c第3章 稳恒电流

§3.1电流的稳恒条件和导电规律第三章稳恒电流§3.2

电源及其电动势§3.3简单电路§3.4复杂电路§3.1电流的稳恒条件和导电规律一、电流二、电流强度三、电流密度

四、电流的连续性方程稳恒条件

五、欧姆定律的微分形式六、电功率焦耳定律

七、金属导电的经典微观解释八、两种导体分界面上的边界条件一、电流1.传导电流（2）电解质溶液或电离气体中正、负离子的宏观定向移动。

2.运流电流单个或多个电荷在空间的定向移动（或运动）。如：分子中电子绕核的运动，等效为圆形电流。分子的等效电流称为分子电流或安培电流。（在磁场部分将会遇到)（1）金属中的自由电子在外电场的作用下的宏观定向移动。二、电流强度1.大小：单位时间内通过导体某一横截面的电量。2.方向：正电荷运动的方向3.单位：安培(A)4.若电流强度与时间无关——稳恒电流三、电流密度

需要引入描述电流的空间分布的物理量——电流密度电流场：导体内每一点都有对应的1、电流密度的大小等于从垂直于电场方向的单位截面上流过的电流强度。2、单位：四、电流的连续性方程稳恒条件

根据电荷守恒定律，在某段时间内S面内电量的减少就等于在这段时间内由此面流出的电量。1.电流的连续性方程——电流的连续性方程

在导体内任取一闭合曲面S。

设dt时间内包含在s面内的电量增量为:，则在单位时间内s面内的电量减少为:。而在单位时间内从S面流出的电量为：

含义:如果闭合面S内正电荷积累起来，则流入S面内的电量必大于流出S面的电量。或者说，进入S面的电流线多于从S面出来的电流线，多余的电流线便终止于正电荷积累的地方。若流入S面内的电量等于流出S面的电量，则有

表明电流线连续地穿过闭合曲面包围的体积。因此稳恒电流的电流线不可能在任何地方中断。

2.电流的稳恒条件——电流的稳恒条件表示电流线是起始于或终止于电荷发生变化的地方。当导体两端有电势差时，导体中就有电流通过。G——电导（单位：西门子s

）

——电阻（单位：欧姆Ω）※①欧姆定律对金属或电解液成立②对于半导体、气体等不成立，③对于一段含源的电路也不成立五、欧姆定律的微分形式1、欧姆定律IR

一段导体中的电流I与其两端的电势差U(=U1-U2)成正比——一段均匀电路的欧姆定律，其积分形式为：或:电阻率（1）粗细均匀的导体:电导率2、电阻（2）粗细不均匀或电阻率不均匀的导体电阻率:

一般金属导体随着温度升高电阻率增大，不同的材料，温度升高时电阻率增大的程度也不同。通常温度下，电阻率ρ与温度t（℃）的关系为ρ=ρ0·(1+αt)

式中ρ、ρ0分别是t℃和0℃时的电阻率，α称电阻温度系数，它与导体材料有关。利用这一特性可制成金属电阻温度计——常用铂丝制成，测量范围约为–263℃~1000℃左右。电阻率的数量级：纯金属：10-8W.m；半导体：10-5~10-6W.m合金：10-6W.m；绝缘体：108~1017W.m应用：R小——用来作导线R大——用来作电阻丝小——制造电工仪表和标准电阻大——金属电阻温度计[例3-1]有一长度为L，内半径为R1，外半径为R2的金属圆柱筒，其电阻率为ρ。假设圆柱筒上端的电势高于下端的电势，且它们的电势差为U时，求:圆柱体中沿轴向的电流为多少？R1R2L解：圆柱筒的电阻为圆柱体中沿轴向的电流为[例3-2]有一长度为L，内半径为R1，外半径为R2的金属圆柱筒，其电阻率为ρ。假设圆柱筒内缘的电势高于外缘的电势，且它们的电势差为U时，求圆柱筒中沿径向的电流为多少？※在电力工程中常利用上式来计算同轴电缆的径向漏电流。R1R2drrL则微元圆柱面的电阻dR为：解：取微元圆柱面（r,r+dr,L），则圆柱面的面积为S=2πrL解：取半圆形微元（r，dr)aI跨步电压

[例题3-3]一半径为的半球形电极埋在大地里，大地视为均匀的导电介质，其电导率为，求:接地电阻。若通有电流I，求半径为与两个半球面的电压。3、欧姆定律的微分形式

在导体内取一个圆柱形微元

故：导体中任意一点的电流密度与该点处的电场强度成正比，两者方向一致。-------即为欧姆定律的微分形式

aI另解[例题3-3]一半径为的半球形电极埋在大地里，大地视为均匀的导电介质，其电导率为，求:接地电阻。若通有电流I，求半径为与两个半球面的电压。解：取半圆形微元（r，dr)六、电功率焦耳定律

即电功率等于电路两端的电压和通过电路的电流强度的乘积。功的单位为焦耳，功率的单位为瓦特。1.电功率

若电路两端的电压为U，则当电荷q通过这段电路时，电场力所做的功为A=qU。因为q=It，所以A=UIt。电场在单位时间内所做的功，叫做电功率。如果用P表示电功率，那么可得

如果电路中除了电阻外还有电动机、电解槽等其它转换能量的装置时，电功和电热、电功率和热功率各不相等，必须分别利用自己的公式计算。而且A>>Q,P>>Pr。2.焦耳定律

如果一段电路只包含电阻，而不包含电动机、电解槽等其他转换能量的装置，那么电场所做的功全部转化成热。即A＝UIt＝Q＝I2Rt

＝(U2/R)tP＝A/t＝UI

＝Q/t＝I2R＝U2/R一段电路上消耗的电功：A＝UIt

电热：Q＝I2Rt

对应的电功率：

P＝A/t＝UI热功率：Pr

＝Q/t＝I2R3.焦耳定律的微分形式IR热功率密度故：热功率密度与电场强度的平方成正比焦耳定律的微分形式七、金属导电的经典微观解释

式中为电子在连续两次碰撞之间的平均自由飞行时间。

如果将金属导体放入电场以后，每个自由电子的轨迹将逆着电场发生“漂移”。而自由电子的总速度是它的热运动速度和因电场产生的附加定向速度的叠加结果，前者的矢量平均仍为0，后者的平均叫做漂移速度。正是这种宏观上的漂移运动形成了宏观电流。

自由电子在电场中获得的加速度为:

电子在电场力的作用下从零开始作匀加速运动，到下次碰撞之前，获得的定向速度为:

因为e、m、、都与电场强度无关，故上式说明了自由电子的漂移速度与成正比。

和气体分子运动论中一样，电子的平均飞行时间（即平均碰撞速率的倒数）与其平均自由程和平均热运动速率的关系为

在一个平均自由程内电子的漂移速度等于自由程起点的速度和终点的末速度的平均，即所以：(1)平均漂移速度的大小设金属导体内每个载流子电量为q，载流子数密度为n矢量式与同向与反向说明：（2）则单位时间内通过dS⊥电流为：

金属中自由电子的数密度n是常数，与无关，因此金属导体内的电流密度与场强成正比，这就是欧姆定律的微分形式。由此可以看出电导率

把式（1）代入式（2），得

这样，我们就用经典的电子理论证实了欧姆定律，并导出了电导率与微观量平均值之间的关系式。（1）（2）由稳恒条件：由场强环路定律：电流线的折射定律八、两种导体分界面上的边界条件§3.2

电源及其电动势一、电源电动势二、稳恒电路中的稳恒电场三、电源的路端电压四、一段含源电路上两点间的电势差一、电源电动势BA++++----+q-q非静电力电源——提供非静电场力的装置，或称电泵。×演示为非静电场场强电动势等于将单位正电荷从电源负极沿内电路移到正极过程中非静电场力做的功。×注意：电动势与电势,一字之差二、稳恒电路中的稳恒电场

稳恒电场——由并非静止、只是空间分布保持恒定的电荷产生的电场。而

路端电压是静电场力把单位正电荷从正极移到负极所做的功，即:三、电源的路端电压

这里的积分路径是任意的。我们选择一个积分路径让其通过电源内部。根据式:四、一段含源电路上两点间的电势差一段含源电路。。计算、两端的电势差而例：1.不含源的简单电路：2.闭合电路：——简单电路的欧姆定律——闭合电路的欧姆定律讨论：规定：II-IRIR。。2.并联1.串联§3.3简单电路§3.4复杂电路一、复杂电路的定义1.支路2.节点3.回路二、基尔霍夫电路定律1.第一定律——节点电流定律2.第二定律——回路电压定律一、复杂电路的定义一个复杂电路是由多个电源和多个电阻复杂联接而成的。1.支路2.节点3.回路

通常把电源和电阻串联而构成的通路叫支路，在支路中电流强度处处相等。三条或更多条支路的联接点叫做节点或分支点。几条支路构成的闭合通路叫回路。复杂电路中，各支路的联接可形成多个节点和多个回路。二、基尔霍夫电路定律1.第一定律——节点电流定律2.第二定律——回路电压定律说明：正负号按前面规定确定。3、独立节点电流方程与独立回路电压方程的个数总和等于电路中未知电流的个数（支路的条数），解此方程组可求出电路上的所有电流。小结：1、若复杂电路中有n个节点，则可列n－1个独立的节点电流方程；2、若复杂电路有m条支路，则可列m-(n-1)个独立的回路电压方程。也可用“网孔法”确定独立回路电压方程个数。[例题3-2]如图所示，已知：ε1=20V，ε2=18V，ε3=7V，r1=r2=r3=1Ω，R1=6Ω，R2=4Ω，R3=2Ω，求各支路电流I1

、I2

、I3及Uab.

abε3r3R3R2ε2r2ε1r1R1分析：

复杂电路有两个节点，三条支路。可列三个方程，其中包括一个节点电流方程，两个回路电压方程。abε3r3R3R2ε2r2ε1r1R1设I1、I2流入节点a取负，I3流出节点a取正节点a：－I1－I2＋I3=0①I3I1I2解：回路①：－I2(R2+r2)+ε2+I1(R1+r1)－ε1=0