【教学案】第五章二元一次方程组北师大版八年级数学上册

八年级数学？上

新课标［北师］

第五章二元一次方程组

本/章/整/体/说/课

教学目标

—写技能r

1.了解二元一次方程（组）的有关概念，会解简单的二元一次方程

组（数字系数）；能根据具体问题中的数量关系,列出二元一次方程组解决简单的实际问题，并能检验解的合理性.

2.体会一次函数与二元一次方程'二元一次方程组

的关系，会利用待定系数法确定一次函数的表达式

经历从实际问题中抽象出二元一次方程（组）的过程，体会方程的模型思想，发展灵活运用有关知识解决实际

问题的能力，培养良好的数学应用意识.

了解解二元一次方程组和三元一次方程组的“消元思想”，从而初步理解化未知为已知和化复杂问题为

简单问题的化归思想.

V教材分析

一、《标准》要求

1.探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用方程、函数进行

表述的方法，体会模型的思想，建立符号意识.

2.初步学会在具体的情境中能从数学的角度

发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单

的实际问题，增强应用意识，提高实践能力.

3.能根据具体问题

中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型

4.掌握代人消元法和加减消元法，能解二元一次方程组.

5•能解简单的三元一次方程组.

6•体会一次函数与二元一次方程的关系.

7.会利用待定系数法确定一次函数的表达式.

二、教材分析

具体地，第1节通过丰富的实例，建立二元一次方程和二元一次方程组，让学生观察归纳出二元一次方程和二

元一次方程组的有关概念，并从中体会方程的模型思想.第2节，顺理成章地给出现实问题的解答，进而通过具体方

程总结出求解二元一次方程组的两种基本方法一一代人消元法、加减消元法.第3-5节再次通过

几个问题情境，进行列二元一次方程组解决实际问题的训练.这样，一方面，在列方程组的建模过程中，强化了

方程的模型思想，培养了学生列方程解决现实问题的意识和能力；另一方面，将解方程组的技能训练与实际问

题的解决融为一体，在实际问题的解决过程中提高学生的解题技能•第6节通过对二元一次方程、二元一次方

程组与一次函数关系的讨论，建立方程与函数的联系，引导学生从“形”的角度看待二元一次方程和二元一次

方程组.第7'。通过待定系数法，利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.第8行作为选学内容介绍三元

•次方程组的基本解法.

札/教学重难点

【重点】

1.二元一次方程组的解法.

2.二元一次方程组在生活中的应用.

【难点】一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系

V教学建议

1.教学要注意与一元一次方

程的类比，让学生体会学习二元一次方程组的必要性,结合自己已有的解一元

一次方程的经验，探索二元一次方程组的解法，体会消元、转化的数学思想方法.

2.教学内容的选取和呈现要关注现实意义和学生的兴趣

，充分利用学生已有经验，尽量创设有利于学生自

主探究的课堂氛围，鼓励学生合作探究，提倡用学生的智慧解决学生的问题.

3.关注学生对知识与技能的理解和应用.对知识与技能的评价，应重视

学生的理解和在新情境中的应用，如考查学生能否根据实际问题正确地建立模型，能否选择恰当的方法解二元一

次方程组，解方程组正确与否能否检验求得结果的合理性.

4.关注学生列方程解决实际问题的意

识、水平及在学习过程中的表现，注重培养学生的应用意识.例如，

让学生以小组合作学习的形式分析一下开放性的问题，并说出心得体会，在学生的交流中对其进行评价让学生自主

地观察生活实际，并据此编制有关应用问题，从学生所编制的应用问题中评判其应用意识和应用水平

课时划分

1认识二元一次方程组1课时

2求解二元一次方程组2课时

3应用二元一次方程组一一鸡兔同笼1课时

4应用二元一次方程组一一增收节支1课时

5应用二元一次方程组一一里程碑上

1课时的数

6二元一次方程与一次函数1课时

7用二元一次方程组确定一次函数表

1课时达式

・8三元一次方程组1课时

回顾与思考1课时

课/时/教/学/详/案

1认识二元一次方程组

$教学目标

通过实例了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解.

『过程与翎1

发展学生的归纳•观察和概括的能力，同时培养学生运用数学知识解决实际问题的能力

激发学生的求知欲望，培养他们勇干探索的精神

〈教学重难点

【重对二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念的理解，并会判断二元一次方程组的解对

点】二元一次方程及二元一次方程组的解的个数的判断

♦教学准备

【教师准备】预设学生学习过程中可能出现的问题

【学生准备】复习一元一次方程的有关概念・

□教学过程

1区新课导入

导入一：

每块饼干的质量是X克，每颗糖果的质量是y克，小明拿了一个等臂天平，在左边秤盘放两块饼干，右边秤盘

放三颗糖果，结果天平两臂平衡，当在左边秤盘里又放了三块饼干，右边秤盘里又放了四颗糖果时，天平并没有平

衡，只好在右边秤盘里又加了1克的硅码才使得天平平衡.上面的例子中，可以得到两个方程是2x=3y和5x=7y+1,

怎样看待这两个方程呢？它们的解有什么实际意义？

导人二：

我们已经学习了一元一次方程，你能举一个一元一次方程的例子吗？

生:（轻松回答）3x+4=5x,0.5x=3.

师彳艮好!那么什么是一元一次方程？

生:含有一个未知数，并且所含未知数的次数为1的整式方程叫一元一次方程.

师:非常准确！从这节课开始我们将进一步来学习有关方程的问题.我们都知道牛和马是人类最忠诚的帮

手，在那个非机械化的年代，是它们为我们驮运货物，帮助农民耕地……活干多了，牢骚也来了.请同学们看下面

的故事，同时请两个同学来为它们配音.（多媒体出示）

（显示对话，老牛与小马，学生配音）

老牛喘着气吃力地说：“累死我了小马说：“你还累，这么大的个，才比我多驮了2个老牛气喘吁吁地说：

“哼，我从你背上拿来1个,我的包裹数就是你的2倍!”小马不相信地说：“真的？！”

生：（笑）……

师:两位同学表演得很不错，请同学们想一想它们在争论什么呢？

生:它们在争论谁的包裹多.

师:对，那么你能用数学知识帮助它们解决这个问题吗？

让每个学习小组讨论（讨论2分钟，然后发言）.教师注意引导学生设两个未知数，从而得出两个二元一次

方程.

师:题目中等量关系有几个？你是如何得到的？

生：2个等量关系.

依据老牛的包裹数比小马多2个得到：老牛驮的包裹数•小马驮的包裹数=2个.依据老牛从小马背上拿

来1个包裹，这时老牛驮的包裹数是小马驮的2倍得到：老牛驮的包裹数+1=（小马驮的包裹数-1）X2.

师:你能设出适当的未知数列出相应的方程吗？请大家写下来.

生：（板演）设老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹.根据题意得x-y=2,x+l=2（y-l）.

［设计意图］以动漫的形式引出方程问题，调动学生的积极性，让学生再次经历建模的同时，以相对轻松的状

态进入后面的学习.通过自主探究来认识体会二元一次方程建模思想的过程，也是学生完成从一元到多

元的认识转化过程.

匡新知构建

［过渡语］我们以前学过的方程都是含有一个未知数的，如果方程中含有两个未知数，这样的方程是怎

样的呢？

一、认识二元一次方程

思路一

出示教材第103页上半页情境图，师生交流.

①怎样列一元一次方程解决这个问题呢？

生1：设老牛驮了x个包裹，则有2（x-3）=x+1.

生2:设小马驮了X个包裹厕有2（x-1）=x+3.

②如果设两个未知数，怎样解决这个问题呢？

设老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包褰老牛驮的包裹数比小马驮的多了2个，由此你能得到怎样的方

程？

生:x-2=y.

若老牛从小马背上拿来1个包裹，这时老牛的包裹数是小马的2倍,由此你又能得到怎样的方程？

生:x+1=2（y-1）.

③怎样列出教材第104页引例中的方程？

生:x+y=8,5x+3y=34.

小结:含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.

思路二

大家观察下面的5个方程，是我们学过的一元一次方程吗？

360x+720y=17280;x-y=2;x+1=2（y-1）;x+y=8;5x+8y=34.

生:不是.

师:与一元一次方程的特征相比较我们可以给它们取一个什么名称呢？

生:二元一次方程！

师:很好，请同学们找出二元一次方程有什么特征？

生1：含有两个未知数.

生2:未知数的次数是1.

生3:方程两边都是整式.

（多媒体同一页显示，便于学生逐条比较）

师:对于方程xy+8=5x,大家认为是二元一次方程吗？（学生认识不统一，有说是，有说不是）xy（多媒体用红

色圈事）这个项的次数是几？（学生有的说是2,有的说是1.此时老师加以纠正，单项式的次数是单项式中所有字母

的指数和，因此项xy次数为2,原方程不是二元一次方程）

师:我们应将“未知数的次数是1”更正为什么？生:含未知数的项的次数是1.

师彳艮好，现在大家知道什么叫二元一次方程了吗？生:含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程

叫做二元一次方程.（多媒体显示二元一次方程的概念，并让学生加以巩固）

［设计意图］为了让学生尽快理解新知识，教学通过类比的方法，引导学生与一元一次方程相比较，逐步理解二元

一次方程的概念，同时培养学生归纳概括能力.

师:两人一组，分别写出几个方程，让另一位同学判断是不是二元一次方程.

（学生迅速出题，然后互相判断，很多小组出现争执，场面非常活跃，教师巡视，对出现的争执及时给予评判）

［知识拓展］1.二元一次方程还可以定义为：在方程中有两个未知数，未知数与未知数之间没有乘法、除法运算，并且

未知数的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程.

2.本节课常出现的错误是对二元一次方程的概念理解不准确，其表现形式有两种：一种是把“含未知数的项的

次数都是1”理解为“每个未知数的次数都是1"，误认为xy+2=0也是二元一次方程，另一种是遇到含有字母系数的

方程时，容易忽略“未知数的系数不等于零”这个隐含条件，如二元一次方程ax+y=6中a工。这个条件.

含有两个未知数，

3.二元一次方程满足的条件含未知数的项的次数为1，

{整式方程.

二、认识二元一次方程组

问题1

在前面的实际问题中，这两个方程中x的含义相同吗？分别是什么含义?y呢？

问题2

若x,y同时满足这两个方程，用什么方式把这两个方程联立起来，即写成什么形式呢？

问题3

如果两个方程中相同字母所代表的含义相同，把它们联立起来，就组成了二元一次方程组，你能归纳出二

元一次方程组的概念吗？

问题4

根据二元一次方程组的概念回答问题：

①二元一次方程组中每个方程都必须是二元一次方程吗？

②一次方程指的是“含未知数的项的次数是1”还是“各个未知数的次数是1”?

③二元一次方程组中一定只能含有两个一次方程吗？

［处理方式］学生独立思考后小组讨论交流，小组代表发言.教师适时点拨，逐步总结出二元一次方程组的定

义（含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组）.强调定义中的两个未知数

是指两个方程共含两个未知数，一次方程可以是一元一次方程，也可以是二元一次方程.点拨性语言例如：成为二

元一次方程组应满足几个条件？

方程组：⑴{5?为聋M却W联峭整魁慨辞整个

让学生对二元一次方程组的定义进行再认识.

［设计意图］将方程返回实际问题中理解研究，体现数学与生活实际的联系.通过一个个问题的设计，将二元一

次方程组的概念进行解剖，帮助学生理解概念.

［知识拓展］1.二元一次方程组的概念也不是严格的定义.例

如:①{3????=?7：2②；？Vlo??=6.③6这三个方程组都是二元一次方程组，其中方程组②中的第一个方程只有一个

未知数；方程组③中的两个方程也都分别只有一个未知数，但它们仍然都是二元一次方程

组.为了更好地识别一个方程组是不是二元一次方程组，我们可以这样叙述：在一个方程组中，共有2个未知

数，

并且每个方程都是一次方程，这样的方程组就是二元一次方程组.

2.事实上，共含有两

个未知数的几个二元一次方程组成的方程组都是二元一次方程组，而我们最常见的

是两个二元一次方程组成的方程组.

三、二元一次方程和二元一次方程组的解

思路一

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解.如x=6,y=2是方程x+y=8

??=6,??=5,

的一个解，记作｛????==62，同样｛????==53'也是方程x+y=8的一个解.

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解.

??=5,??+??=8,

例如：｛????==35.就是二元一次方程组｛5???+?+??3=??8匚34的解.

思路二

（1）X=6,y=2适合方程x+y=8吗?x=5,y=3呢?x=4,y=4呢?你还能找出适合方程x+y=8的x.y的值吗？

（2）x=5,y=3适合5x+3y=34吗?x=2,y=8呢？

⑶你能找到一组x,y的值,同时适合方程x+y=8和5x+3y=34吗？

生1：x=6,y=2适合二元一次方程x+y=8;x=5,y=3;x=4,y=4都适合还有x=0,y=8;x=-1,y=9

生2:x=5,y=3适合二元一次方程5x+3y=34；x=2,y=8也适合.

（多媒体出示）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解.

??=6,??=5,

师:x=6,y=2是二元一次方程x+y=8的一个解，记作｛??・2’同时｛??=3也是二元一次方程x+y=8的一个解.大家

说二元一次方程有多少个解呢？

生1：很多个.

生2:无数个！

（师强调：二元一次方程的一个解不是一个值，而是一对值；一般地，二元一次方程有无数个解）

师:刚才我们找出二元一次方程的解，那么有没有一组x,y的值同时适合这两个方程呢？

??=5,

生：｛????,・5?同时适合这两个方程.

（多媒体出示概念）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解.（给两分钟时间

巩固理解概念）

［知识拓展］1.二元一次方程组的解是一对数，要将这对数代人方程组中的每一个方程进行检验，这对数

只有满足方程组中的每一个方程，这对数才能是这个方程组的解.

2.一般情况下，二元一次方程的解有无数个，而二元一次方程组的解是唯一的.但当对二元一次方程的解

??=1,

加以限制时也可能变为有限个了，如x+y=2的正整数解只有

|3课堂小结

注意’

(1)等号两边的代数式是整式；

(2)僧方两个未知数*

儿(3》所含未知数的项的次数是1

■

次{D一般地•一个二兀一次方程

方二元一次方

有无数个解；

程的解和二

(2)二元一次方禅细的解一定足

元一次方程

方保细中的任何一午方世的

组的解

聃，反之不成立

检测反馈

i•下列选项中，是二元一次方程的是()

A.7x+3y=2Bxy=9

C.x+2y*=11D.2???=2

解析:本题考查二元一次方程的定义,B选项的次数为2,C选项的最高次数为2,D选项不是整式方程，故选项

B,C,D都不是二元一次方程.故选A.

2.下列方程组中，属于二元一次方程组的是()

A(??+3??=5,B??+??=5,

<2??3??=3'<???+??=6

??+3??=1,2??3??=10

C.{??+2??=1D.{1

63=冷?-5??=

解析:本题主要考查二元一次方程组的定义,A选项共含有三个未知数；B选项是二元二次方程组；D选项

1

中??5y=6不是整式方程，不是二元一次方程组.故选C.

7??3??=11

3.下面各组数中，是二元一次方程组

{7??+・？?=g,的解的是()

??=-1,??=2,

A.{??」B.(??=4

??=4??=1

C.{??=2'。<??=6'

答案:D

??=.13??+2??=??

4.已知{??=2是二元一次方程

组{?????=■的解，则m-n的值是_____________________________________________

??=.13??+2??=????=1

解析把{??=2'代入方程组{?????=1'解得{??=-3'则m-n=1-(-3)=1+3=4.故填4.

凰板书设计

1认识二元一次方程组

1.认识二元一次方程

2.认识二元一次方程组

3.二元一次方程和二元一次方程组的解

6布置作业

-、教材作业

【必做题】

教材第106页习题5.1第1,2题.

【选做题】

教材第106页习题5.1第5题.

、课后作业

【基础巩固】

1.下列方程组是二元一次方程组的是（）

1

??■??=5,?丹??=1,

A(B-{1

??=3+??+??

初?？3

9?+?9?99=42??2??=3,

r'D.(11

C<4??2??=34??3??=5??7

2.对于二元一次方程4x-3y=7,下列说法正确的是（）

A.只有一个解

B.只有两个解

C.有无数个解

D.任何一对有理数都是它的解

??+??=2

3.二元一次方程组{?????=1'的解是（）

??=O3

??

A.-2

?

?=-

5??+7??=297

4.对于二元一次方程组甲：（9??13??=135'与二元一次方程乙:9X-13V=135的关系，下面说法正确的是

（）

A.方程组甲的解必是方程乙的解

B.方程乙的解必是方程组甲的解

C.方程组甲的解不一定是方程乙的解

D.方程组甲的解与方程乙的解完全相同

5.为了研究吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所

随机地抽查了10000人，并进行统计分析，结果显示：在吸烟

者中患肺癌的比例是2.5%，在不吸烟者中患肺癌的比例是0.5%,吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的

人数多22人，如果设这10000中，吸烟者患肺癌的人数为X,不吸烟者患肺癌的人数为y,根据题意，下面列出

的方程组正确的是（）

A严冬

2.5%??+0.5%??=10000

????=22,

????

25%+0.5%10000

??+??=10000,

C2.5%??0.5%??=22

??+??=10000,????

D{--_=22

,2.5%0.5%

【能力提升】

??=2

6.若{??=］是二元一次方程

ax+by=-2的一个解，则代数式2a-b+7二

7.若x2m-7+4y3n-2=o是二元一次方程，则m=,n=

??=2

8.请写出一个二元一次方程组：，使它的解为｛??=」

9.已知二元一次方程2X+3y+5=0.

(1)将已知方程写成用含有y的代数式表示x的形式；

(2)写出方程的三个解.

10.根据题意列出方程组.

⑴明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚,共花去20元钱，那么明明两种邮票各买了多少枚？

(2)将若干只鸡放入若干个笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放那

么有多少只鸡，多少个笼？

?97?77=17?=2"

11.已知方程组｛???????13的解为｛??=1，求(m-n)2的值.

【拓展探究】

12.已知方程仔-4*+(k+2)x+(k-6)y=k+8,则：

(1)当k为何值时，方程为关于y的一元一次方程？

(2)当k为何值时，方程为关于x,y的二元一次方程？

【答案与解析】

1.D(解析:A选项含有三个未知数,B选项的未知数x,y出现在分母上，不是整式方程,C选项的xy项为二次项.)

2.C(解析:二元一次方程的解应该有无

数个，但若加以限制可能只有有限个了.)

3.B(解析:根据二元一次方程组的解的定义，将四组值依次代入原方程组

检验即可，而检验只有选项B中x,y的

值能使二元一次方程组中的每个方程左右两边都相等.故选B.)

4.A(解析:方程组的解是组成这个方程组的各个方程的

公共解.)

5.B

??=2

6.5(解析:将｛??=」代入ax+by=2得2a-b+7=-2+7=5.)

7.41(解析:根据二元一次方程的定义可知2m-7=1,3n-2=1，故m=4,n=1.)??=2

??+2??=0,13,

8.｛2????=5，(答案不唯一)

35??=_5??=-11??=0，或

9.解:⑴由2x+3y+5=0得2x=-5-3y,所以x=-y-.⑵答案不唯，如.“彳%或：??=_5

??+??=

10.解:(1)设0.8元的邮票买了X枚,2元的邮票买了y枚，根据题意得{?1??+2??=20(2)设有X只鸡,y个

4??+1=??笼，根据题意得

{5(??1)=??

??=2

13,

??=22??-1=1??=1

11.解:将｛??=「代人原方程组得｛2+??=3解得｛??=J所以(m-n)2=0.

??-4=0,??-4=0,

12.解:(1)依题意，得｛??+2=0,即k=-2时,原方程为关于y的一元一次方程.(2)依题意，得｛??+2芋。，即k=2

??6工0,??6工0,

时,原方程为关于x,y的二元一次方程.

教学反思

事成功之处

在学习一元一次方程的基础上，延伸到二元一次方程组的学习，通过知识的类比和迁移，学生可以比较顺

利地了解二元一次方程组的相关概念.通过具体的生活情境，帮助学生从生活的角度感知数学知识的存在.

，不足之处

忽略强调二元一次方程的解有无数个(一般情况下)，忽略二元一次方程组可能存在无解现象.不强调这一点，会

加大今后理解一次函数与二元一次方程组关系的难度

♦再教设计

根据知识之间的内在联系，可以引导学生从一元一次方程相关概念出发，引导学生探索发现二元一次方

程组的概念，类比方程的解的概念，自己总结出方程组的解的概念.

工教材习题解答

随堂练习(教材第105页)

??+??=9

1.解:设小明买了面值为50分的邮票X枚，买了面值为80分的邮票y枚，依题意得廿5??+。8??=63

??=3??=6

2.解:⑵｛??=4和(4)｛??=.2是二元一次方程2x+y=10的解.

3.(3)

习题5.1(教材第106页)

1.⑴4x+7y=76(2)4(3)5

2.解：(2)是该方程组的解.

??+??=45

3.解:⑴设该班有男生X人，女生y人,则可列方程组｛??=2??9'(2)设有X个同学,y本笔记本，则可列方程

5??+8=??8??7=??

??=1??=2

4.解：(1)答案不唯一，如：｛??=.1和｛??-2

,??=1??=2??=1

⑵答案不唯一，如：｛??=不,｛??=0;(3)｛??=-1.

??=1

(4)｛??=-1.

5.解:他们所列的方程组都可以看成是正确的，产生分歧的原因是：小明设苹果每千克x元，梨每千克y元，而小

丽设梨每千克x元，苹果每千克y元.

囚备课资源

◎教学建嘤一

教学时应注意让学生理解以下几点：（1）运用类比的方法比较二元一次方程与一元一次方程的有关概念

的异同，加深对概念的理解；（2）方程思想是一种重要的数学思想，注意结合实际，从而理解方程是刻画现实世界的

有效数学模型；（3）正确理解二元一次方程及二元一次方程组的解的含义，与一元一次方程的解做好区分

找出异同；（4）学习中加强方程中“元”和“次”的认识，为以后学习中遇到的“消元”和“降次”做好基础

铺垫.

_____________________________经典例_____________________________

匚丁Q5:沙八Y芬初^??=2??=2

匕2已知下列四对数值77=11??=33；④、?=2

（1）哪几对是方程2x-y=5的解？

（2）哪几对是方程x+3y=6的解？

2????=5

⑶哪几对是方程组｛?丹3??=6的解？

〔解析〕根据二元一次方程的解的定义和二元一次方程组的解的定义进行验算解：。）①和②是方程2x-y=5的

解.

（2）①和③是方程x+3y=6的解.

（3XD是方程组｛?????=?5,6的解.

［注意事项］二元一次方程组的解是方程组中各个方程的公共解，因此在检验方程组的解时，应对每个

方程进行检验，而初学者往往只会对其中的一个方程进行检验，而忽略对方程组中其他方程的检验.

2求解二元一次方程组

F知识写技能r

会用代人消元法和加减消元法解二元一次方程组

了解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会化未知为已知的化归思想培养学生探索尝试的创新精神.

（♦）教学重难点

【重点】解二元一次方程组的两种基本方法

【难点】二元一次方程组转化为一元一次方程.

第JJ果时

昆整体设对

炸_L教学目标

阴识与碾

会用代人消元法解二元一次方程组.

培养学生独立思考问题的能力，同时能对复杂的问题有计划、有步骤地处理

rw态5颉诃

在探索新知的过程中，体会数学的趣味性，进而养成善于思考、勤于钻研的好习惯

a教学重难点

【重点】用代人消元法解二元一次方程组的基本步骤.

【难点】在解题过程中体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想

炸1教学准备

【教师准备】预想学生学习中可能遇到的问题.

【学生准备】复习二元一次方程组的相关概念.

囚教学过程

匡新课导入

导入一：

上节课我们讨论了老牛和小马驮的包裹谁的多的问题，经过大家的共同努力，得出了二元一次方程组

????2

{?v］=2（??（）到底谁的包裹多呢？这就需要解这个二元一次方程组•一元一次方程我们会解，二元一次方程组

如何解呢？（课件展示问题）

［处理方式］小组展开讨论，完成自主学习.

［设计意图］通过提出这个实际问题，得出解方程组的必要性.充分调动学生的积极性，发挥团结合作，激发

学生学习兴趣.

导入二：

大家都喜欢吃水果，老师这里也买了一些苹果和梨，请大家帮老师算算水果的质量（课件展示）：

市场上1斤苹果售价3元，1斤梨售价2元,老师买了苹果X斤，梨y斤,共用了18元钱，则苹果和梨之间的

等量关系是什么？

［处理方式］学生畅所欲言，在表达自己的想法的过程中发现无法得出确切的水果质量

生1：苹果的总价+梨的总价=18元.

生2:我可以列方程为3x+2y=18.

师:那老师增加一个条件，如果买了苹果4斤,你又能列出什么样的关系式？

??=4

生:可以列方程组为｛3??+2??=18

师:你能求出具体的质量了吗？

生:可以，把x=4代入到第二个方程中，即可求出未知数y的值,也就可以得出苹果及梨的具体质量

［设计意图］通过解决相关题目使学生感受要想求出两个未知数的值，必须先知道其中一个未知数的值

这样设计为下面用代入消元法解二元一次方程组打下基础：即消去一个未知数，转化为一元一次方程去解.同

时情境的创设贴合实际，可以激发学生的求知欲.

陋新知构建_______________________________

［过渡语］我们怎样解二元一次方程组呢？

一、解二元一次方程组

思路一

问题1

在老牛和小马的问题中，二元一次方程组是怎样变成一元一次方程的？

问题2

在这个变化的过程中未知数的个数发生了怎样的变化？

问题3

求出一个未知数的值后，第二个未知数的值可如何求出？

【学生活动】学生独立完成.小组交流上面三个问题.二元一次方程组有两个未知数，如果消去其中的

一个未知数，就可以将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，就可以求解了，那么我们究竟怎么转

化呢？我们发现由方程x-y=2可以得到y=x-2把它代入到方程X+1=2（y-1）中，将方程X+1=2（y-1）中的y换

为x・2,这个方程就化为一元一次方程了.这样便将我们不会解的方程组转化为我们会解的方程了

［设计意图］通过自学老牛和小马的问题，锻炼学生的自学能力，让学生经历利用代人消元法将方程组转化为

方程的过程.

展示交流解题方法：

????=2①

解：｛""，①（为了书写方便，先标上序号）

??+1=2（??1）.②

由①得y=x-2.③（变形，用含x的代数式表示y）

将③代人②得x+1=2（x-2-1）,（将二元一次方程转化为一元一次方程）

解得x=7.（解一元一次方程，求出x的值）

把x=7代入③，得y=5.（再代人求y的值）

??=7

所以原方程组的解为（??=5,（总结，写出方程组的解）

所以老牛驮了7个包裹，小马驮了5个包裹.

［设计意图］运用数学中“化未知为已知”的化归思想，使问题得到解决，培养学生的自主探索意识、合作

交流的精神，启发学生并跟学生一起探讨“化未知为已知”的方法，这样进行教学既能及时发现学生的闪光点，又

能培养学生良好的合作关系，提高学生的学习兴趣.

师:在解上面的二元一次方程组时，我们是将其中的一个方程变形，即用其中一个未知数的代数式表示另一个

未知数，然后代入第二个未变形的方程中，从而由“二元”转化为“一元”而达到消元的目的.我们将这

种方法叫代人消元法.这种解二元一次方程组的思想为消元思想

思路.

代入法的基本思路是：通过“代入”达到“消元”(即消去一个未知数)的目的，从而将解二元一次方程组转化

为解一元一次方程.

代人法的一般步骤：

2????=5①

下面以方程组｛'为例具体说明如下：

3??+4??=2②

第一步：由方程①得到y=2x-5;

第二步:将y=2x-5代人②中，得到3x+4(2x-5)=2;

第三步：由3x+4(2x-5)=2,解得x=2;

??=2

第四步:将x=2代入y=2x-5,求得y=-1,得到原方程组的解为｛??=_1

由上例可总结出代人法的一般步骤为：

(1)选择较简单的方程，用其中一个未知数表示另一个未知数，写成x=……或丫=……的形式.

(2)...................................代人:将⑴中*=或丫=代入另一个方程中，消去一个未知数.

(3)求其中一个未知数的值：解(2)中的一元一次方程，求出一个未知数的值.

⑷求另一个未知数的值：将求出的一个未知数的值代入方程组中的任一方程，可求出另一个未知数的值

也可代入(1)中得到的x=.........或y=……中.

(5)写出方程组的解.这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代入法.

［设计意图］通过探究，使学生初步感知用代入法解二元一次方程组的基本思路，为下面例题的解答奠

定良好的基础.

、例题讲解

3??+2??=14,①

例1解方程组（

??=??+3.②

解:将②代人①，得3(y+3)+2y=14,

3y+9+2y=14,5y=5,y=1.

将y=i代入②得x=4.

99=

所以原方程组的解是｛4：??=

【思考】⑴将y=x-3代人①可以吗？

(2)还有其他的代入方法吗？

(3)在代入的过程中要注意什么？

2??+3??=16,①

解方程组｛

??+4??=13.@

解:由②得x=13-4y,③将③代人①，得2(13-4y)+3y=16,26-8y+3y=16,_5y=_10,y=2.

将y=2代入③得X=5.