2023-2024学年湖南省常德市汉寿一中高二（上）期末数学试卷

湖南省常德市汉寿县第一中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题一、单选题1．一质点的运动方程是，则在时间内相应的平均速度为（

）A． B． C． D．2．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（

）A． B． C． D．3．若数列满足，且，则（

）A．－1 B．2 C． D．4．已知空间四边形ABCO中，，，，M为OA中点，点N在BC上，且，则等于（

）A． B．C． D．5．已知抛物线的焦点为，点，线段与抛物线相交于点，且，则实数的值为（

）A． B． C． D．6．若直线与直线平行，则的值为（

）A． B．C．或 D．1或7．如图，方格蜘蛛网是由一族正方形环绕而成的图形．每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上，且分边长为．现用米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网，若最外边的正方形边长为米，由外到内顺序制作，则完整的正方形的个数最多为（参考数据:）A．个 B．个 C．个 D．个8．是椭圆的两个焦点，P是椭圆C上异于顶点的一点，I是的内切圆圆心，若的面积等于的面积的3倍，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知等差数列和等比数列的各项均为正数，，且，则下列选项中一定成立的有（

）A． B． C． D．10．下列导数运算正确的是（

）A． B．C． D．11．在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台是一个侧棱相等、高为2的“刍童”，其中，则（

）A．该“刍童”的表面积为B．该“刍童”中平面C．该“刍童”外接球的球心到平面的距离为D．该“刍童”侧棱与平面所成角的正弦值为12．已知椭圆，双曲线（，），椭圆与双曲线有共同的焦点，离心率分别为，，椭圆与双曲线在第一象限的交点为且，则（

）A．若，则B．的最小值为C．的内心为，到轴的距离为D．的内心为，过右焦点做直线的垂线，垂足为，点的轨迹为圆三、填空题13．设是可导函数，且，则．14．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点，P为圆上一动点(异于点B)，求的最大值.15．已知＝(0,－5,10)，＝(1,－2,－2)，＝4，＝12，则＝.16．已知数列，满足，则四、解答题17．已知正数数列前项和为，且任意，与2的等差中项等于与2的正的等比中项．（1）求，，；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．18．已知圆，圆．(1)证明：圆与圆相交，并求出圆与圆的公共弦所在直线l的方程；(2)过直线l上一点作圆的切线，切点分别为A，B，求四边形的面积．19．已知点是抛物线C：上的点，F为抛物线的焦点，且，过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B.（1）求抛物线C的方程；（2）若，求直线l的斜率.20．如图，在空间直角坐标系中，是圆的直径，，求二面角的余弦值.21．已知在数列中，(1)求数列的通项公式；(2)若数列的通项公式在和之间插入k个数，使这个数组成等差数列，将插入的k个数之和记为，其中，2，…，n，求数列的前n项和．22．已知双曲线的离心率为，A、F分别为左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B，的面积为(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，，求实数的取值范围.参考答案：1．D【解析】由平均变化率的定义计算．【详解】.故选：D．2．C【分析】根据给定条件，求出直线l的斜率，进而求出倾斜角即可计算作答.【详解】直线的斜率为，而直线与直线垂直，于是得，而，则，所以.故选：C3．A【分析】根据递推公式求出的周期即可.【详解】由题意，，又，是周期为3的周期数列，.故选：A.4．D【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算法则，即可求解．【详解】如图所示：点N在BC上，且，∴，由，，，为中点，，，．故选：D．5．B【分析】画出图象，结合图象以及抛物线的定义，计算，由此确定正确选项.【详解】如图：由题意可知，设准线与轴的交点为，不妨设在第四象限，，，在线段上，设，在中，，故，作准线于，轴于，，即，，，，故选：B【点睛】有关抛物线的题目，可考虑结合抛物线的定义来进行求解.6．C【分析】若直线∥直线，则，代入数值计算即可.【详解】直线与直线平行，,或.故答案为：或7．B【分析】根据条件可得由外到内的正方形的边长依次构成等比数列，再根据等比数列求和公式得这些正方形的周长，列不等式，解得结果.【详解】记由外到内的第个正方形的边长为，则..令，解得，故可制作完整的正方形的个数最多为个.

应选B.【点睛】本题考查等比数列求和公式以及解指数不等式，考查基本分析化简求解能力，属中档题.8．B【分析】设出点的坐标，根据内切圆半径公式表示出，然后再根据两个三角形的面积关系求出.【详解】设椭圆方程为：如图，设三角形的周长为，由椭圆的定义可得，又，解之：故选：B9．BC【分析】先根据条件得到，且，然后通过计算确定，的正负即可.【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为等差数列和等比数列的各项均为正数，且，所以，又，所以，所以，又，解得所以，所以，A错误，B正确；又所以，C正确，D错误.故选：BC.10．AC【分析】利用基本函数和复合函数的求导法则求解即可.【详解】选项A，，故A正确；选项B，，故B错误；选项C，，故C正确；选项D，，故D错误.故选：AC.11．ACD【分析】对于A，把两个相邻的侧高求出来，然后就可以求侧面积，最终求表面积验算即可；对于B，可以证明与不垂直，即可推翻结论（结合线面垂直的性质）；对于C，建立适当的空间直角坐标系，可设，由，即，求出的值即可；对于D，由线面角的正弦值的向量公式进行验算即可.【详解】设上下两底面的中心分别为，的中点为，的中点为，由题意面，设分别为的中点，则，而面，所以，所以两两垂直，所以以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：对于A，因为，过点作于点，则，，所以，同理过点作于点，则，，所以，所以侧面面积之和为，而上下底面之和为，所以该“刍童”的表面积为，故A正确；对于B，由题意知四边形为矩形，，，但，这表明了与不垂直，所以不垂直平面（否则由线面垂直的性质得，导出矛盾），故B错误；对于C，由对称性可知该“刍童”外接球的球心在直线上，不妨设它为，而，所以，由，即得，，解得，所以该“刍童”外接球的球心到平面的距离为，故C正确；对于D，因为，所以，又面，故取平面的法向量为，不妨设该“刍童”侧棱与平面所成角为，则该“刍童”侧棱与平面所成角的正弦值为，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：关键是对于A选项的判断，先求相邻面的侧高，对于CD选项的判断可以关键是用空间向量来验算.12．AC【分析】由椭圆、双曲线定义及余弦定理得到，即可判断A；再由离心率公式及基本不等式“1”的代换求最小值判断B；根据圆切线的性质及双曲线定义求双曲线与轴切点横坐标判断C；延长交于，若为中点，连接，根据已知易得为平行四边形，令有，结合已知条件判断D.【详解】若椭圆、双曲线半焦距为，则，且分别为左右焦点，中，令，则，，所以，则，上式消去，得，而，若，即，则，A对；由上知，故，当且仅当，即时取等号，B错；若为内切圆与各边切点，如下图，则，又，所以，即切点为双曲线右顶点，有轴，所以到轴的距离为，C对；延长交于，若为中点，连接，由题意且平分，故为等腰三角形且，所以，在中为中位线，则，且，故为平行四边形，令，则，所以，又在第一象限且不定，故点的轨迹不为圆，D错.

故选：AC【点睛】关键点点睛：利用椭圆、双曲线定义、余弦定理得到判断A、B的关键，由圆切线性质和双曲线定义判断C的关键，找到点与某定点的距离并写出方程为关键.13．6【详解】=3=.故答案为6.14．2【分析】设点，列出的表达式并整理，令，转化成直线与圆有公共点即可计算作答.【详解】设点，则，于是得，令，即有，显然直线与圆有公共点，则，整理得，解得，得，所以的最大值为2.故答案为：215．120°/【分析】利用空间向量数量级的运算律可得，再由已知及空间向量数量积的定义求即可【详解】由题设，，∴，又＝(1,－2,－2)，＝12，∴，又∈[0°,180°]，∴＝120°.故答案为：120°16．【分析】根据已知条件可得，，进而求结果.【详解】由，则,，两式作差，得,，所以，故.故答案为：17．（1），，；（2）．见解析【分析】（1）化简得到，分别取，，代入计算得到答案.（2）猜测，再利用数列归纳法证明：时成立，假设时成立，再利用时，得到，计算得到答案.【详解】（1）与2的等差中项等于与2的正的等比中项，即当时，；当时，当时，（2）猜想当时，，满足假设时满足，即则当时，解得，故时也成立.综上所述：【点睛】本题考查了数列的通项公式，数学归纳法，意在考查学生对于数学归纳法的掌握情况.18．(1)证明见解析；(2)8【分析】（1）将两圆化成标准式，判断圆心距与半径的关系可证相交，两圆的方程直接作差可求公共弦方程；（2）由（1）求得，判断在圆外，先求出，结合勾股定理求出，再由即可求解.【详解】（1）圆的方程配方可得，圆心，半径，圆的方程配方可得，圆心，半径，所以两圆心的距离，，，所以，所以，圆与圆相交．将方程与相减，得：，所以圆与圆的公共弦所在直线的方程为；（2）由（1）可得，代入圆的方程，，因为所以，所以，，即四边形的面积为8．19．（1）；（2）1或.【解析】（1）由焦半径公式求得，得抛物线方程；（2）设，直线方程为，代入抛物线方程后由韦达定理得，然后由焦点弦长公式可求得．【详解】（1）由题意，，∴抛物线方程为；（2）由（1）知焦点为，若直线斜率不存在，则，不合题意，因此设直线方程为，由得，设，则，，解得或．【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式，焦点弦长，掌握抛物线的定义是解题关键．20．.【分析】根据空间直角坐标系得出各点坐标，向量坐标，由二面角的向量求解方法可求得答案．【详解】由题意可知.，，.设平面的一个法向量为，则即.，令，则，∴平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为，则即，令，则，平面的一个法向量为..由题图可以判断二面角的平面角为钝角，∴二面角的余弦值为.【点睛】本题考查二面角的空间向量求解方法，属于中档题．21．(1)(2)【分析】（1）方法1：根据递推关系式，先变形；再采用累积法求数列通项公式；方法2：根据递推关系式，先构造出等比数列，再求数列通项公式.（2）先求出数列的通项公式，再根据通项公式的特点利用错位相减法求前n项和.【详解】（1）方法1：，∴，∴当时，∴又也适合上式，∴；方法2：∵，∴，又，故