高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.3直线与平面的夹角备课省公开课一等奖新名师获奖课

3.2.3直线与平面夹角1/27z.x.x.k2/27B

3/27三垂线定理和逆定理2.如图，直线l是平面α一条斜线，它在平面α内射影为b，直线a在平面α内，假如a⊥b，那么直线a与直线l垂直吗？为何？反之成立吗？aαlb4/273.如图OB是OA在平面内射影，M是平面内另一条射线上一点，BM垂直OM（1）求证：AM垂直OM（2）∠AOB=θ1

∠

BOM=θ2

∠

AOM=θ求证：cosθ=cosθ1·cosθ2Cosθ1=Cosθ2=cosθ=5/276/27生活实例7/27思索1:直线和平面垂直定义和判定定理分别是什么？

定义：假如一条直线与平面内任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直.定理：假如一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.8/27生活实例9/2710/27直线和平面的夹角思索2:当直线与平面相交时，对于直线与平面垂直情形，我们已作了一些相关研究，对于直线与平面不垂直情形，我们需要从理论上作些分析.11/27思索3:如图，AB为平面α一条斜线，A为斜足，AC为平面α内任意一条直线，能否用∠BAC反应斜线AB与平面α相对倾斜度？(即直线和平面夹角）αCAB12/27思索4:反应斜线与平面相对倾斜度平面角顶点为斜足，角一边在斜线上，另一边在平面内哪个位置最适当？为何？αPAB13/27思索5:斜线和它在平面内射影所成角，是斜线和这个平面内全部直线所成角中最小角？αPAB14/27cosθ=cosθ1·cosθ2在上述公式中，因为0≤cosθ2≤1，所以cosθ≤cosθ1.因为θ和θ1都是锐角，所以θ1≤θ.15/27定义:我们把平面一条斜线和它在平面上射影所成锐角，叫做这条斜线和这个平面所成角.αPAB16/27思索6:尤其地，当一条直线与平面垂直时，要求它们所成角为90°；当一条直线和平面平行或在平面内时，要求它们所成角为0°.这么，任何一条直线和一个平面相对倾斜度都能够用一个角来反应，那么直线与平面所成角取值范围是什么？17/27直线和平面所成角求法（1）定义法就是指将斜线与平面夹角转化为斜线与其平面内射影夹角．此种方法关键在于确定斜线在平面内射影．即把所要求角放入直角三角形中。αPAB18/2719/27例1

．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角正弦值为.解：连A1C1与B1D1交与O点，再连BO，∵AB＝BC，∴⇒C1O⊥面DD1BB1，则∠OBC1为BC1与平面BB1D1D所成角．O∴sin∠OBC1=20/27[分析]解答本题首先建立空间直角坐标系，求出平面AFEG法向量和AH方向向量，再求两向量夹角余弦绝对值即可．21/27[解析]

建立如图所表示空间直角坐标系，则G(0,0,1)，A(0,4,0)，F(4,4,1)，E(4,0,2)，H(2,0,0)，22/27令x＝1，则z＝－4，y＝－1.即n＝(1，－1，－4)，即AH与平面AFEG夹角为θ，23/271．在正方体ABCD－A1B1C1D1中,F是BC中点，点E1在D1C1上,且D1E1=D1C1,试求直线E1F与平面D1AC所成角大小24/27所以直线E1F与平面D1AC所成角正弦值为25/271.定义:我们把平面一条斜线和它在平面上射影所成锐角，叫做这条斜线和这个平面所成角.αPAB2.求法：