统计物理学基础课件

第二篇热学研究物质各种热现象的性质和变化规律热力学统计物理学量子统计物理热力学第一定律热力学第二定律统计方法宏观量是微观量的统计平均1可编辑课件PPT玻耳兹曼统计物理学基础第四章麦克斯韦2可编辑课件PPT4-1平衡态温度理想气体状态方程一、基本概念及研究方法1、基本概念物质由大量分子组成。分子在不停地、无规则地运动，剧烈程度与物体的温度有关。分子间有相互作用力。3可编辑课件PPT分子之间存在相互作用力--分子力。为斥力且减小时f急剧增加为平衡态，f=0为吸引力且增加时f先增再减少注意

d可视为分子力程；数量级在10-10--10-8m数量级，可看为分子直径（有效直径）。分子力是电性力，远大于万有引力。fd4可编辑课件PPT2、研究方法单个分子仍遵守力学规律大量分子进行统计平均。统计平均——大量同性质偶然事件的整体所具有的规律。

统计规律特点:（1）只对大量偶然的事件才有意义.（2）它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变).

(3)大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。

5可编辑课件PPT从入口投入小球与钉碰撞落入狭槽为清楚起见,从正面来观察。(偶然)隔板铁钉统计规律和方法

伽尔顿板6可编辑课件PPT

大量偶然事件整体所遵循的规律——统计规律。再投入小球：

经一定段时间后,大量小球落入狭槽。分布情况：中间多，两边少。重复几次，结果相似。

单个小球运动是随机的,大量小球运动分布是确定的。小球数按空间位置分布曲线统计规律和方法

伽尔顿板7可编辑课件PPT二、统计的基本概念1、概率如果N次试验中出现A事件的次数为NA,当N

时，比值NA/N称为出现A事件的概率。概率的性质:(1)概率取值域为8可编辑课件PPT(2)各种可能发生的事件的概率总和等于1.几率归一化条件(3)二互斥事件的概率等于分事件概率之和(4)二相容事件的概率等于分事件概率之积9可编辑课件PPT2、概率分布函数随机变量在一定条件下,变量以确定的概率取各种不相同的值。①离散型随机变量取值有限、分立表示方式②连续型随机变量取值无限、连续10可编辑课件PPT随机变量X的概率密度变量取值在x—x+dx间隔内的概率概率密度等于随机变量取值在单位间隔内的概率。又称为概率分布函数（简称分布函数）。11可编辑课件PPT3、统计平均值算术平均值为统计平均值为随机变量的统计平均值等于一切可能状态的概率与其相应的取值乘积的总和。对于离散型随机变量12可编辑课件PPT对于连续型随机变量统计平均值为“涨落”现象------测量值与统计值之间总有偏离处在平衡态的系统的宏观量，如压强P，不随时间改变，但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样，分子数越多，涨落就越小。布朗运动是可观测的涨落现象之一。13可编辑课件PPT三、平衡态1、热力学系统（热力学研究的对象）：大量微观粒子（分子、原子等）组成的宏观物体。外界：热力学系统以外的物体。系统分类1（按系统与外界交换特点）：孤立系统：与外界既无能量又无物质交换封闭系统：与外界只有能量交换而无物质交换开放系统：与外界既有能量交换又有物质交换14可编辑课件PPT系统分类2（按系统所处状态）：平衡态系统非平衡态系统2、热平衡态在无外界的影响下，不论系统初始状态如何，经过足够长的时间后，系统的宏观性质不随时间改变的稳定状态。平衡条件:(1)系统与外界在宏观上无能量和物质的交换，(2)系统的宏观性质不随时间改变。15可编辑课件PPT箱子假想分成两相同体积的部分，达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但两侧粒子数相同。例如：粒子数说明：平衡态是一种理想状态处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞，每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间改变。平衡态是一种热动平衡16可编辑课件PPT4、对热力学系统的描述：①宏观量——状态参量平衡态下描述宏观属性的相互独立的物理量。如压强

p、体积

V、温度

T

等。②微观量描述系统内个别微观粒子特征的物理量。如分子的质量、直径、速度、动量、能量等。微观量与宏观量有一定的内在联系。3、非平衡态不具备两个平衡条件之一的系统。17可编辑课件PPT四、理想气体状态方程理想气体当系统处于平衡态时，各个状态参量之间的关系式。定义：18可编辑课件PPT例、氧气瓶的压强降到106Pa即应重新充气，以免混入其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧气，容积为32L，压强为1.3107Pa，若每天用105Pa的氧气400L，问此瓶氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。解:根据题意，可确定研究对象为原来气体、用去气体和剩余气体，设这三部分气体的状态参量分别为使用时的温度为T设可供x天使用原有每天用量剩余19可编辑课件PPT分别对它们列出状态方程，有

20可编辑课件PPT例、若理想气体的体积为V，压强为P，温度为T，一个分子的质量为m。则该理想气体的分子数为多少？解：五、理想气体的微观假设1、理想气体的分子模型⑴分子可以看作质点⑵除碰撞外，分子之间的作用可忽略不计。⑶分子间的碰撞是完全弹性的。理想气体的分子模型是弹性的自由运动的质点。⑷遵从力学规律21可编辑课件PPT⑴每个分子速度各不相同，且通过碰撞不停地改变。⑵气体的性质与方向无关，即在各个方向上速率的各种平均值相等。⑶忽略重力作用，按位置分布是均匀的。2、理想气体的分子性质平衡态下：注意：是速度平均值相同22可编辑课件PPT4-2

理想气体的压强公式①每个分子对器壁的作用②所有分子对器壁的作用——单位时间内的冲量③理想气体的压强公式一、理想气体的压强公式1、基本思路23可编辑课件PPT2、理想气体的压强公式的推导平衡态下器壁各处压强相同，选dA面求其所受压强。一定质量的处于平衡态的某种理想气体。24可编辑课件PPT①i分子动量增量i分子对器壁的冲量②单位时间内对器壁的冲量按速度分布均匀具有速率的分子对器壁的冲力为25可编辑课件PPT③所有分子对dA面的平均作用力④压强——分子的平均平动动能3、压强的统计意义压强是大量分子在单位时间内对器壁单位面积上的平均冲力，是大量分子的集体行为的统计平均量，单个分子无压强。26可编辑课件PPT二、温度的统计解释温度是气体分子平均平动动能大小的量度1、平均平动动能与温度的关系玻尔兹曼常量T是大量分子热运动剧烈程度的度量，平均平动动能是T的单值函数。27可编辑课件PPT例、（1）在一个装有活塞的容器中盛有一定的气体。如果压缩气体并对它加热，使它的温度从270C升到1770C，体积减少一半，求气体压强变化多少？（2）这时气体分子的平均平动动能变化多少？解：28可编辑课件PPT2、温度的统计意义⑴温度的实质：物质内部分子作热运动剧烈程度的度量。对于单个分子只有，绝无T⑵是温度T的单值函数，只在平衡态下成立。29可编辑课件PPT大量分子速率的平方平均值的平方根气体分子的方均根速率与气体的热力学温度的平方根成正比，与气体的摩尔质量的平方根成反比。三、气体分子的方均根速率30可编辑课件PPT1、自由度i确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。以刚性分子（分子内原子间距离保持不变）为例四、能量均分定理31可编辑课件PPT双原子分子单原子分子平动自由度t=3平动自由度t=3转动自由度r=2三原子分子平动自由度t=3转动自由度r=332可编辑课件PPT2、能量均分定理气体分子沿x,y,z三个方向运动的平均平动动能完全相等，可以认为分子的平均平动动能均匀分配在每个平动自由度上。注意：统计结果，通过碰撞实现，平衡态下成立。33可编辑课件PPT平衡态下，不论何种运动，相应于每一个可能自由度的平均动能都是能量按自由度均分定理如果某种气体的分子有t个平动自由度,r个转动自由度,s个振动自由度.则分子具有：平均平动动能平均转动动能平均振动动能注意：对应分子的一个振动自由度，除有一份振动的动能外，还有一份平均势能。34可编辑课件PPT结论：分子的平均总能量对刚性分子：气体分子无振动，则分子的平均动能为单原子：多原子：双原子：对气、液、固体均成立35可编辑课件PPT五、理想气体的内能分子间相互作用可以忽略不计分子间相互作用的势能=0理想气体的内能=所有分子的热运动动能之总和1mol

理想气体的内能为一定质量理想气体的内能为温度改变，内能改变量为36可编辑课件PPT例、就质量而言，空气是由76％的N2，23％的O2和1％的Ar三种气体组成，它们的分子量分别为28、32、40。空气的摩尔质量为28.910-3kg，试计算1mol

空气在标准状态下的内能。解：在空气中N2质量摩尔数O2质量摩尔数37可编辑课件PPTAr质量摩尔数1mol空气在标准状态下的内能38可编辑课件PPT平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。温度和压强都涉及到分子的平均动能，即有必要研究一下分子速率的规律。这个规律早在1859年由麦克斯韦应用统计概念从理论上推导出来，尔后被实验证实。4-3麦克斯韦分子速率分布率一、分子速率分布的实验测定39可编辑课件PPT测定分子速率分布的实验装置圆筒不转，分子束的分子都射在P处圆筒转动，分子束的速率不同的分子将射在不同位置40可编辑课件PPT兰媚尔实验（装置置于真空之中）实验装置淀积屏P速率筛S’W’W狭缝屏分子源

41可编辑课件PPT下面列出了Hg分子在某温度时不同速率的分子数占总分子的百分比。90以下6.290-----140140----190190----240240----290290----340340----390390以上10.3218.9322.718.312.86.24.042可编辑课件PPT实验数据的图示化6.2%10.32%18.93%22.7%18.3%12.8%6.2%4.0%09014019024029034039043可编辑课件PPT二、气体分子的速率分布分布函数1、速率分布将速率分成若干个小区间，某一区间上的分子数占总分子数的百分比即是速率分布。总分子数区间上的分子数～区间的分子数占总分子数的百分比～速率分布44可编辑课件PPT面积大小代表速率v附近dv区间内的分子数占总分子数的比率45可编辑课件PPT物理意义：附近，单位速率间隔上的分子数占总分子数的百分比。讨论：若为已知⑴附近，区间上的分子数为⑵～区间上的分子数为占总分子数的百分比为⑶归一化条件2、速率分布函数46可编辑课件PPT三、麦克斯韦速率分布规律理想气体处于平衡态且无外力场时，速率分布函数为一个分子处于～区间内的概率——麦克斯韦速率分布函数47可编辑课件PPT麦克斯韦速率分布曲线f(v)f(vp)vvpvv+dvv1v2dNN面积=出现在v~v+dv区间内的概率分子出现在v1~v2区间内的概率曲线下的总面积恒等于148可编辑课件PPT讨论：①最概然速率与分布函数

的极大值相对应的速率物理意义：它表示将分成若干个小区间，所在的区间上的分子数占总分子数的百分比最大。极值条件显然多数分子速率不大多数分子速率大49可编辑课件PPT②50可编辑课件PPTf(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)T1T3T2温度越高，分布曲线中的最概然速率增大，但归一化条件要求曲线下总面积不变，因此分布曲线宽度增大，高度降低51可编辑课件PPT1273K273K73Kf(v)50010001500vO2氧气分子分布函数和温度的关系52可编辑课件PPT分子质量越大，分布曲线中的最概然速率vp越小，但归一化条件要求曲线下总面积不变，因此分布曲线宽度减小，高度升高。f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)53可编辑课件PPT1、最概然速率2、平均速率大量分子速率的统计平均值四、分子速率的三个统计值对于连续分布的所有分子在麦氏分布下所有分子的平均速率54可编辑课件PPT3、方均根速率大量分子速率的平方平均值的平方根在～区间55可编辑课件PPT都与成正比，与（或）成反比f(v)v56可编辑课件PPT(n为分子数密度)说明下列各量的物理意义：？思考题57可编辑课件PPT解：——分布在速率

v附近v~v+dv速率区间内的分子数占总分子数的比率。——分布在速率

v附近v~v+dv速率区间内的分子数。——单位体积内分子速率分布在速率v附近v~v+dv速率区间内的分子数。58可编辑课件PPT——分布在有限速率区间v1~v2

内的分子数占总分子数的比率。——分布在有限速率区间v1~v2

内的分子数。——分布在0～∞速率区间内的分子数占总分子数的比率。（归一化条件）——

v2

的平均值。59可编辑课件PPT例设想有N个气体分子，其速率分布函数为试求:(1)常数A；(2)最可几速率，平均速率和方均根速率；(3)速率介于0~v0/3之间的分子数；(4)速率介于0~v0/3之间的气体分子的平均速率。解：(1)气体分子的分布曲线如图由归一化条件60可编辑课件PPT(2)最可几速率由决定，即平均速率方均速率方均根速率为61可编辑课件PPT(3)速率介于0~v0/3之间的分子数(4)速率介于0~v0/3之间的气体分子平均速率为62可编辑课件PPTo(m/s)f()2000例：如图，两条曲线分别是同温度下的H2和O2

的麦克斯韦速率分布曲线。求解：63可编辑课件PPT例：⑴求速率在与1.01之间的气体分子数占总分子数的百分比。⑵设氢气的温度为300ºC，求速率在到之间的分子数与速率在到之间的分子数之比。解：⑴设速率在与之间的分子数为64可编辑课件PPT65可编辑课件PPT⑵66可编辑课件PPT67可编辑课件PPT4-4玻耳兹曼分布律一、麦克斯韦速率分布率的缺憾1、不考虑外力场的作用2、只考虑速率空间分子的分布，不能给出位置空间的分布3、没有考虑速度的方向68可编辑课件PPT二、麦克斯韦速度分布律取一速度空间，坐标轴为在v附近，dv区间上的分子即是处在一个半径为v，厚度为dv的速度球壳上的分子，其上任一分子的速度为球壳的体积为其上分子数占总分子数的百分比为69可编辑课件PPT麦克斯韦速度分布函数速度空间单位体积内的分子数占总分子数的比率，即速度概率密度（气体分子速度分布函数）70可编辑课件PPT若气体分子处于恒定的外力场（如重力场）中气体分子在空间位置不再呈均匀分布气体分子分布规律如何三、玻耳兹曼分布律该区间上分子数为71可编辑课件PPT1、在位置空间dxdydz上的分子数设：是附近的所有的分子数dN是容器的体积具有的分子在容器中的分子数密度为按位置分布是均匀的任一点附近，dxdydz区间上具有速度的分子数72可编辑课件PPT如气体分子处于外力场中，分子能量E=Ep+Ek分子势能在麦克斯韦速度分布律中，因子分子动能理想气体分子仅有动能麦克斯韦速度分布可以看作是无外场中分子数按能量的分布2、麦克斯韦—玻耳兹曼分布73可编辑课件PPT玻耳兹曼将麦氏分布推广为：在温度为T的平衡态下，任何系统的微观粒子（经典粒子）按能量分布都与成正比。玻耳兹曼因子经典粒子按能量的分布函数为：麦克斯韦—玻耳兹曼分布（M—B分布）74可编辑课件PPT3、玻耳兹曼分布律外力场中，粒子分布不仅按速率区间v~v+dv分布，还应按位置区间x~x+dx、

y~y+dy、z~z+dz分布该区间内的粒子数为：玻耳兹曼分布律其中：为势能等于零处的分子数密度讨论：①E包括动能、势能及其他能量②能量越低的粒子出现的概率越大，随着能量升高，粒子出现的概率按指数减小。75可编辑课件PPT③只有势能时的玻尔兹曼分布+

在附近，区间上所有速率的分子数为+∞适用于气体及各种相互作用微弱的实物粒子在保守场中的运动76可编辑课件PPT则分子数密度粒子数按势能分布按近代理论，粒子所具有的能量在有些情况下只能取一系列分立值E1,E2,…Ei,…EN

能级处于Ei状态的粒子数常数对于两个任意能级在正常状态下，粒子总是优先占据低能级状态。粒子数分布服从玻尔兹曼分布77可编辑课件PPT四、重力场中粒子按高度的分布由气体状态方程重力场中粒子按高度的分布规律式中P0为h=0处的大气压强，P为h处的大气压强，m是大气分子质量。78可编辑课件PPT大气密度和压强随高度增加按指数规律减小（高空空气稀薄，气压低）两边取对数测知地面和高空处的压强与温度，可估算所在高空离地面的高度。恒温气压公式79可编辑课件PPT例氢原子基态能级E1=-13.6eV，第一激发态能级E2=-3.4eV，求出在室温T=270C时原子处于第一激发态与基态的数目比。解：在室温下，氢原子几乎都处于基态。80可编辑课件PPT4-5范徳瓦尔斯方程范徳瓦尔斯方程是对理想气体的模型的修正1摩尔理想气体的状态方程V0分子自由活动空间.理想气体分子是没有体积的质点，故v0等于容器的体积。(1)考虑分子体积引起的修正,理想气体状态方程的修正为可估算V0为气体所占容积,V0-b为分子自由活动空间81可编辑课件PPT(2)进一步考虑分子间引力引起的修正rr0——斥力rr0——引力rR——几乎无相互作用

R称为分子力的有效作用距离R=

r0

——无相互作用.

r0称为平衡距离当两个分子彼此接近到rr0时斥力迅速增大，阻止两个分子进一步靠近，宛如两个分子都是具有一定大小的球体。d0fRrr082可编辑课件PPT设想：气体中任一分子都有一个以其为中心，以R为半径的力作用球，其它分子只有处于此球内才对此分子有吸引作用。

处于容器当中的分子

,平衡态下，周围的分子相对于球对称分布，它们对

的引力平均说来相互抵消。

R

d

处于器壁附近厚度为R的表层内的分子,

的力作用球被器壁切割为球缺，

周围分子的分布不均匀，使

平均起来受到一个指向气体内部的合力，

83可编辑课件PPT这层气体分子由于受到指向气体内部的力所产生的总效果相当于一个指向内部的压强，叫内压强

P。所以，考虑引力作用后，气体分子实际作用于器壁并由实验可测得的压强为

R

d所有运动到器壁附近要与器壁相碰的分子必然通过此区域，则指向气体内部的力，将会减小分子撞击器壁的动量，从而减小对器壁的冲力。

84可编辑课件PPT

P的相关因素

P表面层分子受到内部分子的通过单位面积的作用力与表面层分子（类似

）的数密度n成正比与施加引力的内部分子的数密度n成正比或将气体分子视为有吸引力刚球时1摩尔气体范德瓦尔斯方程

85可编辑课件PPTa、b由实验确定。实际气体在很大范围内近似遵守范德瓦尔斯方程。如果气体质量为M,则其体积为质量为M气体的范德瓦尔斯方程为:

86可编辑课件PPT当系统各部分的宏观物理性质如密度、温度或流速不均匀时，系统就处于非平衡态.在不受外界干扰时,系统总是要从非平衡态自发地过渡到平衡态.这种过渡称为输运过程.4-6气体的输运过程输运过程有三种热传导、扩散、内摩擦.87可编辑课件PPT一、分子的平均碰撞次数和平均自由程氮气分子在270C时的平均速率为476m.s-1.矛盾气体分子热运动平均速率高，但气体扩散过程进行得相当慢。克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。气体分子平均速率88可编辑课件PPT在相同的t时间内，分子由A到B的位移大小比它的路程小得多扩散速率(位移量/时间)平均速率(路程/时间)分子自由程:气体分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程。分子碰撞次数:在单位时间内一个分子与其他分子碰撞的次数。89可编辑课件PPT大量分子的分子自由程与每秒碰撞次数服从统计分布规律。可以求出平均自由程和平均碰撞次数。假定每个分子都是有效直径为d

的弹性小球。只有某一个分子A以平均速率运动，其余分子都静止。1、平均碰撞次数A

dddvv90可编辑课件PPTA

dddvv运动方向上，以d为半径的圆柱体内的分子将与分子A

碰撞球心在圆柱体内的分子一秒钟内:分子A经过路程为相应圆柱体体积为圆柱体内分子数一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数91可编辑课件PPT一切分子都在运动一秒钟内分子A经过路程为一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数平均自由程与分子的有效直径的平方和分子数密度成反比当温度恒定时,平均自由程与气体压强成反比2、平均自由程92可编辑课件PPT在标准状态下，几种气体分子的平均自由程气体氢氮氧空气例

计算空气分子在标准状态下的平均自由程和碰撞频率。取分子的有效直径d=3.510-10m。已知空气的平均分子量为29。解：已知93可编辑课件PPT空气摩尔质量为2910-3kg/mol空气分子在标准状态下的平均速率94可编辑课件PPT二、三种输运过程1.内摩擦流体内各部