安徽省滁州市南谯区滁州市第六中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析）

滁州六中期中卷八年级教学素养测评数学说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）1．若方程是关于x的一元二次方程，则“”可以是（

）A． B． C． D．2．当时，下列二次根式没有意义的是（

）A． B． C． D．3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．4．已知在中，、、所对的边的长分别是a、b、c，根据下列条件不能判定为直角三角形的是（

）A． B．C．，， D．5．下列计算中，正确的是（

）A． B．C． D．6．如图，木门的对角线长度（

）A．在之间 B．在之间C．在之间 D．在之间7．“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆728人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（

）A． B．C． D．8．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（

）A． B．C． D．9．如图，中，，现将沿进行翻折，使点A刚好落在，则的长为（）A． B． C．2 D．10．勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25…这类勾股数的特点为勾为奇数，弦与股相差1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17…若此类勾股数的勾为（m为正整数），则股是（结果用含m的式子表示）（

）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．11．方程转化为一元二次方程的一般形式是．12．化简：＝．13．若a是方程的根，则的值为．14．为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地．（1）若班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为，，，则这块试验基地的面积为（2）八（2）班的劳动试验基地的三边长分别为，，（如图），则的面积为．三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．解方程：．16．知识链接：我们利用平方差公式可以计算形如的运算．例：．请仿照例子计算：．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变，已知A、B、F三点在一条直线上，且于点F，若米，米，米，求男子向右移动的距离．18．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围；(2)当取最大的整数时，求原方程的两个根．五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．中国空间站的建造和运营，是我国载人航天工程的重要里程碑，也是我国太空探索的新起点．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．(1)若每个模型降价4元，平均每天可以售出______个模型；(2)在每个模型盈利不少于25元的前提下，要使销售“中国空简站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？20．为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图，现从A地分别向，，三地修了三条笔直的公路，，，地、地、地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从地修了一条笔直的公路与公路在处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米．(1)求公路，的长度．(2)若修公路每千米的费用是万元，请求出修建公路的费用．六、解答题（本题满分12分）21．图，分别以a，b，m，n为边长作正方形．

(1)若，，求图1中两个正方形的面积之和；(2)若，，求图2中的长；(3)已知且满足，．若图1中两个正方形的面积和为2，图2中四边形的面积为3，求的面积．七、解答题（本题满分12分）22．观察下列等式：①；②；③；…解决下列问题：(1)根据上面3个等式的规律，写出第⑥个式子．(2)用含n（n为正整数）的式子表示上面各个等式的规律．(3)利用上述结果计算：．八、解答题（本题满分14分）23．定义：连接三角形的一个顶点和其对边上一点，若所得线段能将该三角形分割成一个等腰三角形和一个直角三角形，则称该线段为原三角形的“妙分线”．(1)如图1，在中，，，D为垂足，为的“妙分线”．若，则长为______；(2)如图2，在中，，，D是延长线上一点，E为上一点，，连接并延长交于点F，平分，分别交，于点G，H，连接．求证：是的“妙分线”；(3)如图3，在中，，．若为的“妙分线”，直接写出的长．

参考答案与解析1．C【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案：【解答】A、，是一元一次方程，故此选项不符合题意；B、，是一元一次方程，故此选项不符合题意；C、，是一元二次方程，故此选项符合题意；

D、，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．故选：C．2．D【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确利用二次根式有意义的条是解题关键．根据二次根式有意义：二次根式中的被开方数必须是非负数，进而得出答案．【解答】解：当时，，在实数范围内有意义，不符合题意；，在实数范围内有意义，不符合题意；，在实数范围内有意义，不符合题意；，无意义，符合题意；故选：D．3．C【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可．【解答】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意；B、与不是同类二次根式，不符合题意；C、，与是同类二次根式，符合题意；D、，与不是同类二次根式，不符合题意；故选：C．【点拨】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．4．A【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度可判断A、B；如果一个三角形中，两较小边的平方和等于最大边的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可判断C、D．【解答】解：A、∵，，∴，，∴不是直角三角形，故A符合题意；B、∵，，∴，∴，∴是直角三角形，故B不符合题意；C、∵，，，∴，∴是直角三角形，故C不符合题意；D、∵，∴，∴，∴是直角三角形，故D不符合题意；故选：A．5．C【分析】根据二次根式运算法则逐项进行计算即可．【解答】解：A.，原选项错误，不符合题意；B.和不是同类二次根式，不能合并，原选项错误，不符合题意；C.，原选项正确，符合题意；D.，原选项错误，不符合题意；故选：C．【点拨】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练运用二次根式运算法则，进行准确计算．6．A【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出木门的对角线长度是解题的关键．由勾股定理求出木门的对角线长度，即可解决问题．【解答】由题意可知，木门为矩形，高为，宽为，∴木门的对角线长度．∵，∴．故选：A．7．D【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于，列方程即可．【解答】解：设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为，故选D．8．D【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，根据面积公式，逐项推理论证判断即可．【解答】解：A．大正方形面积为：，也可以看做是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意；B．梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意；C．大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，∴故本选项不符合题意；D．图形中不涉及直角三角形，故无法证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．9．A【分析】将沿进行翻折，使点A刚好落在上，则，，在直角中，根据勾股定理，即可得到一个关于CD的方程，即可求得．【解答】解：设，则，在中，，，在中，即：解得：，故选：A．10．B【分析】本题考查了勾股数，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．根据题意得为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】∵m为正整数，∴为偶数．设此类勾股数的股是a，则弦为．根据勾股定理得，解得．故选：B．11．【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式)．这种形式叫一元二次方程的一般形式．首先利用多项式乘以多项式把等号左边展开，然后移项，把等号右边化为0，再化简即可．【解答】解：∵，∴，故答案为：．12．【分析】先利用二次根式的性质进行化简，然后计算求值即可得到答案.【解答】解：故答案为：【点拨】本题主要考查了利用二次根式的性质化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握二次根式的性质.13．2027【分析】本题考查一元二次方程的解以及代数式求值，运用整体代入思想是解决此问题的关键．把代入已知方程，并求得，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可．【解答】∵a是方程的根，∴，∴，∴．故答案为：2027．14．【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用；（1）利用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，进而求解即可；（2）过作交于点．设，则，利用勾股定理分别求得、、即可求解．【解答】（1）解：∵，∴该三角形为直角三角形，其中为斜边，∴这块试验基地的面积为，故答案为：；（2）解：过作交于点．设，则．在和中，由勾股定理得，解得，在中，由勾股定理得,∴．故答案为：．15．【分析】本题考查解一元二次方程，运用因式分解法求解即可．【解答】解：，左边因式分解得：，移项得：，因式分解得：，即，∴或，解得：．16．【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的乘法运算及平方差公式是解题的关键．先将和分别提取公因式和，，再根据平方差公式和二次根式的乘法运算法则计算，即得答案．【解答】原式．17．男子向右移动的距离为7米【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：，米，米，在中，米.（米），在中，米，（米）.即男子向右移动的距离为7米.18．(1)；(2)；．【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程：（1）根据一元二次方程根的判别式，列不等式即可；（2）由（1）求出k，代入原方程，解方程即可．【解答】（1）解：∵方程有两个不相等实数根∴即，∴，解得：；（2）解：∵，且取最大的整数，∴，∴原方程为：，∴，即，解得：；．19．(1)28(2)每个模型应降价10元【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数混合运算的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）利用每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个，列式计算即可；（2）设每个模型应降价元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个，利用总利润每个的销售利润日销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】（1）解：根据题意得：（个），若每个模型降价4元，平均每天可以售出28个模型故答案为：28．（2）设每个模型应降价元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个，根据题意得：，整理得：，解得：，，每个模型盈利不少于25元，．答：每个模型应降价10元．20．(1)7千米，千米(2)修建公路的费用为万元【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键．（1）利用勾股定理即可求解；（2）利用三角形的等面积方法即可求解．【解答】（1）解：∵，千米，千米，∴（千米）．∵千米，∴千米，∴（千米）．（2）∵，∴，解得千米，∴修建公路DH的费用为（万元）21．(1)(2)4(3)1【分析】本题考查了勾股定理的应用，完全平方公式．熟练掌握勾股定理是解题的关键．（1）由题意知，图1中两个正方形的面积之和为，计算求解即可；（2）由题意知，，，则，由勾股定理求，，，根据，计算求解即可；（3）由题意知，，，，，整理可求，则，计算求解即可．【解答】（1）解：由题意知，，∴图1中两个正方形的面积之和为；（2）解：