2023-2024学年高二数学2019选择性试题2.1圆的方程（八大题型）（原卷版）

2.1圆的方程课程标准学习目标本章以“圆”为载体，再次实践和感悟运用解析几何思想研究问题的一般思路．通过本章的学习，学生将在类比直线的研究方法的基础上，进一步体会和掌握在平面直角坐标系中建立圆的方程，进而运用方程研究圆的几何性质及直线和圆、圆和圆的相互位置关系，体会数形结合的思想，逐步形成用代数方法解决几何问题的能力．1、理解并掌握确定圆的几何要素．2、理解并探求圆的标准方程和一般方程．3、理解并掌握圆的标准方程和一般方程的求法．4、理解并掌握点与圆的位置关系.知识点01圆的标准方程，其中为圆心，为半径．知识点诠释：（1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点：（2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点．（3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法．【即学即练1】（2023·全国·高二专题练习）已知点，求(1)过点A，B且周长最小的圆的标准方程；(2)过点A，B且圆心在直线上的圆的标准方程.知识点02点和圆的位置关系如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有（1）若点在圆上（2）若点在圆外（3）若点在圆内【即学即练2】（2023·高二课时练习）点与圆的位置关系是（）A．在圆外 B．在圆上C．在圆内 D．与a的值有关知识点03圆的一般方程当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径．知识点诠释：由方程得（1）当时，方程只有实数解．它表示一个点．（2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．（3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆．【即学即练3】（2023·河南周口·高二校考阶段练习）在平面直角坐标系中，四点坐标分别为，若它们都在同一个圆周上，则a的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．知识点04轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．3、求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；（2）列出关于的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；（5）作答．【即学即练4】已知，，动点M满足，则点M的轨迹方程是．题型一：圆的标准方程例1．（2023·全国·高二专题练习）已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（

）A． B．C． D．例2．（2023·甘肃临夏·高二校考阶段练习）已知圆C的圆心在y轴上，且经过，两点，求圆C的标准方程.例3．（2023·高二课时练习）求满足下列条件的圆的标准方程：(1)经过点，圆心为点；(2)经过点，且圆心在y轴上.变式1．（2023·全国·高二专题练习）求经过点和坐标原点，并且圆心在直线上的圆的方程．变式2．（2023·全国·高二专题练习）已知圆C的半径为，圆心在直线上，且过点，求圆C的标准方程.变式3．（2023·高二单元测试）已知直线过点且与直线垂直，圆的圆心在直线上，且过，两点．(1)求直线的方程；(2)求圆的标准方程．变式4．（2023·河北保定·高二校考期中）求满足下列条件的圆的标准方程．(1)圆心在轴上，半径为5，且过点；(2)圆心在直线上，且与直线相切于点；【方法技巧与总结】一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径．确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心和半径r，一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为；（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；（3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．题型二：圆的一般方程例4．（2023·全国·高二专题练习）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（

）A． B．C． D．例5．（2023·天津和平·高二统考期末）三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（

）A． B．C． D．例6．（2023·全国·高二专题练习）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（）A． B．C． D．变式5．（2023·全国·高二专题练习）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（

）A． B．C． D．【方法技巧与总结】一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件．题型三：点与圆的位置关系例7．（2023·全国·高二专题练习）若点在圆的内部，则a的取值范围是（）.A． B． C． D．例8．（2023·四川巴中·高二统考期末）点与圆的位置关系是（

）．A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定例9．（2023·全国·高二专题练习）点与圆的位置关系是（

）A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定【方法技巧与总结】点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为，半径为，则点在圆内；点在圆上；点在圆外．从数的角度来看，设圆的标准方程为，圆心为，半径为，则点在圆上；点在圆外；点在圆内．题型四：轨迹问题例10．（2023·江苏南通·高二金沙中学校考阶段练习）已知点和圆为圆上的动点.(1)求的中点的轨迹方程；(2)若，求线段中点的轨迹方程.例11．（2023·全国·高二专题练习）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点.(1)求圆的方程；(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程.例12．（2023·高二课时练习）如图，已知点A(1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.

变式6．（2023·全国·高二专题练习）在直角坐标系中，线段，且两个端点、分别在轴和轴上滑动．求线段的中点的轨迹方程；变式7．（2023·高二课时练习）已知圆的方程是，则圆心的轨迹方程为.变式8．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，两根杆分别绕着定点A和B（AB＝2a）在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，则杆的交点P的轨迹方程是.

变式9．（2023·全国·高二专题练习）过点的直线与圆交于点B，则线段中点P的轨迹方程为.变式10．（2023·高二单元测试）在平面直角坐标系中，已知点，点在圆上运动，则线段AP的中点的轨迹方程是．变式11．（2023·全国·高二专题练习）点与两个定点，的距离的比为，则点的轨迹方程为．变式12．（2023·全国·高二专题练习）为参数，圆的圆心的轨迹方程为．变式13．（2023·贵州铜仁·高三统考期末）已知直线，，当任意的实数m变化时，直线与的交点的轨迹方程是．变式14．（2023·山东临沂·高二统考期中）点为圆C：上一点，点B在圆C上运动，点M满足．则点M的轨迹方程为．【方法技巧与总结】用直接法求曲线方程的步骤如下：（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；（2）列出关于的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；（5）作答．题型五：二元二次曲线与圆的关系例13．（2023·高二课时练习）方程表示的圆过原点且圆心在直线上的条件是（

）A． B．C． D．例14．（2023·全国·高二专题练习）“”是“方程表示圆”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件例15．（2023·全国·高二专题练习）方程表示圆，则实数a的可能取值为（

）A． B．2 C．0 D．变式15．（2023·陕西·高二校考阶段练习）若方程表示圆，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．变式16．（2023·福建泉州·高二福建省南安市侨光中学校考阶段练习）下列方程表示圆的是（

）A． B．C． D．变式17．（2023·全国·高二专题练习）已知表示的曲线是圆，则的值为（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】方程表示圆的充要条件是，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为，半径题型六：圆过定点例16．（2023·全国·高二专题练习）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为．例17．（2023·全国·高二专题练习）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为例18．（2023·江苏·高二校考阶段练习）已知圆经过，两点.(1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程；(2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标.变式18．（2023·高二课时练习）求证：对任意实数，动圆恒过两定点.变式19．（2023·高二课时练习）已知点和以为圆心的圆.（1）求证：圆心在过点的定直线上，（2）当为何值时，以为直径的圆过原点．变式20．（2023·辽宁大连·高二统考期中）对于任意实数，曲线恒过定点【方法技巧与总结】合并参数题型七：与圆有关的对称问题例19．（2023·全国·高三专题练习）已知直线是圆的对称轴，则的值为（

）A． B．C． D．例20．（2023·全国·高二专题练习）点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（

）A．最大值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为例21．（2023·全国·高二专题练习）已知圆关于直线为大于0的常数对称，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．2变式21．（2023·全国·高三专题练习）已知圆关于直线对称，则（

）A．0 B．1 C．2 D．4变式22．（2023·江苏·高二专题练习）如果圆（）关于直线对称，则有（

）．A．B．C．D．变式23．（2023·江苏泰州·高二泰州市第二中学校考阶段练习）若圆关于直线对称，则直线l的斜率是（

）A．6 B． C． D．变式24．（2023·湖北荆门·高二荆门市东宝中学校考期中）已知圆：关于直线对称的圆为圆：，则直线的方程为A． B． C． D．变式25．（2023·北京·高三北京交通大学附属中学校考阶段练习）已知、为圆上关于点对称的两点，则直线的方程为（

）．A． B． C． D．【方法技巧与总结】（1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称（2）圆关于点对称：①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点（3）圆关于直线对称：①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线题型八：圆的实际应用例22．（2023·广东广州·高二广州市第十六中学校考期中）如图是一条过江行车隧道，横截面是一圆拱形（圆拱形是取某一圆周的一部分构成巷道拱部的形状），路面宽度米，拱高米．车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.5米，高为3.5米的货车（可视为长方体）能否驶入这个隧道？请说明理由（参考数据：）．例23．（2023·全国·高二专题练习）如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度为，圆拱的最高点离水面的高度为，桥面离水面的高度为.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程；(2)求桥面在圆拱内部分的长度.（结果精确到）例24．（2023·浙江湖州·高二统考期中）如图，某海面有三个小岛（小岛可视为质点，不计大小），岛在岛正西方向距岛千米处，岛在岛北偏西方向距岛千米处．以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆经过,三点．(1)求圆的方程；(2)若圆区域内有未知暗礁，现有一渔船在岛的南偏东方向距岛千米处，正沿着北偏西方向行驶，若不改变方向，试问该渔船是否有触礁的危险？请说明理由．变式26．（2023·全国·高二专题练习）如图是某圆拱形桥的示意图，雨季时水面跨度AB为6米，拱高(圆拱最高点到水面的距离)为1米．旱季时水位下降了1米，则此时水面跨度增大到米．变式27．（2023·高二课时练习）如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个图的圆拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，则支柱A2P2＝（参考数据：5.478，5.744，精确到0.01m）.变式28．（2023·浙江宁波·高二期末）如图1，某圆拱形桥一孔圆拱的平面示意图，已知圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，则支柱的高度等于m（精确到）．若建立如图2所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的标准方程是．（可用参考数据：．）【方法技巧与总结】解应用题的步骤(1)建模．(2)转化为数学问题求解．(3)回归实际问题，给出结论．一、单选题1．（2023·辽宁大连·高二大连八中校考期中）“大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知.已知，，则以为直径的圆的方程为（

）A． B．C． D．2．（2023·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）圆关于点对称的圆的标准方程为（

）A． B．C． D．3．（2023·高二课时练习）若当方程所表示的圆取得最大面积时，则直线的倾斜角（

）A． B．C． D．4．（2023·全国·高二专题练习）已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（

）A． B．C． D．5．（2023·安徽马鞍山·高二校联考期中）若直线：平分圆：的面积，则的最小值为（

）．A．8 B． C．4 D．66．（2023·浙江温州·高二校联考期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李颀《古从军行》这首诗的开头两句．诗中隐含着一个数学问题——“将军饮马”：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，那么“将军饮马”的最短总路程为（

）A．10 B．9 C．8 D．77．（2023·甘肃·高二校联考期中）点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是（

）.A． B．C． D．8．（2023·河南许昌·高二统考期末）在平面直角坐标系Oxy中，A为直线l：上在第一象限内的点，，以AB为径的圆C与直线交于另一点.若，则A点的横坐标为（

）A． B．3 C．3或 D．2二、多选题9．（2023·江苏盐城·高二盐城中学校考阶段练习）已知动直线：和：，是两直线的交点，、是两直线和分别过的定点，下列说法正确的是（

）A．点的坐标为 B．C．的最大值为10 D．的轨迹方程为10．（2023·高二单元测试）设有一组圆：，下列命题正确的是（

）A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上B．所有圆均不经过点C．经过点的圆有且只有一个D．所有圆的面积均为11．（2023·全国·高二专题练习）已知曲线（

）A．若，则C是圆B．若，，则C是圆C．若，，则C是直线D．若，，则C是直线12．（2023·全国·高二专题练习）已知圆关于直线对称，则下列结论正确的是（