点过定点(0，1)，即x=0时，y=11态度决定人生，细节决定成败～开阳二中高二(1)班的每一位同学加油～～(1)a>1，当x>0时，y>1;当x<0时，0<y<1。(2)0<a<1，当x>0时，0<y<1;当x<0时，y>1。单调性在R上是减函数在R上是增函数x,x对称性和关于y轴对称ya,ya,奇偶性非奇非偶函数7、对数函数的含义及其运算性质:yxaa,,,log(0,1)(1)函数叫对数函数。ayxaa,,,log(0,1))对数函数当为减函数，当为增函数;(201,,aa,1a?负数和零没有对数;?1的对数等于0:;?底真相同的对数等于1:log1,0a，loga,1a(3)对数的运算性质:如果a>0,a?1,M>0,N>0，那么:M?;?;logMN,logM，logNlog,logM,logNaaaaaaNn?。logM,nlogM(n,R)aalogbclogb,(a,0且a,1,c,0且c,1,b,0)(4)换底公式:alogac(5)对数函数的图象和性质:y,logx0<a<1a>1a图象定义域(0,+?)值域R(1)过定点(1，0)，即x=1时，y=0性质(2)在R上是减函数(2)在R上是增函数2态度决定人生，细节决定成败～开阳二中高二(1)班的每一位同学加油～～(3)同正异负，即0<a<1,0<x<1或a>1,x>1时，logx>0;a0<a<1,x>1或a>1,0<x<1时，logx<0。a(4)非寄非偶函数。1,8、幂函数:函数叫做幂函数(只考虑的图象)。,1,2,3,,1,,y,x2y,f(x)9、方程的根与函数的零点:如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一y,f(x)条曲线，并且有，那么，函数在区间(,)内有零点，即存abf(a),f(b),0c,(a,b)f(x),0在，使得，这个也就是方程的根。cf(c),0必修二一、直线平面简单的几何体2222l,a，b，c1、长方体的对角线长;正方体的对角线长l,3a423S,4,R2、球的体积公式:;球的表面积公式:v,,R33、柱体、锥体、台体的体积公式:1V=Sh(S为底面积，为柱体高);V=(S为底面积，为柱体高)hhSh柱体锥体31V=(S’++S)(S’,S分别为上、下底面积，为台体高)hhS'S台体34、点、线、面的位置关系及相关公理及定理:(1)四公理三推论:公理1:若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内。公理2:经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。公理3:如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。推论一:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。推论二:经过两条相交直线,有且只有一个平面。推论三:经过两条平行直线,有且只有一个平面。公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.(2)空间线线，线面，面面的位置关系:空间两条直线的位置关系:相交直线——有且仅有一个公共点;3态度决定人生，细节决定成败～开阳二中高二(1)班的每一位同学加油～～平行直线——在同一平面内，没有公共点;异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。空间直线和平面的位置关系:1)直线在平面内(无数个公共点);((2)直线和平面相交(有且只有一个公共点);(3)直线和平面平行(没有公共点)它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示aA,,为，，。a//,a,,空间平面和平面的位置关系:(1)两个平面平行——没有公共点;(2)两个平面相交——有一条公共直线。5、直线与平面平行的判定定理:如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么该直线与这个平面平行。,,a,,,,符号表示:ba//。图形表示:,,,,ab//,6、两个平面平行的判定定理:如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。a,,,,b,,,,符号表示:。图形表示:abP//,,,,,,a//,,b//,,,7、.直线与平面平行的性质定理:如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么交线与这条直线平行。a//,,,符号表示:,,。图形表示:aab//,,,,b,,,8、两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们交线的,,,,,,//,,//,,,abab平行。符号表示:9、直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。符号表示:ababPlalbl,,,,,,,,,,,,,,10、.两个平面垂直的判定定理:一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。ll,,,,,,,,,符号表示:11、直线与平面垂直的性质:如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。a,,,符号表示:。ab//,,b,,,4态度决定人生，细节决定成败～开阳二中高二(1)班的每一位同学加油～～12、平面与平面垂直的性质:如果两个平面互相垂直，那么在其中一个平面内垂直于交线的Pllmlml,,,,,,,,,,,.直线垂直于另一个平面。符号表示:13、异面直线所成角:平移到一起求平移后的夹角。,H直线与平面所成角:直线和它在平面内的射影所成的角。(如右图),14、异面直线所成角的取值范围是;，0:,90:,;直线与平面所成角的取值范围是,,0:,90:二面角的取值范围是;，,0:,180:两个向量所成角的取值范围是,,0:,180:二、直线和圆的方程1、斜率:，;直线上两点，则斜率为k,tan,P(x,y),P(x,y)k,(,,,，,)111222yy,21k,xx,212、直线的五种方程:(1)点斜式(直线过点，且斜率为)(lkyykxx,,,()Pxy(,)11111ykxb,，(2)斜截式(b为直线在y轴上的截距).lyyxx,,11(3)两点式,((、;()、()).yy,Pxy(,)Pxy(,)xx,1112221212yyxx,,2121xy(4)截距式(分别为直线的横、纵截距，)ab、ab、,0，,1abAxByC，，,0(5)一般式(其中A、B不同时为0).3、两条直线的平行、重合和垂直:(1)若，lykxb:,，lykxb:,，111222?‖?l,k,k且blb;121212?l与l重合时,k,k且b,b;12122?.llkk,,,,11212(2)若,,且A、A、B、B都不为零,lAxByC:0，，,lAxByC:0，，,121211112222ABC111?;?ll||,,,llAABB,,，,012121212ABC22222(x,x)，(y,y)4、两点P(x，y)、P(x，y)的距离公式?PP?=111222122121x，xy，y12125、两点P(x，y)、P(x，y)的中点坐标公式M(，)11122222Ax，By，C006、点P(x，y)到直线(直线方程必须化为一般式)Ax+By+C=0的距离公式d=0022A，BC,C217、平行直线Ax+By+C=0、Ax+By+C=0的距离公式d=1222A，B222r，，a,b，，，，x,a，y,b,r8、圆的方程:标准方程，圆心，半径为;5态度决定人生，细节决定成败～开阳二中高二(1)班的每一位同学加油～～22422DED，E,F22()()，(配方:)一般方程xyDxEyF，，，，,0x，，y，,2241DE2222D，E,4F,0时，表示一个以为圆心，半径为的圆;(,,,)D，E,4F2229、点与圆的位置关系:222点与圆的位置关系有三种:Pxy(,)(x,a)，(y,b),r0022若，则daxby,,，,()()00点P在圆外;点P在圆上;点P在圆内.dr,,dr,,dr,,10、直线与圆的位置关系:222Ax，By，C,0直线与圆的位置关系有三种:(x,a)，(y,b),r;;d,r,相离,,,0d,r,相切,,,0Aa，Bb，C.其中.d,d,r,相交,,,022A，B11、弦长公式:若直线y=kx+b与二次曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)相交于A(x，y)，B(x，112y)两点，则由2二次曲线方程2ax+bx+c=0(a?0)y=kx+m则知直线与二次曲线相交所截得弦长为:22(x,x)，(y,y)AB=212122,,(1，k)(x，x),4xxx,x==1，k2121212Z112,,1，y,y,(1，)(y，y),4yy=12121222kkzFC2Bb4ac,21k=，YayOE13、空间直角坐标系，两点之间的距离公式:xA?xoy平面上的点的坐标的特征A(x，y，0):竖坐标z=0XDxoz平面上的点的坐标的特征B(x，0，z):纵坐标y=0yoz平面上的点的坐标的特征C(0，y，z):横坐标x=0x轴上的点的坐标的特征D(x，0，0):纵、竖坐标y=z=0y轴上的点的坐标的特征E(0，y，0):横、竖坐标x=z=0z轴上的点的坐标的特征E(0，0，z):横、纵坐标x=y=0222(x-x)，(y-y)，(z-z)PP?=??12212121必修三算法初步与统计:6态度决定人生，细节决定成败～开阳二中高二(1)班的每一位同学加油～～以下是几个基本的程序框流程和它们的功能图形符号名称功能表示一个算法的起始和结终端框(起止框)束表示一个算法输入输出的输入、输出框信息赋值、计算(语句、结果的处理框(执行框)传送)判断某一条件是否成立时，判断框在出口处标明“是”或“Y”，不成立时标明“否”或“N”连接程序框(流程进行的方流程线向)连接点连接程序框图的两部分注释框帮助注解流程图循环框程序做重复运算一、算法的三种基本结构:(1)顺序结构(2)条件结构(3)循环结构二、算法基本语句:1、输入语句:输入语句的格式:INPUT“提示内容”;变量。2、输出语句:输出语句的一般格式:PRINT“提示内容”;表达式。3、赋值语句:赋值语句的一般格式:变量=表达式。4、条件语句(1)“IF—THEN—ELSE”语句。5、循环语句:直到型循环结构“DO—LOOPUNTIL”语句和当型循环结构“WHILE—WEND”。三(三种常用抽样方法:1、简单随机抽样;2(系统抽样;3(分层抽样。4(统计图表:包括条形图，折线图，饼7态度决定人生，细节决定成败～开阳二中高二(1)班的每一位同学加油～～图，茎叶图。四、频率分布直方图:具体做法如下:(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差);频率(2)决定组距与组数;(3)将数据分组;(4)列频率分布表;(5)画频率分布直方组距图。注:频率分布直方图中小正方形的面积=组距×频率。频率小矩形面积=2、频率分布直方图:(注意:不是小矩形的高度)频数频数样本容量频率=，频率=计算公式:样本容量频率频率小矩形面积组距==，组距各组频数之和=样本容量，各组频率之和=13、茎叶图:茎表示高位，叶表示低位。折线图:连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图。4、刻画一组数据集中趋势的统计量:平均数，中位数，众数。在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数;将一组数据按照从大到小(或从小到大)排列，处在中间位置上的一个数据(或中间两位数据的平均数)叫做这组数据的中位数;5、刻画一组数据离散程度的统计量:极差，极准差，方差。(1)极差一定程度上表明数据的分散程度，对极端数据非常敏感。(2)方差，标准差越大，离散程度越大。方差，标准差越小，离散程度越小，聚集于平均数的程度越高。(3)计算公式:1222sxxxxxx,,，,，，,标准差:[()()()]n12n12222方差:sxxxxxx,,，,，，,n[()()()]12nˆˆˆˆˆyy直线回归方程的斜率为，截距为a，即回归方程为=x+a(此直线必过点(，))。xbb6、频率分布直方图:在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，方长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。五、随机事件:在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。一般用大写字母A,B,C„表示.8态度决定人生，细节决定成败～开阳二中高二(1)班的每一位同学加油～～随机事件的概率:在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P(A)。由定义可知0?P(A)?1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。1、事件间的关系:(1)互斥事件:不能同时发生的两个事件叫做互斥事件;2)对立事件:不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件;((3)包含:事件A发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B(或事件B包含事件A);(4)对立一定互斥，互斥不一定对立。2、概率的加法公式:(1)当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式:P(A+B)=P(A)+P(B)(A、B互斥)(2)若事件A与B为对立事件，则A?B为必然事件，所以P(A?B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)(3、古典概型:(1)正确理解古典概型的两大特点:1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;2)每个基本事件出现的可能性相等;(2)掌握古典概型的概率计算公式:事件包含的基本事件个数Am()PA,,实验中基本事件的总数n4、几何概型:(1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。(2)几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基本事件出现的可能性相等(事件构成的区域的长度(面积或体积)APA(),(3)几何概型的概率公式:实验的全部结果构成的区域的长度(面积或体积)n～*mn(n,1)？(n,m，1)5、排列:(1)、排列数公式:A==.(，?N，且nmn(n,m)～)(0～=1mn,(2)、全排列:n个不同元素全部取出的一个排列;n,n(n,1)(n,2),？,3,2,1,n,(n,1)!A,n!;n6、组合:9态度决定人生，细节决定成败～开阳二中高二(1)班的每一位同学加油～～mn(n,1)？(n,m，1)n～A*mn(1)、组合数公式:===(，?N，且Cnmnmm～,(n,m)～1，2，？，mAm0);。C,1mn,n必修四一、三角函数180,,,'180,,l,|,|r1、弧度制:(1)、弧度，1弧度;弧长公式:(为,(),5718l,r所对的弧长，为半径，正负号的确定:逆时针为正，顺时针为负)。,2、三角函数:(1)、定义:yxyx,,,,sin,cos,tan,cot,rrxy3、特殊角的三角函数值:的角度0:30:45:60:90:120:135:150:180:270:360:,,5,,,,,,,233,的弧度2,0,64323426112332sin,000,11222222112323cos,,00,,,11122222233tan,—0—00,,113,333,sin22sin,，cos,,14、同角三角函数基本关系式:tan,cot,,1,tan,cos,5、诱导公式:(众变横不变，符号看象限)正弦上为正;余弦右为正;正切一三为正。,,sin(,),,sin,,cos(,),cos,,tan(,),,tancot(,,),,cot,10态度决定人生，细节决定成败～开阳二中高二(1)班的每一位同学加油～～,,,,sin(90:，),cossin(180:，),,sin,,,,cos(90:，),,sincos(180:，),,cos,,,,tan(90:，),,cottan(180:，),tan,,,,cot(90:，,,tancot(180:，),cot,,,,sin(90:,),cossin(180:,),sin,,,,cos(90:,),sincos(180:,),,cos,,,,tan(90:,),cottan(180:,),,tancot(90:,,),tan,cot(180:,,),,cot,,,,,sin(270:，),,cossin(360:，),sin,,,,cos(270:，),sincos(360:，),cos,,,,tan(270:，),,cottan(360:，),tan,,,,cot(270:，),,tancot(360:，),cot,,,,sin(270:,),,cossin(360:,),,sin,,,,cos(270:,),,sinscos(360:,),cos,,,,tan(270:,),cottan(360:,),,tancot(270:,,),tan,cot(360:,,),,cot,6、两角和与差的正弦、余弦、正切:sin(,，,),sin,cos,，cos,sin,S:(,，,)sin(,,,),sin,cos,,cos,sin,S:(,,,)cos(a，,),cos,cos,,sin,sin,C:(,，,)cos(a,,),cos,cos,，sin,sin,C:(,,,)tan,，tan,,,tan,tanTT::tan(,，,),,,tan(,),(,，,)(,,,)1，tan,tan,1,tan,tan,tan,tan,tan,tan,,,,,1,1，tan+tan=tan(+)()tan-tan=tan(-)(),,,,,,ab227、辅助角公式:,,asinx，bcosx,a，bsinx，cosx,,2222a，ba，b,,2222,a，b(sinx,cos,，cosx,sin,),a，b,sin(x，,)sin2,,2sin,cos,8、二倍角公式:(1)、:S2,2222cos2,,cos,,sin,,1,2sin,,2cos,,1:C2,11态度决定人生，细节决定成败～开阳二中高二(1)班的每一位同学加油～～,2tan,:tan2,T2,21,tan,(2)、降次公式:(多用于研究性质)1cos211,1,2sincos2sin,cos,,sin2,,,,,,，22221cos211,，2coscos2,,,,，222y,sin,,y,cos,,y,tan,,y,cot,四个三角函数中只有是偶函数，9、在y,cos,其它三个是寄函数。(指数函数、对数函数是非寄非偶函数)10、在三角函数中求最值(最大值、最小值);求最小正周期;求单调性(单调第增区间、单调第减区间);求对称轴;求对称中心点都要将原函数化成标准型;,,y,Asin(x，)，b,,y,Acos(x，)，b如:再求解。,,y,Atan(x，)，by,Acot(,x，,)，b11、三角函数的图象与性质:函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义RR域,{x|x,k，,k,Z},2值域R[,1,1][,1,1]奇偶奇函数偶函数奇函数性,2,2,周期性在[2k,,,,2k,](k,Z)在,,在(k,Z)[2,2]kk,，,,上是增函数,,22(k,Z)(k,,k，),,在[2,2]kk,,,，(k,Z)22上是增函数单调在上是减函数上是增函数性,,3(k,Z)，，[2,2]kk,,22上是减函数12态度决定人生，细节决定成败～开阳二中高二(1)班的每一位同学加油～～时，当x,2k,,k,Z,时，当x,，2k,,k,Z2y,1max无y,1max当时，x,(2k，1),,k,Z最值,当时，x,,，2k,,k,Zy,,1min2y,,1min,(k,,0)(k,,0)对称中心，，对称中心k,Zk,Z，对称中心(k，,0),2对称对称轴:无,k,Z(k,Z)对称轴:x,k，性,2(k,Z)对称轴:x,k,12(函数的图象:，，y,Asin,x，,(1)用“图象变换法”作图yx,sinyAx,，sin(),,由函数的图象通过变换得到的图象，有两种主要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。法一:先平移后伸缩向左或向右()(),,,,00yxyx,,,sinsin(),,,,,,,,，,平移个单位||,纵坐标变为原来的倍A,,,,,,,,,,，yAxsin(),,横坐标不变向左或向右()(),,,,00yxyx,,,sinsin(),,,,,,,,，,平移个单位||,，1横坐标变为原来的倍,,,,,,,,,,,，yxsin(),,纵坐标不变法二:先伸缩后平移1横坐标变为原来的倍向左或向右()(),,,,00,yx,,,sin,,,,,,,yxyx,,,sinsin(),,,,,,,,,,,，纵坐标不变,平移个单位||纵坐标变为原来的倍A,,,,,,,,,,,，yAxsin(),,横坐标不变yAx,，sin(),,x,，,[)0，,,0当函数(A>0，，)表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅;往复振动一次,,212所需要的时间，它叫做振动的周期;单位时间内往复振动的次数，它T,f,,,,T,,x，,叫做振动的频率;叫做相位，叫做初相(即当x,0时的相位)。二、平面向量1、平面向量的概念:13态度决定人生，细节决定成败～开阳二中高二(1)班的每一位同学加油～～在平面内，具有大小和方向的量称为平面向量(1，，向量可用一条有向线段来表示(有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示2，，向量的方向(,,3向量的大小称为向量的模(或长度)，记作(,,，，4模(或长度)为的向量称为零向量;模为的向量称为单位向量(10，，5与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作(,aaa，，6方向相同且模相等的向量称为相等向量(，，2、实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么,,,,,(1)结合律:λ(μ)=(λμ);(2)第一分配律:(λ+μ)=λ+μ;aaaaa,,,,(3)第二分配律:λ()=λ+λ.aa，bb,,,,3、向量的数量积的运算律:(1)?=?(交换律);aabb,,,,,,,,,,,,,,,ccc(2)()?=(?)=?=?();(3)()?=?+?.,,,,aaaaabbbba，bb4、平面向量基本定理:,,如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只ee12,,,有一对实数λ、λ，使得=λ+λ(aee121212,,不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(ee12,,,,5、坐标运算:(1)设，则，，，，a,x,y,b,x,y，，a,b,x,x,y,y11221212,,,数与向量的积:λ，数量积:，，，，a,,x,y,,x,,ya,b,xx，yy11111212,(2)、设A、B两点的坐标分别为(x，y)，(x，y)，则.(终点，，AB,x,x,y,y11222121减起点)22||ABABAB,,6、平面两点间的距离公式:(1)d=,,，,()()xxyyAB,2121222|a|,a,a(2)向量的模||:;,x，yaa,,,,,,,,0,a,00,a,0a，(,a),0(3)、平面向量的数量积:，注意:，，a,b,a,bcos,,,xxyy，1212,(4)、向量的夹角，则，，，，，a,x,y,b,x,ycos,,11222222,,xyxy，，1122()，，，，a,x,y,b,x,y1122,,,,,,(,,R)a//b,a,,ba//b,7、重要结论:(1)、两个向量平行:，xy,xy,01221,,(2)、两个非零向量垂直a,b,xx，yy,01212PP,,PP(3)、P分有向线段的:设P(x，y)，P(x，y)，P(x，y)，且，PP1112221212xx，,xx，,12,12x,x,,,,21,，,,则定比分点坐标公式中点坐标公式,yy，yy，,,1212y,,y,,,21,，,,14态度决定人生，细节决定成败～开阳二中高二(1)班的每一位同学加油～～三、空间向量1、空间向量的概念:(空间向量与平面向量相似)在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量(1，，2向量可用一条有向线段来表示(有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示，，向量的方向(,,3向量的大小称为向量的模(或长度)，记作(,,，，4模(或长度)为的向量称为零向量;模为的向量称为单位向量(10，，5与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作(,aaa，，6方向相同且模相等的向量称为相等向量(，，2、实数,与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算(当时，与a,a,,0,a方向相同;当时，与方向相反;当时，为零向量，记为(的a,,0,aa,,0,a,a0,长度是的长度的倍(a3、设,，为实数，，是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律(,ab,,,,aa,分配律:;结合律:(,,,abab，,，，，，，，，4、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线(5、向量共线的充要条件:对于空间任意两个向量a，，的充要条件是存在bb,0ab//，，实数,，使(ab,,6、平行于同一个平面的向量称为共面向量(7、向量共面定理:空间一点,位于平面,,C内的充要条件是存在有序实数对，y，使x;或对空间任一定点,，有;或若四点,，,,,,,，,xyC,,,,,，,,，,xyC,,,,,，,,，,，，,xyzCxyz1,,C，，共面，则(，，a,，,,,8、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，，则称为b,,,a,,,b，，,ab,0,,a向量，的夹角，记作(两个向量夹角的取值范围是:(，，ab,b,,,aa9、对于两个非零向量和，若，则向量，互相垂直，记作(，，,ab,bbab,215态度决定人生，细节决定成败～开阳二中高二(1)班的每一位同学加油～～10、已知两个非零向量和，则称为，的数量积，记作(即aaababcos,，，bbab,(零向量与任何向量的数量积为(0ababab,,，，cos,11、等于的长度a与在的方向上的投影的乘积(aababcos,，，ab,b12、若，为非零向量，为单位向量，则有1eaaeaae,,,,，，cos,;aeb，，,abab与同向，，2,aaa,,aaa,,2;3，，;abab,,,,0ab,,，，，，,,abab与反向,，，,ab,cos,，，,ab4(，，ab1213、量数乘积的运算律:;;,,,ababab,,,,,abba,,,，，，，，，，，，，3(abcacbc，,,,，,，，，，p14、空间向量基本定理:若三个向量，，不共面，则对空间任一向量，存在实数acbxyz,,组，使得(pxaybzc,，，,,15、三个向量a，，c不共面，则所有空间向量组成的集合是b(这个集合可看作是由向量a，，c生成的，ppxaybzcxyzR,，，,,,,b,,称为空间的一个基底，a，，c称为基向量(空间任意三个不共面的向量都abc,,b,,可以构成空间的一个基底(eee16、设，，为有公共起点,的三个两两垂直的单位向量(称它们为单位正交基底)，123eeeeee,y以，，的公共起点为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的zx123123,xyzp正方向建立空间直角坐标系(则对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，xyz,,使它的起点与原点,重合，得到向量(存在有序实数组，使得,,,p,,ppxeyeze,，，eeey(把，，称作向量在单位正交基底，，下的坐标，zx123123p,xyzpxyz,,,,记作(此时，向量的坐标是点在空间直角坐标系中的坐标，，xyz,,(，，16态度决定人生，细节决定成败～开阳二中高二(1)班的每一位同学加油～～bxyz,,,abxxyyzz，,，，，,,17、设，，则(axyz,,,1，，，，，，，，222121212111abxxyyzz,,,,,,,(2，，，，1212123,,,,axyz,,,(，，，，1114abxxyyzz,,，，(，，1212125若、为非零向量，则ababxxyyzz,,,,,，，,00(ab，，1212126若，则(ababxxyyzz//,,,,,,,,,,,,b,0，，1212122227(aaaxyz,,,，，，，111xxyyzz，，ab,121212cos,，，,,ab8(，，222222abxyzxyz，，,，，1112222229,xyz,,,,xyz,,，，则dxxyyzz,,,,,，,，,(，，，，，，，，，，，，111222,,21212118、若空间不重合两条直线，的方向向量分别为，，则baababab////,,abR,,,,，异面垂直时(ababab,,,,,,0，，,19、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为，，则a,,////,,ab,b，(,,,,,,,,abab0ab,,20、直线l垂直，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面的法向量(,,21、法向量的定义:垂直于平面或者垂直于线的向量(方向不管)。22、若直线的方向向量为a，平面的法向量为n，且，则aa////,,,a,,a,,,,,,anan0，aaanan,,,,,,,,,//(?法向量的计算,,方法一:已知,设面平ABCAB,(x,y,z)，AC,(x,y,z)111222,,,,,,n,(x,y,z)的一个法向量为，由?面ABC得所以:;nn,AB,n,AC,,所以n,AB,0,,n,AC,0即xx，yy，zz,0111xx，yy，zz,022217态度决定人生，细节决定成败～开阳二中高二(1)班的每一位同学加油～～上面两个方程，要解三个未知数，为了计算方便，取z(或x或y)等于一个数，可求出另两个未知数，得出平面的一个法向量。,,方法二:若，则平面ABC的一AB,(x,y,z)，AC,(x,y,z)111222个法向量为:yzzxxy111111,,,()n,AB，AC,yz，zx，xy222222=(yz-yz，zx-zx，xy-xy)122112211221立体几何中的向量方法P,------距离问题一、求点到平面的距离1((一般)传统方法:利用定义先作出过这个点到平面的垂线段，O,再计算这个垂线段的长度;2(还可以用等积法求距离;3(向量法求点到平面的距离.P,在中，Rt,PAOddnsin,,,d,|AP|sin,|AP|,AO,|AP,n|又sin,,|AP||n|lP,d|AP,n|n？d,(其中为斜向量，为法向量)APn,|n|AO,二、直线到平面的距离转化为点到线的距离:|AP,n|P,d,(其中为斜向量，为法向量)APn|n|dn三、平面到平面的距离,A也是转化为点到线的距离:O,|AP,n|d,(其中为斜向量，为法向量)APnPa,|n|nd四、异面直线的距离b如图，异面直线也是转化为点到线的距离:A,18态度决定人生，细节决定成败～开阳二中高二(1)班的每一位同学加油～～|AP,n|d,|n|(其中为两条异面直线上各取一点组成的向量，是与都垂直的向量)a,bAPn例1(如图，在正方体中，棱长为1，E为的中点，求下列问题:ABCD,ABCDCD111111(1)求到面的距离;ABEB11D,xyz解:如图，建立空间直角坐标系，则1，设为面的法向量n,(x,y,z)？AE,(,1,,0),AB,(0,1,,1),ABE1112z1,,n,AE,0,x，y,0,,1ED,则1C2,,1,n,AB,0,A1,y,z,01B,1CDy,2,z,2取，得，？n,(1,2,2)x,1yABx选点到面的斜向量为AB,(0,1,0)BABE1111||AB,n2z11得点到面的距离为d,,ABEB113||nED1C1A1(2)求到面的距离;ABEDCB111CD解:由(1)知平面ABE的法向量n,(1,2,2)y1ABx斜向量DA,(1,0,0)11||1DA,nz11？点D到面ABE的距离为d,,113nED1C1A(3)求面与面的距离;ADBDCB1111B1CD解:由图知平面ABD的法向量为n,AC,(,1,1,1)11yABx又斜向量DA,(1,0,0)11||1DA,n11？点D到面ABD的距离为d,,113n3即面ABD与DCB的距离为111319态度决定人生，细节决定成败～开阳二中高二(1)班的每一位同学加油～～z(4)求异面直线与的距离.DBAE11ED1C1解:如图建立空间直角坐标系D,xyzA1B11则DBAE(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,,1)112C1D？AE,(,1,,0),DB,(1,1,,1)y112ABx都垂直的向量，则设n,(x,y,z)是与AE,DB11,n,AE,0y,2x,,1,，取，得一个法向量为x,1n,(1,2,3),,z,3x,,n,DB,01,选的两点向量DA,(1,0,0)AE与BD1111||DA,n1411得的距离为d,,AE与BD1114||n练习1:1(如图在直三棱柱中，,，，求点AC,BC,1，ACB,90:AA,2ABC,ABCB11111到面的距离.ABC1C1AB11CAB2(已知棱长为1的正方体，求平面和平面间的距离ABCD,ABCDDACABC1111111D1C1A1B1CDAB3(已知棱长为1的正方体，求直线和AC间的距离。ABCD,ABCDDA1111120态度决定人生，细节决定成败～开阳二中高二(1)班的每一位同学加油～～DC11A1B1CDAB中，E、F分别是和的中点，求4(已知棱长为1的正方体ABCD,ABCDBCCD11111111点到平面DBEF的距离。A15(如图在直三棱柱中，AC,BC,CA,1，，求点到面AA,2ABC,ABCABCB111111的距离.:，,A906(在直三棱柱ABCABC,中，，OOG,,111121态度决定人生，细节决定成败～开阳二中高二(1)班的每一位同学加油～～分别为的中点，且(BCBCAA,,ABACAA,,,211112(,)求到面的距离;()OACB111226(,)求到面的距离(()BCGBC113立体几何中的向量方法------空间角问题空间的角主要有:异面直线所成的角;直线和平面所成的角;二面角((,)求异面直线所成的角设、分别为异面直线a、b的方向向量,则两异abab面直线所成的角=arccos||,||||ab(,)求线面角设是斜线l的方向向量，是平面的法向量，,lnln则斜线l与平面所成的角=arcsin||,,||||ln(,)求二面角,法一、在内,l，在内,l，其方向如图，则二,abab,,,,l面角的平面角=arccos,||||ab,,,,lnn,,法二、设是二面角的两个半平面的法向量，其方向一个12,,,,l指向内侧，另一个指向外侧，则二面角的平面角22态度决定人生，细节决定成败～开阳二中高二(1)班的每一位同学加油～～nn12=arccos,||||nn12例,(如图，在棱长为,的正方体ABCDABCD,1111中，E、F分别是棱的中点(ADAB,1111(?)求异面直线所成的角;DEFC与1(II)求和面EFBD所成的角;BC1(III)求到面EFBD的距离B1解:(?)记异面直线所成的角为，DEFC与,1则等于向量DEFC与的夹角或其补角，,1DEFC1？,cos||,||||DEFC1DDDEFBBC()()，，11111,||DEFC||||1,222,,？,||,arccos,5555Dxyz,(II)如图建立空间坐标系，则，DE,(1,0,2)DB,(2,2,0),DEn,,0,EFBD设面的法向量为由nxy,(,,1),DBn,,0,,BC,,(2,0,2)得又n,,(2,2,1)1