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第一章计数原理§3组合第2课时组合的综合应用有限制条件的组合问题

[互动探究]

若本例条件不变，那么“甲、乙、丙三人至少1人参加”有多少种？【点评】

(1)“含”或“不含”某些元素的组合问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩余元素中去取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的问题：首先要理解“至少”与“至多”的含义，防止重复与漏解，其次选取某条件为主线进行分类求解，当用直接法分类较多时，可用间接法处理．答案：(1)75

(2)A与几何有关的组合应用题

平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？解：方法一以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准．第一类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有CC＝48个不同的三角形；第二类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有CC＝112个不同的三角形；【点评】

(1)解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可．(2)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．2．如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条．这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)＝________；f(n)＝________(答案用数字或n的解析式表示)．f(4)表示四棱锥中的异面直线的对数，如图，每条侧棱和底面上不共顶点的两条底边、一条对角线共形成3对异面直线，即f(4)＝4×3＝12(对)；

6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数．(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子．相同元素分配问题

【点评】隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．3．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(

)A．4种 B．10种C．18种 D．20种答案：B1．“含”与“不含”问题：这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法．解题时要注意

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