专题4.2指数函数2

专题4.2指数函数专题4.2指数函数知识点一指数函数的概念知识点一指数函数的概念函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，a是底数，指数函数的定义域为R.【特别提醒】形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．知识点知识点二指数函数的图象和性质y＝axa>10<a<1图象性质函数的定义域为eq\a\vs4\al(R)；值域为(0，＋∞)函数图象过定点(0,1)，即当x＝eq\a\vs4\al(0)时，y＝eq\a\vs4\al(1)当x>0时，恒有y>1；当x>0时，恒有0<y<1；当x<0时，恒有0<y<1当x<0时，恒有y>1函数在定义域R上为增函数函数在定义域R上为减函数知识点知识点三常用结论（1）指数函数图象的画法画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.（2）指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．考点01指数函数的判断与求值【典例1】（2023秋·吉林长春·高三长春市第二实验中学校考阶段练习）已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（

）A．2 B．1 C．0 D．1【典例2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数，则.考点02根据指数函数求参数【典例3】（2023·全国·高一专题练习）若函数为指数函数，则（

）A．或 B．且C． D．【典例4】（2023·高一课时练习）已知函数和都是指数函数，求a＋b的值．考点03求指数函数的解析式【典例5】（2023秋·湖南岳阳·高三校考阶段练习）若函数的图象经过，则（

）A． B． C．3 D．9【典例6】（2023春·河南商丘·高二校联考阶段练习）已知函数满足：；当时，.则满足这两个条件的一个函数为.考点04指数（型）函数图象的辨识【典例7】（2022秋·陕西延安·高一校考期末）函数的图像大致是（

）A． B．C． D．【典例8】（2023·全国·高一专题练习）函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【规律方法】识图的三种常用方法（1）抓住函数的性质，定性分析：=1\*GB3①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；=2\*GB3②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；=3\*GB3③从周期性，判断图象的循环往复；=4\*GB3④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．=5\*GB3⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.(2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：=1\*GB3①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；=2\*GB3②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．考点05指数函数图象过定点问题【典例9】（2021·全国高一课时练习）如图是指数函数①，②，③，④的图像，则a，b，c，d与0和1的大小关系是（）A． B．C． D．【典例10】（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习）已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为.【规律方法】过定点的图象(1)画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)，.特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）；(2)与的图象关于y轴对称；(3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．考点06指数函数图象的应用【典例11】（2020·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（

）．A． B．C． D．【典例12】（2023·全国·高一专题练习）若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是．考点07指数（型）函数的定义域、值域【典例13】（2023·全国·高一专题练习）已知的值域为，则x的取值范围可以为（

）A． B． C． D．【典例14】（2023·全国·高一课堂例题）求下列函数的定义域和值域：(1)；(2)．【总结提升】形如y＝af(x)的函数的值域，可先求f(x)的值域再根据函数y＝at的单调性确定y＝af(x)的值域．考点08根据指数（型）函数的定义域、值域（最值）求参数【典例15】（2023·全国·高一专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例16】（2023·全国·高一专题练习）求函数，在上的值域.【总结提升】复合函数问题，往往利用换元法，即把指数式看做一个变量，将问题加以转化.如【典例16】.考点09指数（型）函数的单调区间【典例17】【多选题】（2023秋·河南·高三荥阳市高级中学校联考阶段练习）设函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的定义域为 B．的单调递增区间为C．的最小值为3 D．的图象关于对称【典例18】（2022秋·浙江·高一校联考期中）写出定义域和值域都相同，但单调性不相同的两个单调函数：；的单调递减区间为．【总结提升】复合函数的单调性遵循“同增异减”.考点10根据函数的单调性、奇偶性求参数【典例19】（2023秋·贵州遵义·高三校考阶段练习）已知为奇函数，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【典例20】（2023秋·天津武清·高三天津市武清区城关中学校考阶段练习）已知函数满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．考点11指数（型）函数单调性应用【典例21】（安徽省部分学校20232024学年高二上学期阶段性测试（一）数学试题）已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【典例22】（2022秋·广东江门·高一校考期中）已知函数是指数函数，且它的图象过点．(1)求函数的解析式；(2)求，，；(3)画出指数函数的图象，并根据图象解不等式．【总结提升】比较大小问题：底数相同，指数不同：借助指数函数单调性进行比较；底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断；底数不同，指数不同：常找到一个中间值，通过比较函数值与中间值的大小进行判断．考点12指数（型）函数综合问题【典例23】（2023秋·上海松江·高一校考期末）设，函数.(1)若，求证：函数是奇函数；(2)若，请判断函数的单调性，并用定义证明.【典例24】（2023秋·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知函数（，且）是奇函数，且．(1)求，的值；(2)若对于，不等式成立，求的取值范围．【总结提升】指数方程或不等式的解法(1)解指数方程或不等式的依据①af(x)＝ag(x)⇔f(x)＝g(x)．②af(x)＞ag(x)，当a＞1时，等价于f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，等价于f(x)＜g(x)．(2)解指数方程或不等式的方法先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解．1．（2023·天津·统考高考真题）若，则的大小关系为（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．3.（2008·安徽·高考真题）若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有（

）A．f（2）<f(3)<g(0) B．g(0)<f(3)<f（2）C．f（2）<g(0)<f(3) D．g(0)<f（2）<f(3)一、单选题1.（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））设，且，则=（

）A．4 B．5 C．6 D．72．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中）已知函数，则（

）A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数3．（2023春·江苏盐城·高一盐城市大丰区新丰中学校考开学考试）已知函数是上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．4.（2023·全国·高一专题练习）若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C．或 D．或5.（2024秋·新疆·高三校联考阶段练习）已知的定义域为为奇函数，为偶函数，若当时，，则（

）A． B．0 C．1 D．e二、多选题6．（2023秋·山西晋中·高三介休一中校考阶段练习）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

7．（2023秋·河南南阳·高一统考期末）已知函数，且，则下列式子可能成立的是（

）A． B．C． D．8．（2023秋·重庆南岸·高一重庆市第十一中学校校考期末）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数的定义域为 B．函数的值域为C．函数是奇函数 D．函数在上为减函数三、填空题9．（2022·上海·高一专题练习）已知指数函数（其中）