湖南省益阳市2023-2024学年高三下学期4月联考（三模）数学

益阳市2024届高三4月教学质量检测数学（时量：120分钟 满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i为虚数单位，若1iz2，则（z）A．1iB．1iC．1iD．1i2．已知a0,fx1ax2bx，则x0是方程axb的解的充要条件是（）2A．xR,fxfx0B．xR,fxfx0C．xR,fxfx0D．xR,fxfx03．顶角为36°的等腰三角形，常称为“最美三角形”．已知cos361，则“最美三角形”的底边长54与腰长的比为（）A．1B．1C．11555D．522444．已知数列an满足anan12nnN*且a11，则a9（）A．128B．64C．32D．165．已知双曲线x2y21(m0,n0)与椭圆x2y21有相同的焦点，则41的最小值为（）mn43mnA．6B．7C．8D．96．2023年的某一天某红酒厂商为了在线出售其红酒产品，联合小Y哥直播间，邀请某“网红”来现场带货．在带货期间，为吸引顾客光临直播间、增加客流量，发起了这样一个活动：如果在直播间进来的顾客中，出现生日相同的顾客，则奖励生日相同的顾客红酒1瓶．假设每个随机来访的顾客的出生日期都是相互独立的，并且每个人都等可能地出生在一年（365天）中任何一天（2023年共365天），在n远小于365时，近似地n1kn1knln1，ln20.693，其中aia1a2an．如果要保证直播间至少两个人365365k0k0的生日在同一天的概率不小于1，那么来到直播间的人数最少应该为（）2A．21B．22C．23D．247．如图所示，4个球两两外切形成的几何体，称为一个“最密堆垒”．显然，即使是“最密堆垒”，4个球之间依然存在着空隙．材料学研究发现，某种金属晶体中4个原子的“最密堆垒”的空隙中如果再嵌入一个另一种金属原子并和原来的4个原子均外切，则材料的性能会有显著性变化．记原金属晶体的原子半径为rA，另一种金属晶体的原子半径为rB，则rA和rB的关系是（ ）A．2rB3rA B．2rB6rA C．2rB31rA D．2rB62rA8．已知fx的定义域为0,,fx是fx的导函数，且x2fx2xfxlnx，2efe1，则111f,fsin,ftan的大小关系是（）342111111A．ffsinftanB．fsinfftan344223111111C．ftanffsinD．fsinftanf234234二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9．下列命题中，正确的是（ ）x1,当x0时,A．函数vx与ux0,当x0时,表示同一函数x1,当x0时B．函数vxx22x2与utt22t2是同一函数C．函数yfx的图象与直线x2024的图象至多有一个交点D．函数fxx11x，则ff0210．如图1所示，为曲杆道闸车库出入口对出人车辆作“放行”或“阻拦”管制的工具．它由转动杆OP与横杆PQ组成，P,Q为横杆的两个端点．在道闸抬起的过程中，横杆PQ始终保持水平．如图2所示，以点O为原点，水平方向为x轴正方向建立平面直角坐标系．若点O距水平地面的高度为1米，转动杆OP的长度为1.6米，横杆PQ的长度为2米，OP绕点O在与水平面垂直的平面内转动，与水平方向所成的角30,90（ ）图1 图264448223A．则点P运动的轨迹方程为x(y1),y,）255556410448223B．则点Q运动的轨迹方程为(x2)y,y,）25555C．若OP绕点O从与水平方向成30角匀速转动到与水平方向成90角，则横杆PQ距水平地面的高度为135米D．若OP绕点O从与水平方向成30角匀速转动到与水平方向成90角，则点Q运动轨迹的长度为135米11．在△ABC中，角A,B,C所对的边依次为a,b,c，已知sinA:sinB:sinC2:3:4，则下列结论中正确的是（ ）A．ab:bc:ca5:6：B．△ABC为钝角三角形C．若abc18．则△ABC的面积是615D．若△ABC的外接圆半径是R，内切圆半径为r，则5R16r三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在平面直角坐标系中，已知点F11,0,F21,0，若P为平面上的一个动点且PF12PF2，则点P运动所形成的曲线的方程为______．13．已

知

(1

62x)99(62

x)99a0a1xa2x2 a59x99

，且

a0,a1,a2, ,a99R

，则满足ak

0(k

N且0

k

99)的k的最大值为______．14

． 已

知 函

数

fx

的 定 义

域 为

,

． 对

任

意

的

x,yR

恒 有fxyf

xyf

x

fyf

x

fy

， 且

f12,f

20

． 则2023f2024______．四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知a,b为正实数，构造函数fxlnx．若曲线yfx在点1,f1处的切线方程为y1axb．axb2（1）求ab的值；（2）求证：fx21．x1x16．（本小题满分15分）新鲜是水果品质的一个重要指标。某品牌水果销售店，为保障所销售的某种水果的新鲜度，当天所进的水果如果当天没有销售完毕，则第二天打折销售直至售罄．水果销售店以每箱进货价50元、售价100元销售该种水果，如果当天卖不完，则剩下的水果第二天将在原售价的基础上打五折特价销售，而且要整体支付包装更换与特别处理等费用30元．这样才能保障第二天特价水果售罄，并且不影响正价水果销售，水果销售店经理记录了在连续50天中该水果的日销售量x（单位：箱）和天数y（单位：天）如下表所示：日销售量x（单位：箱） 22 23 24 25 26天数y（单位：天） 10 10 15 9 6（1）为能减少打折销售份额，决定70%地满足顾客需求（即在100天中，大约有70天可以满足顾客需求）．请根据上面表格中的数据，确定每天此种水果的进货量t的值。（以箱为单位，结果保留一位小数）（2）以这50天记录的日需求量的频率作为日需求量的概率，设（1）中所求t的值满足tn0,n01n0N*，请以期望作为决策依据，帮销售店经理判断每天购进此种水果是n0箱划算还是n01箱划算？17．（本小题满分15分）如图所示，四边形ABCD为梯形，AB∥CD,AB2,ADDCCB1，以AC为一条边作矩形ACFE，CF1，平面ACFE平面ABCD．（1）求证：BCAF；（2）甲同学研究发现并证明了这样一个结论：如果两个平面所成的二面角为090，其中一个平面内的图形G在另一个平面上的正投影为G，它们的面积分别记为SG和SG，则SGSGcos．乙同学利用甲的这个结论，发现在线段EF上存在点M，使得S△MAB26．请你对乙同学发现的结论进行证明．18．（本小题满分17分）已知直线yax(a0)与椭圆C:x2y21相交于点P,Q，点P在第一象限内，F1,F2分别为椭圆的左、4 3右焦点．（1）设点Q到直线PF1,PF2的距离分别为d1,d2，求d1的取值范围；d2（2）已知椭圆C在点Px0,y0处的切线为l．（1）求证：切线l的方程为x40xy30y1；（2）设射线QF1交l于点R，求证：△F1RP为等腰三角形．19．（本小题满分17分）我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组a1,a2表示；三维空间向盘可用三元有序数组a1,a2,a3表示．一般地，n维空间向量用n元有序数组a1,a2, ,an表示，其中akk1,2, ,n称为空间向量的第k个分量，k为这个分量的下标．对于nn3维空间向量a1,a2, ,an，定义集合Amk∣akm,k1,2, ,n．记Am的元素的个数为Am（约定空集的元素个数为0）．（1）若空间向量a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8