专题8.5直线平面垂直的判定及性质2

专题8.5直线、平面垂直的判定及性质【核心素养】以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．知识点知识点一直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b⊂α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b知识点知识点二直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.(3)范围：.知识点知识点三二面角及其范围(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．(3)范围：[0，π]．知识点知识点四平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l⊂β))⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l⊂β,α∩β＝a,l⊥a))⇒l⊥α知识点知识点五直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．常考题型剖析常考题型剖析题型一：线面垂直关系的判断与证明【典例分析】例11.（2021·浙江·统考高考真题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（

）A．直线与直线垂直，直线平面B．直线与直线平行，直线平面C．直线与直线相交，直线平面D．直线与直线异面，直线平面例12.（2019·全国·高考真题（文））如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积．【规律方法】1.判定定理与性质定理的合理转化是证明垂直关系的基本思想；另外，在解题中要重视平面几何知识，特别是正、余弦定理及勾股定理的应用．2.证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．【变式训练】变式11.（浙江·高考真题（理））下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β变式12.（2019·全国高考真题（文））已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为___________．题型二：补全线面垂直的条件问题例21.（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．当＝时，D1E⊥平面AB1F．例22.（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，，.（1）求证：；（2）在线段上，是否存在点，使得平面？并说明理由.【变式训练】变式21.（2022·全国·高三专题练习）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，写出以之间的部分位置关系为条件（除外），为结论的一个真命题：.变式22.（2020·上海·高三专题练习）如图，平行六面体的底面是菱形，.（1）求证：；（2）当的值为多少时，可使平面？题型三：面面垂直的判断与证明【典例分析】例31.【多选题】（2023秋·广西百色·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）已知四面体的四个面均为直角三角形，其中平面，，且．若该四面体的体积为，则（

）A．平面 B．平面平面C．的最小值为3 D．四面体外接球的表面积的最小值为例32.（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体中，，E为AC的中点．(1)证明：平面平面ACD；(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．【规律方法】1．证面面垂直的思路(1)关键是考虑证哪条线垂直哪个面．这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑．(2)条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理，如已知两平面互相垂直，我们就要联系到两平面互相垂直的性质定理．2.在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式(如勾股定理)证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直．3.垂直关系的转化：4.判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．【变式训练】变式31.【多选题】（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知圆柱的轴截面是正方形，为底面圆的直径，点在圆上，点在圆上，且，不在平面，，，四点共面，则（

）A．直线平面 B．直线平面C．平面平面 D．平面平面变式32.（2020·江苏·高考真题）在三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．（1）求证：EF∥平面AB1C1；（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．题型四：补全面面垂直的条件问题例41.（2021·全国·高三专题练习）在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足时，平面MBD⊥平面PCD.例42.（2023·江西赣州·统考模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点.(1)证明：平面；(2)在棱上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【变式训练】变式41.（2022·广东惠州·高三阶段练习）如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，，M是PC上的一动点，当点M满足___________时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为正确的条件即可）变式42.（2023春·浙江温州·高三统考开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形且，，．(1)求的值；(2)若，是否存在，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．题型五：由线面垂直性质判断线线、面面关系【典例分析】例51.（2024·陕西宝鸡·校考一模）设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列命题：①若，则．②若，则．③若，则．④若，则．其中正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）；例52.（2021·全国·高考真题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.（1）求三棱锥的体积；（2）已知D为棱上的点，证明：.【规律方法】思路方法：(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识．(2)利用线面平行性质必须先找出交线．（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.（2）线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.（3）解题中注意符号语言的规范应用.【变式训练】变式51.（2020·山东·统考高考真题）已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．变式52.（2023·全国·高三专题练习）如图，已知多面体，平面平面，且，证明：平面.题型六：应用面面垂直性质证明线面垂直【典例分析】例61.（2023秋·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）如图，在四棱锥中，底面是矩形，分别为棱的中点，，平面平面.求证：(1)平面；(2)平面．例62.（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥中，，均为等边三角形，，O为AB中点，点D在AC上，满足，且面面ABC．证明：面POD．【变式训练】变式61.（2019·天津·高考真题（改））如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；变式62．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在四棱锥中，平面底面，，，，，，．设平面与平面的交线为，为的中点．（1）求证：平面；（2）若在棱上存在一点，使得平面，当四棱锥的体积最大时，求的值．一、单选题1．（2020秋·辽宁大连·高三大连八中校考阶段练习）已知直线，平面，，，，，则是的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（2023·山西吕梁·统考二模）在三棱锥中，已知底面，，，则三棱锥外接球的体积为（

）A． B． C． D．3．（2023·天津·统考高考真题）在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（

）A． B． C． D．二、多选题4．（2021·全国·统考高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（

）A． B．C． D．5．（2021·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图所示，在矩形中，，，为上一动点，现将沿折起至，在平面内作，为垂足．设，，则下列说法正确的是（

）A．若平面，则B．若平面，则C．若平面平面，且，则D．若平面平面，且，则三、填空题6．（2023秋·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考阶段练习）在三棱锥中，已知侧棱底面，，且，在此三棱锥内放一个球，当球的体积最大时，球的半径为．7.（2022·四川遂宁·统考一模）设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；（4）若与内的两条直线垂直，则直线与垂直.以上说法正确的是.（㝍出序号）四、解答题8.（2020·江苏·统考高考真题）在三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．（1）求证：EF∥平面AB1C1；（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．9.（2020·全国·统考高考真题）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积.10．（2022·全国·统考高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．(1)证明：平面；(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．11．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）如图所示，已知正方体的棱长为，..分别是..的中点.（1）求证：