高二数学必修二第四章圆与圆的方程知识点总结

高二数学必修二第四章圆与圆的方程知识点总结第四章圆与方程?1、圆的定义:平面设M(x,y)为?A上任意一点，则圆的集合可以写作:P={M||MA|=r}?2、圆的方程(1点M(x0,y0)与圆的位置关系:当，点在圆外;当，点在圆上当)<r，点在圆(x+D/2)+(y+E/2)=(D+E-4F)/4()，半径为当时，方程表示圆，此时圆心为当时，表示一个点;当时，方程不表示任何图形。(3)求圆的方程的方法:待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r;若利用一般方程，需要求出D，E，F;直接法:直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。2222另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。?3、直线与圆的位置关系:直线与圆的位置关系有三种情况:(1)设直线，圆，圆心到l的距离为与C相离;与C相切;与C相交(2)过圆外一点的切线k，?若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线;接下来验证过该点的斜率不存在的直线(此时，该直线一定为另一条切线):圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为第1页共6页?4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。设圆，两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差的绝对值)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。(即几何法)注意:已知圆上两点，圆心必在中垂线上;已知两圆相切，两圆心与切点共线?5、.圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0联立圆C1的方程与圆C2的方程得到一个二元一次方程?若两圆相交，则该二元一次方程表示:圆C1与圆C2公共弦所在的直线方程;?若两圆相切，则该二元一次方程表示:圆C1与圆C2的公切线的方程;?若两圆外离，则该二元一次方程表示的直线具有一个性质:从直线上任意一点向两个圆引切线，得到的切线长相等(反之，亦成立)?6、已知一直线与圆相交，求弦的长度?代数法:联立圆与直线的方程求出交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长?几何法:半弦长、弦心距、半径构成直角三角形(勾股定理)?代数法:直线方程与圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程;利用弦长公式:|,,|,,1-,2|(或者|,,|,-y2|)求解k?7、已知两圆相交，求公共弦的长度?代数法:联立两圆的方程求出交点坐标;利用两点间的距离公式求弦长?代数法:联立两圆的方程求出公共弦所在直线的方程(设公共弦的端点分别为A、B);公共弦直线方程与任一圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程;利用弦长公式:|,,|,,1-,2|(或者|,,|,-y2|)求解k?几何法:半弦长、弦心距、半径构成直角三角形(勾股定理)?几何法:根据图像求解(两个直角三角形，两个未知数，解二元一次方程组)?8、圆系与圆系方程(1)圆系:具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。(2)圆系方程:(一).圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ?-1)--(?)?若圆C1与圆C2交于P1、P2点，那么，方程(?)代表过P1、P2两点的圆的方程。?若圆C1与圆C2交于,点(一个点)，则方程(?)代表与圆,1、圆,2相切于,点的圆的方程。0与圆,:x2+y2+Dx+Ey+F=0相交或相切(二).直线,:,,+,,+,,则过它们的交点的圆系方程为:x2+y2+Dx+Ey+F+λ(,,+,,+,),0?9、直线与圆的方程的应用用坐标法解决平面几何问题的“三部曲”:第一步:建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题;第二步:通过代数运算，解决代数问题;第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论第2页共6页轴对称例1、已知点A(4,1)，B(0,4)，在直线L:y=3x-1上找一点P，求使|PA|-|PB|最大时P的坐标。解:如图，，，设点C(x,y)是点B关于直线L对称点，则由1得:1方程为:，将其与直线y=3x-1联立，3?直线BC的解得:其中D为BC中点，利用中点坐标公式，得C(3,3)。显然:|PA|-|PB|,|PA|-|PC|?|AC|,当且仅当A、C、P三点共线时，|PA|-|PB|最大。可求得:直线AC方程为:，与L方程联立解得P的坐标为(2,5)。例2、光线由点C(3，3)出发射到直线L:y=3x-1上，已知其被直线L反射后经过点A(4,1)，求反射光线方程。解:设点B是点C关于L的对称点，则由光线反射的知识易知:点B在反射光线上，故所求的反射光线的方程即为直线AB所在的直线方程。3由例1知点C关于L的对称点为B(0,4)，故直线AB的方程易求得为:。4它即为反射光线方程。直线和圆1(自点(,3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆相切，求光线L所在直线方程(解:已知圆的标准方程是(x,2)2，(y,2)2,1，它关于x轴的对称圆的方程是(x,2)2，(y，2)2,1。设光线L所在直线方程是:y,3,k(x，3)。由题设知对称圆的圆心C′(2，,2)到这条直线的距离等于1，即(第3页共6页34整理得解得或(故所求的直线方程是43，或，即3x，4y,3,0，或4x，3y，3,0(43，是否存在斜率为1的直线L，使以L被圆C截2(已知圆C:得的弦AB为直径的圆过原点，若存在求出直线L的方程，若不存在说明理由((14分)解:圆C化成标准方程为的坐标为(a，b)假设存在以AB为直径的圆M，圆心M由于CM?L，?,1?，即a+b+1=0，得b=,a,1?直线L的方程为y,b=x,,，即x,y+b,a=0??以AB为直径的圆M过原点，?，??把?代入?得，?或当时此时直线L的方程为:x,y,4=0;当时此时直线L的方程22为:x,y+1=0故这样的直线L是存在的，方程为x,y,4=0或x,y+1=0(4(已知圆及直线(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交;(2)求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程(解:(1)直线方程可以改写为所以直线必经过直线和的交点.由方程组解得即两直线的交点为A(3,1)又因为点与圆心的距离所以该点在C得的最短弦长.此时即最短弦长为45.第4页共6页又直线AC的斜率2,所以直线BD的斜率为2.此时直线方程为即5(12分)已知圆x2+y2+x,6y+m=0和直线x+2y,3=0交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值(解:由又OP?OQ，?x1x2+y1y2=0,而x1x2=9,?解得m=3556.已知圆C:(x+4)2+y2=4和点A(-23，0)，圆D的圆心在y轴上移动，且恒与圆C外切，设圆D与y轴交于点M、N.?MAN是否为定值,若为定值，求出?MAN的弧度数;若不为定值，说明理由.【解】设圆D的方程为那么因为圆D与圆C外切,所以又直线MA,NA的斜率分别为2.为定值夹角问题例5(06全国卷一文)从圆外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为()第5页共6页(A)313(B)(C