解密13 直线与圆的方程（讲义）-【高频考点解密】2022年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

解密13直线与圆的方程高考考点命题分析三年高考探源考查频率直线与圆的方程从近三年高考情况来看，圆的标准方程的求法是命题的热点，求解时，常利用配方法把圆的一般方程转化为标准方程，并指出圆心坐标及半径；直线与圆的位置关系常结合其他知识点进行综合考查，求解时重点应用圆的几何性质，一般为选择题、填空题，难度中等，解题时应认真体会数形结合思想，培养充分利用圆的简单几何性质简化运算的能力．2021年新课标Ⅰ卷112019新课标全国Ⅰ13，192019新课标全国Ⅲ6，21★★★★★直线与圆、圆与圆的位置关系2020年全国Ⅰ卷112020全国Ⅲ102021年新课标Ⅱ112019新课标全国Ⅱ112019新课标全国Ⅲ21★★★★★考点一直线方程题组一直线的倾斜角与斜率例题1已知直线3x−y+1=0的倾斜角为α，则A． B．C．− D．【答案】A【解析】直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，∴.故选A．例题2已知直线平分圆的周长，且直线不经过第三象限，则直线的倾斜角的取值范围为A． B．C． D．【答案】A【解析】圆的标准方程为，故直线过圆的圆心，因为直线不经过第三象限，结合图象可知，，.故选A．例题3若点在抛物线上，记抛物线的焦点为，则直线的斜率为A． B．C． D．【答案】C【解析】将坐标代入抛物线方程得，故焦点坐标，直线的斜率为，故选C．题组二直线的方程例题3数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，，，则的欧拉线方程为A． B．C． D．【答案】D【解析】线段AB的中点为M（1，2），kAB=﹣2，∴线段AB的垂直平分线为：y﹣2=（x﹣1），即x﹣2y+3=0．∵AC=BC，∴的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，因此的欧拉线的方程为：x﹣2y+3=0．故选D．例题4若直线过点，则该直线在轴、轴上的截距之和的最小值为A．1 B．4C．2 D．8【答案】B【解析】因为直线过点，所以因为直线在轴的截距为，在轴上的截距为，所以直线在轴、轴上的截距之和的最小值为，所以当时取最小值，最小值为，故选B．☆技巧点拨☆1．2．求解直线方程时要考虑斜率不存在的情况.考点二直线的位置关系题组一垂直与平行的判定例题1已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为A．─2 B．─3C．─4 D．─5【答案】D【解析】∵，∴，故选D．例题2过点且与直线垂直的直线方程为A． B．C． D．【答案】B【解析】设要求的直线方程为，把点（2，1）代入可得4+3+m=0，解得m=-7．可得要求的直线方程为.故选B．例题3是直线与直线平行的A．充分而不必要 B．必要而不充分C．充要条件 D．既不充分也不必要【答案】C【解析】当m=4时，两直线方程分别为：4x+8y+3=0，2x+4y+3=0，满足直线平行；当m=0时，直线方程分别为：，，两直线不平行；当3m-4=0，即时，直线方程分别为，2x+y+3=0，两直线不平行；由直线与直线平行，可知两直线斜率相等，即，解得m=2或m=4；当m=2时，两直线重合，故“”是“直线与直线平行”的充要条件．故选C．例题4已知，直线与直线互相垂直，则的最小值为A．1 B．2C． D．【答案】B【解析】由题知，b＞0，且两条直线的斜率存在，因为直线与直线互相垂直，所以，≥2，当且仅当b=1时取等号.故选B.☆技巧点拨☆由两直线平行或垂直求参数的值在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解.例题5当点到直线的距离最大时，的值为A． B．0C． D．1【答案】C【解析】直线过定点Q(2，1)，所以点到直线的距离最大时，PQ垂直该直线，即，故选C．例题6若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为A．3eq\r(2) B．2eq\r(2)C．3eq\r(3) D．4eq\r(2)【答案】A【解析】依题意知AB的中点M的集合是与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0的距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得eq\f(|m＋7|,\r(2))＝eq\f(|m＋5|,\r(2))⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为eq\f(|－6|,\r(2))＝3eq\r(2).考点三圆的方程题组一直接求圆的方程例题1一个圆经过以下三个点，，，且圆心在轴上，则圆的标准方程为A． B．C． D．【答案】D【解析】设圆心坐标为，半径为，则圆的方程为，将，，三点代入，得，解得，．∴圆的标准方程为．故选D．【名师点睛】本题主要考查圆的标准方程，重点找出圆心及半径是关键，难度不大.根据题意设出圆心，利用圆心到三点的距离相等建立等式，从而求得标准方程.题组二利用圆的几何性质求圆的方程例题2与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是A． B．C． D．【答案】C【解析】圆的圆心坐标为，半径为，过圆心与直线垂直的直线方程为，所求圆的圆心在此直线上，又圆心到直线的距离为，则所求圆的半径为，设所求圆的圆心为，且圆心在直线的左上方，则，且，解得（不符合题意，舍去），故所求圆的方程为．故选C．例题3在平面直角坐标系xOy中，过点A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线上的圆的标准方程为________________．【答案】【解析】根据题意，圆经过点，则圆心在线段AB的垂直平分线上，又由点，则线段AB的垂直平分线方程为，则有，解得，即圆心为，圆的半径，故圆的方程为．☆技巧点拨☆求圆的方程的两种方法1．几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．2．代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．附：（1）圆的标准方程：当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2=r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2=r2．（2）圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0，其中D2＋E2－4F＞0，表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆．考点四直线与圆的位置关系☆技巧点拨☆1．圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称．2．圆关于点对称：（1）求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置;（2）两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．3．圆关于直线对称：（1）求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置;（2）两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．题组一与圆有关的对称问题例题1若圆C：，关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值为______．【答案】4【解析】因为圆=关于直线=对称，所以圆心在直线=上，所以，即，又圆的半径为，当点(a,b)与圆心的距离最小时，切线长取得最小值，又点(a,b)与圆心的距离为=，所以切线长的最小值为=.故答案为4.题组二圆与圆的位置关系例题1．已知圆，圆，若圆平分圆的圆周，则正数的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】圆，化为，则圆心，两圆方程相减可得，即为两圆的相交弦方程，因为圆平分圆的圆周，所以圆心在相交弦上，所以，解得或（舍去），故选：A例题2．已知圆（）的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．内切 D．外切【答案】B【解析】：因为圆（）的面积被直线平分，所以圆的圆心在直线上，所以，解得，所以圆的圆心为，半径为1，因为圆的圆心为，半径为5，所以，所以圆与圆的位置关系是相交，故选：B.例题3．设直线与圆交于，两点，若圆的圆心在线段上，且圆与圆相切，切点在圆的劣弧上，则圆的半径的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】圆的圆心为原点，半径，依题意，圆的圆心在圆内，设半径为，如图，因圆与圆内切，则，即，而点在线段AB上，过O作于P，则，显然，当且仅当点与点P重合时取“=”，于是得，考点五直线与圆的位置关系综合应用☆技巧点拨☆解决直线与圆、圆与圆位置关系问题的方法（1）讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．（2）圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．例题1．已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而，当直线时，，，此时最小．∴即，由解得，．所以以为直径的圆的方程为，即，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．故选：D.例题2．已知直线与相交于两点，且为等边三角形，则实数（）A．或2 B．或4 C． D．【答案】A【分析】：的圆心，半径，因为直线与相交于两点，且为等边三角形，则圆心到直线的距离为，即，整理得，解得或，故选：A.例题3．已知圆O的方程为，过圆O外一点作圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A､B，若，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】：由，得即，所以，即.设，根据题意，直线与圆有公共点，所以，解得（当直线与圆相切时取等号），即的取值范围为.故选：C.例题4．已知圆上有且只有两个点到直线的距离等于，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由可得，则即，所以圆心为，半径，圆心到直线的距离，因为圆上有且只有两个点到直线的距离等于，所以，即，解得：，所以实数的取值范围是，故选：A.例题5．已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（）A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切【答案】ABD【分析】圆心到直线l的距离，若点在圆C上，则，所以，则直线l与圆C相切，故A正确；若点在圆C内，则，所以，则直线l与圆C相离，故B正确；若点在圆C外，则，所以，则直线l与圆C相交，故C错误；若点在直线l上，则即，所以，直线l与圆C相切，故D正确.故选：ABD.例题6．已知点在圆上，点、，则（）A．点到直线的距离小于B．点到直线的距离大于C．当最小时，D．当最大时，【答案】ACD【分析】圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，，，由勾股定理可得，CD选项正确.故选：ACD.例题7．已知圆：，圆：，在圆上，在圆上，则（）A．的取值范围是 B．直线是圆在点处的切线C．直线与圆相交 D．直线与圆相切【答案】ABD【分析】圆：的圆心为，半径为1，圆：的圆心为，半径为2，观察图象可得，所以的取值范围是，A对，∵，∴点在直线上，又到直线的距离，又圆的半径为1，∴直线是圆在点处的切线，B对，∵点在圆上，∴，∴到直线的距离，又圆的半径为2，∴直线与圆相离，C错，圆的圆心为，半径为，点到直线的距离，∴直线与圆相切，D对，故选：ABD.