上海市格致中学2012届高三数学第三轮复习 第3部分 三角函数题型整理分析

用心 爱心 专心1 第三部分第三部分 三角函数三角函数 22 2 若 若 则 则 角的终边越 角的终边越 靠近靠近 轴时 角的正弦 正切轴时 角的正弦 正切 2 0 tansin y 的绝对值就较大 角的终边的绝对值就较大 角的终边 靠近靠近 轴时 角的余弦 余切的绝对值就较大轴时 角的余弦 余切的绝对值就较大 x 举例 举例 1 1 已知 若 则的取值范围是 0 0 cos sin 分析 分析 由且 即知其角的终边应 靠近 0 cos sin 0 cos sin 轴 所以 y 4 3 4 举例 举例 2 2 方程的解的个数为 个 sin xx 分析 分析 在平面直角坐标系中作出函数与的图像 由函数都sinyx yx sin yx yx 是奇函数 而当时恒成立 在时 所以两函数图像只1x sinxx 0 2 x sin xx 有一个交点 坐标原点 即方程只有一个解 sin xx 同样 当时 方程只有唯一解 2 2 x tgxx 0 x 2323 求某个角或比较两角的大小 通常是求该角的某个三角函数值 或比较两个角的三角 求某个角或比较两角的大小 通常是求该角的某个三角函数值 或比较两个角的三角 函数值的大小 然后再定区间 求角 或根据三角函数的单调性比较出两个角的大小 函数值的大小 然后再定区间 求角 或根据三角函数的单调性比较出两个角的大小 比如 由比如 由未必有未必有 由 由同样未必有同样未必有 两个角的三角函数 两个角的三角函数 tgtg tgtg 值相等 这两个角未必相等 如值相等 这两个角未必相等 如 则 则 或 或 sinsin k2 若 若 则 则 若 若 则 则Zkk 2 coscos Zkk 2 tgtg Zkk 举例 举例 1 1 已知都是第一象限的角 则 是 的 sinsin A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 分析 分析 都是第一象限的角 不能说明此两角在同一单调区间内 如都是第一 6 13 3 象限的角 但 选 D 6 13 3 6 13 sin 3 sin 举例 举例 2 2 已知 则 是 的 0 0 sinsin A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 分析 分析 注意到由 则可以看作是一三角形的两内角 选 C 0 用心 爱心 专心2 2424 已知一个角的某一三角函数值求其它三角函数值或角的大小 一定要根据角的范围来 已知一个角的某一三角函数值求其它三角函数值或角的大小 一定要根据角的范围来 确定 能熟练掌握由确定 能熟练掌握由的值求的值求的值的操作程序 给 一个角的三角函数 值的值的操作程序 给 一个角的三角函数 值 tg cos sin 求 另一个三角函数 值的问题 一般要用求 另一个三角函数 值的问题 一般要用 给值给值 的角表示的角表示 求值求值 的角 再用两角和的角 再用两角和 差 的三角公式求得 差 的三角公式求得 举例 举例 1 1 已知是第二象限的角 且 利用表示 a cosa tg 分析 分析 由是第二象限的角 知 a cos 2 1sina a a tg 2 1 cos sin 举例 举例 2 2 已知 求的值 2 0cos2cossinsin6 22 3 2sin 分析 分析 由得 则或0cos2cossinsin6 22 026 2 tgtg 2 1 tg 又 所以 由万能公式得 3 2 tg 2 3 2 tg 13 12 1 2 2sin 2 tg tg 知 13 5 1 1 2cos 2 2 tg tg 26 1235 3 2sin 2525 欲求三角函数的周期 最值 单调区间等 应注意运用二倍角正 余 弦公式 半角 欲求三角函数的周期 最值 单调区间等 应注意运用二倍角正 余 弦公式 半角 公式降次即 公式降次即 引入辅助角 特别注意 引入辅助角 特别注意 2cos1 2 1 cos 2cos1 2 1 sin 22 xxxx 3 经常弄错 使用两角和 差的正弦 余弦公式 合二为一 将所给的三角函数式化为经常弄错 使用两角和 差的正弦 余弦公式 合二为一 将所给的三角函数式化为 6 的形式的形式 函数函数的周期是函数的周期是函数BxAy sin sin xAy 周期的一半周期的一半 sin xAy 举例 举例 函数的最小正周期为 最大值为1cossin32cos2 2 xxxxf 单调递增区间为 在区间上 方程 2 0 的解集为 1 xf 分析 分析 由 所1cossin32cos2 2 xxxxf 6 5 2sin 22sin32cos xxx 以函数的最小正周期为 最大值为 2 单调递增区间满足 xf 2 2 6 5 2 kx 即 由 则 2 2Zkk 6 3 2 Zkkk 1 xf 2 1 6 5 2sin x 或得或 又由 6 2 6 5 2 kx 6 5 2 6 5 2 kx 3 kx Zkkx 用心 爱心 专心3 得解集为 2 0 x 2 0 3 5 3 2 注意 辅助角的应用 其中 且 sin cossin 22 xbaxbxa a b tg 角所在的象限与点所在象限一致 ba 2626 当自变量 当自变量的取值受限制时 求函数的取值受限制时 求函数的值域 应先确定的值域 应先确定的的x sin xAy x 取值范围 再利用三角函数的图像或单调性来确定取值范围 再利用三角函数的图像或单调性来确定的取值范围 并注意的取值范围 并注意 A A 的正的正 sin x 负 千万不能把负 千万不能把取值范围的两端点代入表达式求得取值范围的两端点代入表达式求得 x 举例 举例 已知函数 求的最大值与最小值 0 cos sinsin2 xxxxxf xf 分析 函数 由1 4 sin 22sin2cos1cossin2sin2 2 xxxxxxxf 则 所以函数的最大 最 0 x 4 3 4 4 x 1 2 2 4 sin x xf 小值分别为与 12 0 2727 三角形中边角运算时通常利用正弦定理 余弦定理转化为角 或边 处理 三角形中边角运算时通常利用正弦定理 余弦定理转化为角 或边 处理 有关有关 的齐次式 等式或不等式 可以直接用正弦定理转化为三角式 当知道的齐次式 等式或不等式 可以直接用正弦定理转化为三角式 当知道 ABC ABC 三三cba 边边平方的和差关系 常联想到余弦定理解题 正弦定理应记为平方的和差关系 常联想到余弦定理解题 正弦定理应记为cba 其中 其中 R R 是是 ABC ABC 外接圆半径外接圆半径 2 sinsinsin abc R ABC 举例 举例 在 ABC 中 分别是对边的长 已知成等比数列 且cba CBA cba 求的大小及的值 bcacca 22 A c Bbsin 分析 分析 由成等比数列得 则化成 由cba acb 2 bcacca 22 bcacb 222 余弦定理得 由得 所以 2 1 2 cos 222 bc acb A 3 Aacb 2 b a c b c Bbsin 2 3 3 sinsin sin A b Ba 2828 在 在 ABC ABC 中 中 BABAbasinsin ACBsin sin cos CB 等常用的结论须记住等常用的结论须记住 三角形三内角三角形三内角Acos 2 sin 2 cos ACB 2 cos 2 sin ACB 用心 爱心 专心4 A A B B C C 成等差数列 当且仅当成等差数列 当且仅当 3 B 举例 举例 1 1 1 已知 ABC 三边成等差数列 求 B 的范围 2 已知 ABC 三边cba 成等比数列 求角 B 的取值范围 cba 分析 分析 1 由 ABC 的三边成等差数列 则 消cba cab 2 222 cos 2 acb B ac 去化得 所以 b 22 3 1611 cos 84842 acac B acac 3 0 B 2 同样可以求得 3 0 B 举例 举例 2 2 在 ABC 中 若 则 ABC 的形状一定是 CABsinsincos2 A 等腰直角三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 分析 分析 在三角形 ABC 中 ABBABABACsincos2sincoscossin sin sin 则 所以 ABC 是等腰三角形 BABABABA 0 sin 0sincoscossin 举例 举例 3 3 ABC 中 内角 A B C 的对边分别为 已知成等比数列 且cba cba 4 3 cos B 1 求的值 2 设 求的值 ctgCctgA 2 3 BCBAca 分析 分析 1 先切化弦 由 CA B CA CA C C A A ctgCctgA sinsin sin sinsin sin sin cos sin cos 成等比 所以 由cba CABacbsinsinsin 22 B ctgCctgA sin 1 得 则 4 3 cos B 4 7 sin B 7 74 ctgCctgA 2 注意到 所以 则 又由余弦定理得 2 3 4 3 cos acBacBCBA2 ac2 2 b 得 所以Baccabcos2 222 5 22 ca92 222 cacaca 3 ca 2929 这三者之间的关系虽然没有列入同角三角比的基这三者之间的关系虽然没有列入同角三角比的基xxxxxxcossin cossin cossin 本关系式 但是它们在求值过程中经常会用到 要能熟练地掌握它们之间的关系式 本关系式 但是它们在求值过程中经常会用到 要能熟练地掌握它们之间的关系式 求值时能根据角的范围进行正确的取舍求值时能根据角的范围进行正确的取舍 2 sincos 12sin cosxxxx 用心 爱心 专心5 举例 举例 1 1 已知关于的方程有实数根 求实数的取值x02 cos sin2sin xxaxa 范围 分析分析 由 令xxxxxxx2sin1coscossin2sin cos sin 222 则 其中 则关于 的方程txx cossin12sin 2 tx 2 2 tt 在上有解 注意到方程两根之积为 1 若有实01 2 att 2 2 t01 2 att 根必有一根在内 只要 即可 得或 1 1 0 2 a2 a 举例 举例 2 2 已知且 则 0 5 1 cossin tg 分析 分析 此类问题经常出现在各类考试中 而且错误率都比较高 原因是不能根据角所在的象 限 对函数值进行正确的取舍 由平方得 又 5 1 cossin 0 25 24 cossin2 由知 则有 0 2 0cos 0sin 得 有 25 49 cossin21 cos sin 2 5 7 cossin 所以 5 4 cos 5 3 sin 4 3 tg 3030 正 余 弦函数图像的对称轴是平行于 正 余 弦函数图像的对称轴是平行于轴且过函数图像的最高点或最低点 两相邻轴且过函数图像的最高点或最低点 两相邻y 对称轴之间的距离是半个周期 正 余 弦函数图像的对称中心是图像与对称轴之间的距离是半个周期 正 余 弦函数图像的对称中心是图像与 平衡轴平衡轴 的交的交 点 两相邻对称中心之间的距离也是半个周期点 两相邻对称中心之间的距离也是半个周期 函数函数的图像没有对称轴 它们的对称中心为的图像没有对称轴 它们的对称中心为 两相邻两相邻ctgxytgxy Zk k 0 2 对称轴之间的距离也是