高考数学理北师大版学案第十三章推理与证明算法复数第1讲归纳与类比

第1讲归纳与类比一、选择题1.(2016·西安八校联考)观察一列算式：1⊗1，1⊗2，2⊗1，1⊗3，2⊗2，3⊗1，1⊗4，2⊗3，3⊗2，4⊗1，…，则式子3⊗5是第()A.22项 B.23项 C.24项 D.25项解析两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5为和为8的第3项，所以为第24项，故选C.答案C2.命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A.使用了归纳推理B.使用了类比推理C.使用了“三段论”，但推理形式错误D.使用了“三段论”，但小前提错误解析由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误.答案C3.观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A.f(x) B.－f(x) C.g(x) D.－g(x)解析由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x).答案D4.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于()A.28 B.76 C.123 D.199解析观察规律，归纳推理.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.答案C5.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“eq\f(ac,bc)＝eq\f(a,b)”类比得到“eq\f(a·c,b·c)＝eq\f(a,b)”.以上式子中，类比得到的结论正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4解析①②正确；③④⑤⑥错误.答案B6.(2017·宜春一中月考)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考的好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”.结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是()A.甲，丙 B.乙，丁 C.丙，丁 D.乙，丙解析甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确.故答案为D.答案D7.平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()A.n＋1 B.2nC.eq\f(n2＋n＋2,2) D.n2＋n＋1解析1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋eq\f(n（n＋1）,2)＝eq\f(n2＋n＋2,2)个区域，选C.答案C8.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为()A.6 B.7C.8 D.9解析由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n(n≥2，n∈N＋)层的点数为6(n－1).设一个点阵有n(n≥2，n∈N＋)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n－1)＝1＋eq\f(6＋6（n－1）,2)×(n－1)＝3n2－3n＋1，由题意得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)·(n－8)＝0，所以n＝8，故共有8层.答案C二、填空题9.仔细观察下面○和●的排列规律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________.解析进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，则前n组两种圈的总数是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝eq\f(n（n＋3）,2)，易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14.答案1410.观察下列等式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，……，根据上述规律，第n个等式为________.解析观察所给等式左右两边的构成易得第n个等式为13＋23＋…＋n3＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n（n＋1）,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(n2（n＋1）2,4).答案13＋23＋…＋n3＝eq\f(n2（n＋1）2,4)11.(2017·重庆模拟)在等差数列{an}中，若公差为d，且a1＝d，那么有am＋an＝am＋n，类比上述性质，写出在等比数列{an}中类似的性质：_________________________________________________________________.解析等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在等比数列{an}中，若公比为q，且a1＝q，则am·an＝am＋n.”答案在等比数列{an}中，若公比为q，且a1＝q，则am·an＝am＋n12.已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数y＝ax(a＞1)的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论eq\f(ax1＋ax2,2)＞aeq\s\up6(\f(x1＋x2,2))成立.运用类比思想方法可知，若点A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函数y＝sinx(x∈(0，π))的图像上任意不同两点，则类似地有________成立.解析对于函数y＝ax(a＞1)的图像上任意不同两点A，B，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论eq\f(ax1＋ax2,2)＞aeq\s\up6(\f(x1＋x2,2))成立；对于函数y＝sinx(x∈(0，π))的图像上任意不同的两点A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的下方，类比可知应有eq\f(sinx1＋sinx2,2)＜sineq\f(x1＋x2,2)成立.答案eq\f(sinx1＋sinx2,2)＜sineq\f(x1＋x2,2)13.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A.289 B.1024 C.1225 D.1378解析观察三角形数：1，3，6，10，…，记该数列为{an}，则a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…an＝an－1＋n.∴a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)⇒an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2)，观察正方形数：1，4，9，16，…，记该数列为{bn}，则bn＝n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1225.答案C14.(2017·青岛模拟)若数列{an}的通项公式为an＝eq\f(1,（n＋1）2)(n∈N＋)，记f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)＝________.解析f(1)＝1－a1＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,9)))＝eq\f(2,3)＝eq\f(4,6)，f(3)＝(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,16)))＝eq\f(5,8)，推测f(n)＝eq\f(n＋2,2n＋2).答案eq\f(n＋2,2n＋2)15.若P0(x0，y0)在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是________.解析设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1，P2的切线方程分别是eq\f(x1x,a2)－eq\f(y1y,b2)＝1，eq\f(x2x,a2)－eq\f(y2y,b2)＝1.因为P0(x0，y0)在这两条切线上，故有eq\f(x1x0,a2)－eq\f(y1y0,b2)＝1，eq\f(x2x0,a2)－eq\f(y2y0,b2)＝1，这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1上，故切点弦P1P2所在的直线方程是eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1.答案eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝116.(2017·郑州模拟)如图所示，一回形图，其回形通道的宽和OB1的长均为1