中考考前模拟考试《数学试卷》含答案解析

中考模拟测试数学卷

学校.班级姓名成绩

一、选择题

1.-2的倒数是（)

1

A.2C.一D.——

22

2.今年3月12日,支付宝蚂蚊森林宣布2019春种正式开启，称“春天，是种出来的”4亿人通过蚂蚁森林

在地球上种下了5500万棵真树，总面积超过76万亩，大约相当于7.6万个足球场,数据“5500万”用科学

记数法表示为（）

A.5500xlO4B.55xKFC.55xl()6D.5.5xl07

3.如图是正方体的表面展开图，请问展开前与“我”字相对的面上的字是)

我们是

好朋友

A.B.好C.朋D.友

4.下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A.圆B.菱形C.平行四边形D.等腰三角形

5.若二次根式在实数范围内有意义，则X的取值范围是（)

A.x〉3B.xw3C.x>3D.x>0

6.为参加学校举办“诗意校园•致远方’'朗诵艺术大赛，八年级“屈原读书社”组织了五次选拔赛，这五次选

拔赛中，小明五次成绩的平均数是90,方差是2：小强五次成绩的平均数也是90,方差是14.8.下列说法

正确的是（）

A.小明的成绩比小强稳定

B.小明、小强两人成绩一样稳定

小强的成绩比小明稳定

D.无法确定小明、小强的成绩谁更稳定

7.在平行四边形ABC。中，若N5AT）,NC4。的角平分线交于点E,则AAE。的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

8.衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树

品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则

原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为X万千克，根据题意，列方程为（）

303603030，八

A.--------=10B.--------=10

x1.5%x1.5%

3630,八3036，八

C.--------=10D.—+——=10

1.5xxx1.5%

1k

9.如图，点A,B在反比例函数y=—（x>0）图象上，点C,D在反比例函数y=—（左>0）的图象上,

Xx

3

AC〃BD〃y轴，已知点A,B的横坐标分别为1,2,AOAC与AABD的面积之和为彳，则k的值为（）

3

A.4B.3C.2D.-

2

1,45

10.如图，抛物线y=5x2-7x+；■与X轴交于点A、B,把抛物线在X轴及其下方部分记作C1,将C|

向左平移得到C2，C?与X轴交于点B、D,若直线y=gx+m与C「C2共有3个不同的交点，则m的

295451

C.---<m<——D.---<m<——

8282

二、填空题

11.-^4——=.

12.在平面直角坐标系中，点尸（-3,-5）关于轴对称的点的坐标是

13.一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、3、4.随机抽取一张卡片，然后

放回，再随机抽取一张卡片,则两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率是—

14.如图，RtAABC,NB=90°,ZC=30°,0为AC上一点，0A=2,以0为圆心，以0A为半径的圆与CB相

切于点E,与AB相交于点F,连接OE、OF,则图中阴影部分的面积是—

15.如图，在菱形ABCD中，ZB=60°,AB=2,M为边AB的中点，N为边BC上一动点（不与点B重合）,

将4BMN沿直线MN折叠，使点B落在点E处，连接DE、CE,当4CDE为等腰三角形时，BN的长为.

三、解答题

1V2_6r+Q

16.先化简，再求值：(1—-—)-■其中x=4cos300+3

x-22x-4

17.学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机

调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表

学生借阅图书的次数

借阅图书次

。次1次2次3次4次及以上

数

人数713a103

学生借阅图书的次数统计表

4次

请你根据统计图表的信息，解答下列问题:

（1）a-；b=

（2）该调查统计数据的中位数是次

（3）扇形统计图中，“3次”所对应的扇形圆心角度数是；

（4）若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次以上”的人数

18.如图，A4BC是半径为4的。的内接三角形，连接。4、OB,点。、E、F、G分别是

C4、04、OB、的中点.

（1）试判断四边形OEFG的形状，并说明理由；

（2）填空：①若48=6,当C4=CB时，四边形。EFG的面积是：②若A8=4,当NCA8

的度数为时，四边形DEFG是正方形.

19.北京华联商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯，如图所示，已

知原阶梯式自动扶梯A3长为7m,坡角NAB。为45°，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角NAC8为15°，改

造后的斜坡式自动扶梯水平距离增加了BC,请你计算BC的长度.（结果精确到0.1m,参考数据：

sin15«0.26,cos15«0.97,tan15°«0.27,A/2«1.41

k

20.如图，在平面直角坐标系中，一次函数％=ax+b的图象与反比例函数丫2=［的图象交于点A（l,2）和

B（-2,m）.

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）请直接写出力>丫2时，X的取值范围；

（3）过点B作BE//x轴，ADJ.BE于点D,点C是直线BE上一点，若AC=2CD,求点C的坐标.

21.襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段.贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质

水果蓝莓，今年正式上市销售.在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施,

以后每天比前一天多卖出4千克.第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为

mx-76zn（l<x<20»x为整数）

<〃（20<X<30x为整数）且第12天的售价为32元/千克'第26天的售价为25元/千克.已知种

植销售蓝莓的成木是18元/千克，每天的利润是W元（利润=销售收入-成本）.

（1）m=，n=；

（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？

（3）在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？

22.在RrA48c中，NACB=90°,AB=J7,AC=2，过点8作直线机//AC,将A48c绕点C顺时针旋

转得到AA'B'C（点A8的对应点分别是A,9）,射线CA,C8'分别交直线相于点P,。.

（1）问题发现：如图1所示，若P与A'重合，则NACA的度数为

（2）类比探究：如图2,所示，设A'B'与的交点为M,当M为AB'中点时，求线段PQ的长；

（3）拓展延伸：在旋转过程中，当点P,。分别在CA,C8'的延长线上时，试探究四边形PA8'。的面积是

否存在最小值，若存在，直接写出四边形PA8'。的最小面积；若不存在，请说明理由

23.如图1所示，抛物线y=—f+bx+c与x轴交于点A(-1,O),B两点，与y轴交于点C(0,3),直线

3

y=-：x+m经过点C，与抛物线另一个交点为。，点P是抛物线上的一个动点，过尸点作P/7_Lx轴于点

4

F,交直线C。于点E

(1)求抛物线的解析式

(2)当点P在直线CO上方，且ACPE是以CE为腰的等腰三角形时，求尸的坐标

(3)如图2所示，若点P为对称轴右侧抛物线上一点，连接BP,以P为直角顶点，线段8P为较长直角

边，构造两直角边比为1:2的RfABPG,是否存在点P,使点G恰好落在直线y=x上？若存在，请直接

写出相应点P的横坐标；若不存在，请说明理由.

图I图2

答案与解析

一、选择题

1.-2的倒数是（）

A.2B.|-2|C.-D.--

1122

【答案】D

【解析】

【分析】

求一个数的倒数，即1除以这个数.根据倒数的定义求解即可.

【详解】一2的倒数:1+（-2）

2

故答案选D.

【点睛】本题考查的是倒数的定义，即如果两个数的乘积等于1,那么这两个数互为倒数.也可利用分子分

母交换位置来求一个数的倒数.

2.今年3月12日，支付宝蚂蚁森林宣布2019春种正式开启，称“春天，是种出来的”4亿人通过蚂蚁森林

在地球上种下了5500万棵真树，总面积超过76万亩，大约相当于7.6万个足球场，数据“5500万”用科学

记数法表示为（）

A.5500X104B.55xl06c.55xl06D.5.5x10?

【答案】D

【解析】

【分析】

对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成的形式，其中14时＜10,〃是比原整数位数少1的

数.

【详解】550075=55000000=5.5xlO7.

故选D.

【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为“X10"的形式，其中"

为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

3.如图是正方体的表面展开图，请问展开前与“我”字相对的面上的字是（)

我们是

好朋友

A.是B.好C.朋D.友

【答案】A

【解析】

【分析】

正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答.

【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，

“我”与“是”是相对面，

“们”与“朋”是相对面,

“好”与“友”是相对面.

故选A.

【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解

答问题.

4.下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A.圆B.菱形C.平行四边形D.等腰三角形

【答案】D

【解析】

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可.

【详解】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确，

故选D.

【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.辨别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

沿对称轴折叠后可重合；.辨别中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

5.若二次根式在实数范围内有意义，则X的取值范围是（）

A.x>3B.x*3C.X>3D.x>0

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据二次根式有意义的条件是被开方式大于等于0,列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可.

【详解】解：•••二次根式J三在实数范围内有意义，

...x-320,解得疟3.

故选C.

【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0.

6.为参加学校举办的“诗意校园•致远方''朗诵艺术大赛，八年级“屈原读书社”组织了五次选拔赛，这五次选

拔赛中，小明五次成绩的平均数是90,方差是2；小强五次成绩的平均数也是90,方差是14.8.下列说法

正确的是（）

A.小明的成绩比小强稳定

B.小明、小强两人成绩一样稳定

C.小强的成绩比小明稳定

D.无法确定小明、小强的成绩谁更稳定

【答案】A

【解析】

【分析】

方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，

则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.

【详解】；小明五次成绩的平均数是90,方差是2；小强五次成绩的平均数也是90,方差是14.8.

平均成绩一样，小明的方差小，成绩稳定，

故选A.

【点睛】本题考查方差、平均数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题.

错因分析容易题.失分原因是方差的意义掌握不牢.

7.在平行四边形A6CO中，若N84D,NC4£>的角平分线交于点E,则“瓦）的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

【答案】B

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质可证NBAD+/ADC=180。，结合角平分线的定义可证/EAD+/ADE=90。，进而可判

断A4E。的形状.

【详解】解：如图，

•..四边形ABCD是平行四边形，

.*.AB//CD,

.\ZBAD+ZADC=180o,

II

ZEAD=-ZBAD,ZADE=-ZADC,

22

I

ZEAD+ZADE=y(ZBAD+ZADC)=90°,

.\ZE=90o,

.,.△ADE是直角三角形，

故选：B.

【点睛】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、以及三角形的分类等知识，解题的关键是灵活运

用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

8.衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树

品种，改良后平均每亩产量是原来的L5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则

原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为X万千克，根据题意，列方程为()

30363030

A.=10B.=10

X1.5xX1.5x

36303036

C.=10D.—十=10

1.5xXX1.5x

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数-改良后种植的亩数=10亩，根据等量关系列出方程即可.

【详解】设原计划每亩平均产量尤万千克，则改良后平均每亩产量为L5x万千克,

2八QA

根据题意列方程为：---=10.

x1.5%

故选A.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系.

Ik

9.如图，点A,B在反比例函数y=—(龙〉0)的图象上，点C,D在反比例函数y=—(&〉0)的图象上,

xx

3

AC//BD//y轴，已知点A,B的横坐标分别为1,2,AOAC与4ABD的面积之和为万，则k的值为()

3

A.4B.3C.2D.-

2

【答案】B

【解析】

【分析】

首先根据A,B两点的横坐标，求出A,B两点的坐标，进而根据AC//BD〃y轴，及反比例函数图像上的点的坐

标特点得出C,D两点的坐标，从而得出AC,BD的长，根据三角形的面积公式表示出SAOACSAABD的面积，

3

再根据aOAC与4ABD的面积之和为一，列出方程，求解得出答案.

2

【详解】把x=l代入y=，得：y=l,

X

・・・A(1,1),把x=2代入y=，得：y=g,

x2

1

B(2,—),

・・・AC//BD〃y轴，

k

・・・C(1,K),D(2,5)

k1

AAC=k-l,BD=-

22

**«SAOAC=~(k-1)xl,

2

1k1

SAABD=­(yy)XL

3

XVAOAC与4ABD的面积之和为一，

2

,1,、,1k13-

•■—（k-1）x1（--一）x1=—,解得：k—3;

22222

故答案为B.

【点睛】：此题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比

例函数k的几何意义是解本题的关键.

10.如图，抛物线y=gx2-7x+^与x轴交于点A、B,把抛物线在x轴及其下方的部分记作C-将C1

向左平移得到C2,C2与x轴交于点B、D,若直线y=gx+m与C?共有3个不同的交点，则m的

295451

C.---<m<—D.---<m<—

8282

【答案】C

【解析】

分析】

先求出点A和点B的坐标，然后再求出C2的解析式，分别求出直线y=gx+m与抛物线C2相切时m的

值以及直线y=gx+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案.

1,45

【详解】抛物线y=-x2-7x+一与X轴交于点A、B,

22

12r45

..一x—7xH=0>

22

X|=5,X2=9,

.-.B（5,0）,A（9,0）

抛物线向左平移4个单位长度后的解析式y=5(x-3尸-2,

当直线y=]X+m过B点，有2个交点,

.八5

..0——Fm,

2

5

m

2

当直线y=gx+m与抛物线C2相切时•，有2个交点,

—x+rn=—（X—3）2—2,

x2—7x+5—2m=0，

相切，

=49—20+8m=0,

如图,

若直线y=；x+m与C?共有3个不同的交点，

295

-<m<——，

82

故选C.

【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点、二次函数图象的平移等知识，正确地画出图形，利用数形结合思

想是解答本题的关键.

二、填空题

口."七J=----------------------'

【答案】0

【解析】

【分析】

先计算4和的值再计算，计算顺序，先算乘方和开方，再算加减.

【详解】

=2-2

=0

【点睛】本题算术平方根和负指数基的求法，掌握47是解答本题的关键.

12.在平面直角坐标系中，点尸(-3,-5)关于)，轴对称的点的坐标是.

【答案】(3,—5)

【解析】

【分析】

根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解即可.

【详解】解：点P(-3,-5)关于y轴对称的点P的坐标为(3,-5).

故答案为(3,-5).

【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：

(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数.

13.一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、3、4.随机抽取一张卡片，然后

放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率是.

【答案二

【解析】

【分析】

画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次抽取的卡片上数字之和为偶数的结果数，然后根据概

率公式求解.

【详解】解：画树状图为：

123%

1234/IV./IV.

共有16种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上数字之和为偶数的结果数为8,偶数组合分别是(1,1)、

Q1

(1,3)、(2,2)、(2,4)、(3』)、(3,3)、(4,2)、(4,4),所以两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率为一=一，

162

故答案为

2

【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合

事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.

14.如图，RtAABC,NB=90°,ZC=300,0为AC上一点，0A=2,以0为圆心，以0A为半径的圆与CB相

切于点E,与AB相交于点F,连接OE、OF,则图中阴影部分的面积是

7/-4

【答案】—yj3-—n

23

【解析】

【分析】

根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案.

【详解】：/B=90°,ZC=30°,

•.ZA=60°,

；OA=OF,

•.△AOF是等边三角形，

\ZC0F=120°,

；OA=2,

•.扇形OGF面积为：12°工*4-）兀

3603

.,OA为半径的圆与CB相切于点E,

Z0EC=90°,

,.OC=2OE=4,

\AC=OC+OA=6,

•.AB」AC=3,

2

•.由勾股定理可知：BC=3V3

.二△ABC的面积为：二义

2

「△OAF的面积为：导2义后我，

••・阴影部分面积为：射弓-遥-箓与行.”

故答案为最.

【点睛】本题考查扇形面积公式，涉及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，扇形的面

积公式等知识，综合程度较高.

15.如图，在菱形ABCD中，ZB=60°,AB=2,M为边AB的中点，N为边BC上一动点（不与点B重合）,

将4BMN沿直线MN折叠，使点B落在点E处，连接DE、CE,当4CDE为等腰三角形时，BN的长为.

【分析】

分两种情况：①当DE=DC时，连接DM,作DGLBC于G,由菱形的性质得出AB=CD=BC=2,AD〃BC,

AB〃CD,得出NDCG=/B=60。，ZA=120°,DE=AD=2,求出DG=&CG=6，BG=BC+CG=3,由折叠

的性质得EN=BN,EM=BM=AM,ZMEN=ZB=60°,证明△ADM@Z\EDM,得出NA=/DEM=120°,证

出D、E、N三点共线，设BN=EN=xcm,贝ijGN=3-x,DN=x+2,在Rt^DGN中，由勾股定理得出方程，

解方程即可；②当CE=CD上，CE=CD=AD,此时点E与A重合，N与点C重合，CE=CD=DE=DA,ACDE

是等边三角形，BN=BC=2（含CE=DE这种情况）；

【详解】解：分两种情况：

①当DE=DC时，连接DM,作DGLBC于G,如图1所示：

•••四边形ABCD是菱形，

；.AB=CD=BC=2,AD〃BC,AB〃CD,

.../DCG=/B=60°,/A=120°,

；.DE=AD=2,

VDG±BC,

AZCDG=90°-60°=30°,

1

，CG=-CD=1,

2

：.DG=JjCG=y/j,BG=BC+CG=3,

；M为AB的中点，

.•.AM=BM=1,

由折叠的性质得：EN=BN,EM=BM=AM,ZMEN=ZB=60°,

在aADM和aEDM中，

AD=ED

<AM=EM,

DMDM

.,.△ADM0△EDM（SSS）,

.,.NA=NDEM=120°,

ZMEN+ZDEM=180°,

，D、E、N三点共线，

设BN=EN=x,则GN=3-x,DN=x+2,

2

在RtZ\DGN中，由勾股定理得：（3-x）2+（6）2=（x+2）,

,4

解得：x=g,

4

即BN=g,

②当CE=CD时，CE=CD=AD,此时点E与A重合，N与点C重合，如图2所示:

CE=CD=DE=DA,ACDE是等边三角形，BN=BC=2（含CE=DE这种情况）；

4

综上所述，当4CDE为等腰三角形时，线段BN的长为二或2：

4

故答案为：）或2.

【点睛】本题主要考查了折叠变换的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，掌握折叠

变换的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键.

三、解答题

1V2_6r4-9

16.先化简，再求值：(1—-—)^>其中x=4cos300+3

x-22x-4

【答案】三，立

x-33

【解析】

【分析】

先根据分式的运算法则把所给分式化简，再把x的值化简后代入计算.

X-32(%—2)2

【详解】解：：原式=

(尤-3『x—3

x=4cos30*+3=26+3>

•••原式=访区2T访2普JJ・

【点睛】本题考查了分式的化简求值、二次根式的除法、特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握各知识点

是解答本题的关键.

17.学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机

调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表

学生借阅图书的次数

借阅图书的次

0次1次2次3次4次及以上

数

人数713a103

学生借阅图书的次数统计表

请你根据统计图表的信息，解答下列问题：

(1)a=；b=

(2)该调查统计数据的中位数是次

(3)扇形统计图中，“3次”所对应的扇形圆心角度数是；

(4)若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次以上”的人数

【答案】(1)17,20；(2)2；(3)72°；(4)120

【解析】

【分析】

(1)先由1次的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他次数的人数求得a的值，用3次的人数

除以总人数求得b的值；

(2)根据中位数和众数的定义求解；

(3)用360。乘以“3次”对应的百分比即可得；

(4)用总人数乘以样本中“4次及以上”的人数所占比例即可得.

【详解】解：(1)•••被调查的总人数为被+26%=50人,

；.a=50-(7+13+10+3尸17,b%=^xl00%=20%,即b=20,

故答案为：17、20；

解析：被调查的总人数13+26%=50,。=50—(7+13+10+3)=17,

8%=?X100%=20%；

(2)由于共有50人，其中位数是第25,26个数据的平均数，而第25,26个数据均为2次，所以中位数是

2次；

故答案为:2；

(3)扇形统计图中“3次”所对应的圆心角度数为360°x20%=72°,

故答案为：72。；

3

(4)估计该校学生一周内借阅图书“4次以上”的人数2()()0x二=12()人.

【点睛】本题考查了统计表和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问

题的关键.扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.也考查了用样本估计总体的知识.

18.如图，A4BC是半径为4的。的内接三角形，连接。4、0B,点。、E、F、G分别是

C4、。4、OB、CB的中点.

(1)试判断四边形OEFG的形状，并说明理由；

(2)填空：①若AB=6,当C4=CB时，四边形OEFG的面积是；②若A8=4,当NC4B

的度数为时，四边形OEFG是正方形.

【答案】(1)四边形。EFG是平行四边形，见解析；(2)①6,②75。或15°.

【解析】

【分析】

(1)利用中位线性质，中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，只要证明DG=EF,DG〃EF即可解决

问题；

(2)①只要证明四边形DEFG是矩形即可解决问题；

②分点C在优弧AB或劣弧AB上两种情形讨论即可.

【详解】解：

⑴四边形DEFG是平行四边形.

♦.•点。、E、F.G分别是C4、。4、OB、的中点，

DG//AB,DG=-AB,EF//AB,EF=-AB,

22

DG//EF,DG=EF,

：.四边形DEFG是平行四边形;

(2)①连接OC,

•/CA=CB,

AC=BC

：.DGIOC,

•••AD=DC,AE=EO,

：.DE//OC,DE=-OC=2,同理=

22

/.DEIDG,

...四边形OEFG是矩形，

四边形DEFG的面积=EF・DE=3x2=6,故答案为6;

②当C是优弧A8的中点时，四边形OEFG是正方形，此时NC钻=75°，

当C是劣弧AB的中点时，四边形OER7是正方形，此时/C4B=15°，故答案为75。或15。.

【点睛】本题考查的是三角形的外接圆、正方形的性质和判定、三角形的中位线定理等知识，解题的关键

是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.

19.北京华联商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯，如图所示，已

知原阶梯式自动扶梯A8长为7m,坡角NAB。为45°，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角NACB为15°，改

造后的斜坡式自动扶梯水平距离增加了BC,请你计算BC的长度.(结果精确到0.1,〃，参考数据：

sin15°«0.26,cos15°«0.97,tan15°«0.27,x/2«1.41

【答案】改造后斜坡式自动扶梯水平距离增加长度为13.4米

【解析】

【分析】

根据正弦和余弦的定义求出AD,BD,根据正切的定义求出CD,结合图形计算可得出答案.

【详解】解：在R/A4BC中，NABO=45°,AB=7m,

75

：.AD=BD=AB-sinNABD=—®4.94m,

2

An

ZACD=15°,tanZACD=—,

CD

494

CD=18.30m,

0.27

BC=CD—BD=18.30-4.94=13.36«13.4m.

答：改造后斜坡式自动扶梯水平距离增加长度为13.4m.

【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，求出AD是解本题的关键.

20.如图，在平面直角坐标系中，一次函数％=ax+b的图象与反比例函数丫2=：的图象交于点A(l,2)和

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)请直接写出力>丫2时，X的取值范围；

(3)过点B作BE//X轴，ADJ.BE于点D,点C是直线BE上一点，若AC=2CD,求点C的坐标.

2

【答案】(1)反比例函数的解析式为丫2=不一次函数解析式为：％=x+l；⑵当-2<x<0或X>1时,

yi>丫2；(3)当点C的坐标为(1一6,一1)或+时，AC=2CD.

【解析】

【分析】

(1)利用待定系数法求出k,求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式：

(2)利用数形结合思想，观察直线在双曲线上方情况即可进行解答；

（3）根据直角三角形的性质得到NDAC=30。，根据正切的定义求出CD,分点C在点D的左侧、点C在点D

的右侧两种情况解答.

【详解】⑴点A（l,2）在反比例函数y2=K的图象上，

X

k=lx2=2,

反比例函数的解析式为y,=2,

X

2

点B（-2,m）在反比例函数丫？=一的图象上，

则点B的坐标为（一

a+b=2

{—2a+b=-1,

{a=l

b=l,

则一次函数解析式：y,=x+l；

（2）由函数图象可知，当一2Vx<0或x>l时，y,>y2；

（3）AD1BE,AC=2CD,

.-.^DAC=30，

由题意得，AD=2+I=3,

在RtADC中，tan/DAC=空，即出=立，

AD33

解得，CD=6，

当点C在点D的左侧时，点C的坐标为（1-百1）,

当点C在点D的右侧时，点C的坐标为（百+1,—1）,

当点C的坐标为（1—6,-1）或+时，AC=2CD.

【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、灵

活运用分类讨论思想、数形结合思想是解题的关键.

21.襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段.贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质

水果蓝莓，今年正式上市销售.在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施,

以后每天比前一天多卖出4千克.第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为

mx-76m(l<x<20,x为整数)

且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克.已知种

/?(20<x<30,x为整数)

植销售蓝莓的成木是18元/千克，每天的利润是W元（利润=销售收入-成本）.

（1）m=，n=；

（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？

（3）在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？

【答案】（1）m=--,n=25；（2）18,WM大=968；（3）12天.

2

【解析】

【分析】（1）根据题意将第12天的售价、第26天的售价代入即可得；

（2）在（1）的基础上分段表示利润，讨论最值；

（3）分别在（2）中的两个函数取值范围内讨论利润不低于870的天数，注意天数为正整数.

【详解】（1）当第12天的售价为32元/件，代入y=mx-76m得

32=12m-76m,

解得m=--）

2

当第26天的售价为25元/千克时，代入y=n,

则n=25.

故答案为m=-',n=25；

2

(2)由(1)第x天的销售量为20+4(x-1)=4x+16,

当1金〈20时,

W=(4x+16)(--x+38-18)--2X2+72X+320=-2(x-18)2+968,

2

.•.当x=18时，WKA=968,

当20sxs30时，W=(4x+16)(25-18)=28x+112,

V28>0,

；.W随x的增大而增大，

.•.当x=30时，W最大=952,

V968>952,

.,.当x=18时,W此人=968；

(3)当1WXV20时，令-2X2+72X+320=870,

解得xi=25,x2=ll>

抛物线W=-2X2+72X+320的开口向下，

/.ll<x<25W>870,

.,.ll<x<20,

；x为正整数，

•••有9天利润不低于870元，

当20sxs30时，令28x+112>870,

解得疸27工

14

1

.-.27—<x<30

14

：x为正整数，

...有3天利润不低于870元，

综上所述，当天利润不低于870元的天数共有12天.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，弄清题意，找准题中的数量关系，运用

分类讨论思想是解题的关键.

22.在RrAABC中，NACB=90°,AB=J%AC=2，过点3作直线机//AC,将A4BC绕点C顺时针旋

转得到AA7TC(点A8的对应点分别是A,8’)，射线CA,C?分别交直线利于点P,。.

(1)问题发现：如图1所示，若P与H重合，则NACA的度数为

(2)类比探究：如图2,所示，设48,与8c的交点为M,当M为48,中点时，求线段PQ的长;

(3)拓展延伸：在旋转过程中，当点P,Q分别在C4',C8'的延长线上时，试探究四边形PAB'Q的面积是

否存在最小值，若存在，直接写出四边形PA'5'Q的最小面积；若不存在，请说明理由

7L

【答案】(1)60°；(2)-；(3)存在，3—百

【解析】

【分析】

(1)由旋转可得：A