江西省九江市水源中学高三数学文上学期摸底试题含解析

江西省九江市水源中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量、满足(+2)·(－)=－6，且||=1，||=2，则与的夹角为（）A．30° B．45° C．60° D．120°参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先通过展开已知等式得到与的数量积，然后由数量积公式求夹角．【解答】解：因为(+2)·(－)=－6，且||=1，||=2，展开得，即1﹣8+=﹣6，所以=1，所以与的夹角余弦值为，所以与的夹角为60°；故选C．【点评】本题考查了平面向量的运算以及数量积公式的运用；属于基础题．2.已知函数，有下列四个命题；①函数是奇函数；②函数在是单调函数；③当时，函数恒成立；④当时，函数有一个零点，其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B①函数的定义域是，，不满足函数奇偶性定义，所以函数非奇非偶函数，所以①错误；②取，，，所以函数在不是单调函数，所以②错误；③当时，，要使，即，即，令，，，得，所以在上递减，在上递增，所以，所以③正确；④当时，函数的零点即为的解，也就是，等价于函数与函数图像有交点，在同一坐标系画出这两个函数图像，可知他们只有一个交点，所以④是正确的．故选B．3.设x，y是两个实数，则“x，y中至少有一个数大于1”是“x2＋y2＞2”成立的A．充分非必要条件

B．必要非充分条件C．充分必要条件

D．既非充分又非必要条件参考答案：D【分析】根据充分、必要条件的判断，分别作为条件推理即可。【详解】若x，y中至少有一个数大于1（如x=1.1，y=0.1），则x2＋y2＞2不成立若x2＋y2＞2（如x=-2，y=-2）则x，y中至少有一个数大于1不成立所以“x，y中至少有一个数大于1”是“x2＋y2＞2”成立的既非充分又非必要条件所以选D

4.函数y=的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】3O：函数的图象．【分析】利用函数的特殊值以及函数的变化趋势，判断选项即可．【解答】解：函数y=的分母是恒为正数的增函数，分子是偶函数，值域[﹣1，1]，可以判断函数的图象随x→+∞，y→0，排除B，C，当x→﹣∞时，分母ex+1→1，分子cosx∈[﹣1，1]，函数图象不可能是D，故选：A．5.已知偶函数在区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略6.已知双曲线的焦点在圆上，则双曲线的渐近线方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C由题意可得双曲线的焦点在x轴，由焦点在圆上，所以焦点坐标为，即c=5,所以，所以，则双曲线的渐近线方程为，选C.

7.【题文】已知几何体三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为（

）A．6π B．5π C．4π D．3π参考答案：B几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，故几何体的表面积为，故选B．8.抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在准线上的射影为的最大值为A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.执行如图所示的程序框图，若输出，则判断框中应填入的条件是

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略10.设、为两个不同的平面，、、为三条互不相同的直线，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，，，则；③若，，则；④若、是异面直线，，且，，则．其中真命题的序号是（

）A．①③④

B．①②③

C．①③

D．②④参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知,设复数．若复数z为纯虚数，实数m=_______.参考答案：3【分析】利用复数是纯虚数的特点求解，可得的取值.【详解】因为为纯虚数，所以，解得.【点睛】本题主要考查纯虚数的概念，复数是纯虚数则有且，侧重考查数学运算的核心素养.12.已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|=4|OF|，△MFO的面积为，则该抛物线的方程为．参考答案：y2=8x考点：抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．专题：计算题．分析：根据M为抛物线上一点，且|MF|=4|OF|，可确定M的坐标，利用△MFO的面积为，即可求得抛物线的方程．解答：解：由题意，F（，0），准线方程为x=﹣∵|MF|=4|OF|，∴|MF|=2p∴M的横坐标为∴M的纵坐标为∵△MFO的面积为，∴∴p=4∴抛物线的方程为y2=8x故答案为：y2=8x点评：本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，解题的关键是确定M的坐标．13.已知集合，，则=

，参考答案：答案：

14.计算：

.参考答案：;

15.如图，两个等圆⊙与⊙外切，过作⊙的两条切线是切点，点在圆上且不与点重合，则=

.参考答案：略16.已知点A（2，3），点B（6，﹣3），点P在直线3x﹣4y+3=0上，若满足等式?+2λ=0的点P有两个，则实数λ的取值范围是．参考答案：（﹣∞，2）【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据点P在直线3x﹣4y+3=0上，设P（x，），求出、，计算?，代入?+2λ=0，化简并利用△＞0求出λ的取值范围．【解答】解：由点P在直线3x﹣4y+3=0上，设P（x，），则=（x﹣2，﹣3），=（x﹣6，+3），∴?=（x﹣2）（x﹣6）+﹣9=（25x2﹣110x+57）；又?+2λ=0，∴（25x2﹣110x+57）+2λ=0，化简得25x2﹣110x+57+32λ=0，根据题意△=（﹣110）2﹣4×25×（57+32λ）＞0，解得λ＜2；∴实数λ的取值范围是（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．17.已知圆C过点（﹣1，0），且圆心在x轴的负半轴上，直线l：y=x+1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为．参考答案：（x+3）2+y2=4【考点】圆的标准方程．【分析】根据题意设圆心C坐标为（x，0），根据圆C过（﹣1，0），利用两点间的距离公式表示出圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线l的距离d，根据已知的弦长，利用垂径定理及勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到圆心坐标及半径，写出圆C的标准方程即可．【解答】解：设圆心C（x，0），则圆的半径r=|BC|=|x+1|∴圆心C到直线l的距离|CD|=，弦长|AB|=2，则r==|x+1|，整理得：x=1（不合题意，舍去）或x=﹣3，∴圆心C（﹣3，0），半径为2，则圆C方程为（x+3）2+y2=4．故答案为：（x+3）2+y2=4．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知各项均不相等的等差数列{an}的前五项和S5=20，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设数列{an}的公差为d，运用等差数列的求和公式和等比数列的性质，解方程可得a1=2，d=1，再由等差数列的通项即可得到；（2）求得bn==﹣，运用裂项相消求和，求得Tn．【解答】解：（1）设数列{an}的公差为d，由已知得，即为，即，由d≠0，即有，故an=2+n﹣1=n+1；（2）bn===﹣，∴前n项和Tn=﹣+﹣+…+﹣=﹣=．19.最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财．现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：投资结果获利不赔不赚亏损概

率（2）购买基金：投资结果获利不赔不赚亏损概

率pq（Ⅰ）当时，求q的值；（Ⅱ）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求p的取值范围；（Ⅲ）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率．参考答案：考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意可得p++q=1，代入可得q值；（Ⅱ）由题意可得，再由p++q=1和概率的取值范围，解不等式可得；（Ⅲ）列举可得所有可能的投资结果有9种，事件A的结果有5种，由概率公式可得．解答： 解：（Ⅰ）∵“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，∴p++q=1，又∵，∴q=；（Ⅱ）∵由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，∴，∵p++q=1，∴，解得，又∵，q≥0，∴，∴；（Ⅲ）记事件A为“一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”，用a，b，c分别表示一年后张师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，用x，y，z分别表示一年后李师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，则一年后张师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有3×3=9种，它们是：（a，x），（a，y），（a，z），（b，x），（b，y），（b，z），（c，x），（c，y），（c，z），∴事件A的结果有5种，它们是：（a，x），（a，y），（a，z），（b，x），（c，x）．∴这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率点评：本题考查相互独立事件发生的概率，涉及列举法求基本事件数，属中档题．20.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，AC=AA1=AB，∠AA1C1=60°，AB⊥AA1，H为棱CC1的中点，D在棱BB1上，且A1D丄平面AB1H．（Ⅰ）求证：D为BB1的中点；（Ⅱ）求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法．【专题】方程思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）建立坐标系，求出向量坐标，利用线面垂直的性质建立方程关系即可证明D为BB1的中点；（Ⅱ）求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接AC1，∵AC=AA1，∠AA1C1=60°，∴三角形ACC1是正三角形，∵H是CC1的中点，∴AH⊥CC1，从而AH⊥AA1，∵侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，面AA1C1C∩侧面ABB1A1=AA1，AH?平面AA1C1C，∴AH⊥ABB1A1，以A为原点，建立空间直角坐标系如图，设AB=，则AA1=2，则A（0，2，0），B1（，2，0），D（，t，0），则=（，2，0），=（，t﹣2，0），∵A1D丄平面AB1H．AB1?丄平面AB1H．∴A1D丄AB1，则?=（，2，0）?（，t﹣2，0）=2+2（t﹣2）=2t﹣2=0，得t=1，即D（，1，0），∴D为BB1的中点；（2）C1（0，1，），=（，﹣1，0），=（0，﹣1，），设平面C1A1D的法向量为=（x，y，z），则由?=x﹣y=0），?=﹣y+z=0，得，令x=3，则y=3，z=，=（3，3，），显然平面A1DA的法向量为==（0，0，），则cos＜，＞===，即二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值是．【点评】本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解二面角的常用方法．综合性较强，运算量较大．21.已知是各项均为正数的等差数列，公差为2．对任意的，是和的等比中项．，．（1）求证：数列是等差数列；（2）若，求数列的通项公式．参考答案：（1）证明见解析；（2）．

试题解析：（1）证明：∵，∴（常数），∴数列是等差数列．（2）解：，则，∴，，，解得，∴．考点：等差数列的判断，等差数列的通项公式．【名师点睛】等差数列的判断方法．在解答题中常用：（1）定义法，对于任意的，证明为同一常数；（2）等差中项法，证明（）；在选择填空