西南四省名校高三下学期第三次大联考数学（文）试题

2022届西南四省名校高三下学期第三次大联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解不等式求得集合，由此求得.【详解】.所以，由于，所以．故选：B2．已知复数z在复平面内所对应点的坐标为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得，然后求得，由此求得.【详解】因为复数z在复平面内所对应的点为，所以，故，故．故选：A3．第24届冬奥会于2022年2月4日在国家体育场鸟巢举行了盛大开幕式．在冬奥会的志愿者选拔工作中，某高校承办了面试工作，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩并分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（每组数据以区间的中点值为代表）（

）A．直方图中bC．在被抽取的学生中，成绩在区间之间的学生有30人【答案】C【分析】利用频率之和为求得，由此判断A选项的正确性，根据中位数、平均数的求法判断BD选项的正确性，通过计算成绩在区间之间的频数来判断C选项的正确性.【详解】对于A，∵，∴，故A正确；对于B，设候选者面试成绩的中位数为x，则，解得，故B正确；对于C，成绩在区间的频率为，故人数有，故C错误；对于D，，故D正确．故选：C4．下列函数在上单调递减的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据选项的函数性质，逐一判断即可【详解】A：由二次函数性质知，图象开口向上，且在上单调递减，在上单调递增，故A错误﹔B：根据指数函数的单调性知，函数在上单调递增，将图象向右平移1个单位长度得出的图象，其在上单调递增，故B错误；C：由幂函数的单调性知在上单调递增，其在上单调递增，故C错误；D：根据余弦函数的单调性知，在上单调递减，当时，，又，所以在上单调递减，故D正确.故选：D.5．像2，3，5，7这样只能被1和它自己整除的正整数称为素数（也称为质数），设x是正整数，用表示不超过x的素数个数，事实上，数学家们已经证明，当x充分大时，，则利用此公式求出不超过10000的素数约有（）（

）A．1085个 B．1025个 C．980个 D．860个【答案】A【分析】根据进行计算，从而确定正确选项.【详解】由题知：．故选：A6．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据同角三角函数的基本关系和两角和的余弦公式化简可得，结合和二倍角的正弦公式即可得出结果.【详解】，∴，∴，∴.故选：A.7．某四棱锥的三视图如图所示（实线部分），图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积为（

）A． B．5 C．2 D．【答案】C【分析】根据三视图还原原图，结合锥体体积计算公式求得几何体的体积.【详解】根据三视图，还原后的图形如图所示，，，，，平面ABCD，，．故选：C8．已知首项为的数列，对任意的，都有，则（

）A．0 B．1011 C．1011 D．2022【答案】D【分析】利用递推关系得到数列中项之间的规律，发现该数列时隔项相等的数列，故只需要得到前2项的即可.【详解】∵①，∴②，又∵，∴，由得，即，又∵，且，∴，∴，∴.故选：D.9．在抛物线上有三点A，B，C，F为其焦点，且，则（

）A．6 B．8 C．9 D．12【答案】D【分析】设出的坐标，根据列方程，化简求得，结合抛物线的定义求得.【详解】依题意.设，，，，，，，又，故，∴，∴．故选：D10．已知函数的一个极值点为1，若，则的最小值为（

）A．10 B．9 C．8 D．【答案】B【分析】由题意可得，则，所以，化简后利用基本不等式可求得结果【详解】对求导得，因为函数的一个极值点为1，所以，所以，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为9.故选：B.11．测量珠穆朗玛峰的高度一直受到世界关注，2020年12月8日，中国和尼泊尔共同宣布珠穆朗玛峰的最新高度为8848.86米.某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠峰高度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度.该兴趣小组运用这一方法测量学校旗杆的高度，已知该旗杆（在水平面）垂直于水平面，水平面上两点，的距离为，测得，，其中，在点处测得旗杆顶点的仰角为，，则该旗杆的高度为（单位：）（

）A．9 B．12 C．15 D．18【答案】B【分析】作出示意图，在中解出，在中解出【详解】在中，，，，∵，∴，在中，.故选：B.12．已知非零函数的定义域为，函数的图象关于直线对称，且周期，函数，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据的图象关于直线对称，的周期，得到函数是奇函数，再由求解.【详解】因为的图象关于直线对称，所以，又的周期，则有，∴，∴，∴关于对称，∴，则.故选：C.二、填空题13．若向量，满足，，，则向量与向量的夹角为__________.【答案】【分析】根据向量模长公式及夹角公式直接计算.【详解】，即，故，，，∴，又，.故答案为：.14．已知一个圆柱的体积为，底面直径与母线长相等，圆柱内有一个三棱柱，与圆柱等高，底面是顶点在圆周上的正三角形，则三棱柱的侧面积为__________.【答案】【分析】根据圆柱的体积为，底面直径与母线长相等，求得圆柱的底面半径，再利用正弦定理，求得三棱柱的底面边长求解.【详解】设圆柱的底面半径为，则，∴，设三棱柱底面边长为，则，∴，∴三棱柱的侧面积为，故答案为：15．已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则__________.【答案】1【分析】先根据图象求出的周期，则可求出的值，再将代入函数中可求出的值，然后由三角函数图象变换规律可求出，从而可求出【详解】由题图可知，周期，，所以，因为在的图象上，所以，所以，得，因为，所以，所以，所以，故.故答案为：116．双曲线的左，右焦点分别为、，过点的直线l交双曲线的右支于A、B两点，且，，则双曲线的离心率为______．【答案】【分析】设出双曲线的焦距，利用双曲线定义结合三角形余弦定理列式计算作答.【详解】令，则，依题意，，，等腰中，，而，在中，由余弦定理得：，整理得：，即，而，解得，所以双曲线的离心率为.故答案为：三、解答题17．某学校为提升学生身体素质，准备在学校开展篮球体育活动，开展体育活动前从学校中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据：喜欢篮球不喜欢篮球男生10020女生2060(1)判断是否有的把握认为喜欢篮球与性别有关？(2)从不喜欢篮球的同学中采用分层抽样的方式从中抽取4名同学，从这4名同学中随机抽取2名同学，求恰有一位女生的概率.附：【答案】(1)有的把握认为喜欢篮球与性别有关(2)【分析】（1）计算的值，由此做出判断.（2）利用列举法，结合古典概型的概率计算公式，计算出所求概率.【详解】(1)，所以有的把握认为喜欢篮球与性别有关.(2)不喜欢篮球的同学中男女生比例为，所以按照分层抽样方式抽取的男生有1人，女生有3人，

抽取方式有：（男1，女1），（男1，女2），（男1，女3），（女1，女2），（女1，女3），（女2，女3），共6种，

其中恰有一个女生的有：（男1，女1），（男1，女2），（男1，女3），共3种，所以恰有一个女生的概率为.18．已知数列满足，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前2n项的和【答案】(1)(2)【分析】（1）利用累乘法求得数列的通项公式；（2）利用分组求和法求得.【详解】(1)∵，，，∴，∴，∴，，，…，，将上述式子左右分别相乘得，∴．∵满足上式，∴．(2)∵，令，，的前项和为，的前项和为，∴，，∴．19．如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面，设平面与平面的交线为.(1)证明：平面；(2)已知，且，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由面面垂直的性质可得平面，由线面平行的判定定理可得平面，再由线面平行的性质可得，从而可得结论，（2）作，垂足为，设到平面的距离为，则利用等体积法可求出，在求出，从而可求出直线与平面所成角的正弦值【详解】(1)∵，平面平面，且平面平面，∴平面.

∵，平面，平面，∴平面.

∵平面平面，平面，∴，∴平面.(2)∵，过作，交延长线于，又∵，∴，，∴.

设到平面的距离为，∴，即.又，，∴.

由平面，，∴平面，∴，∴.设与平面所成角为，则.

20．已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，在椭圆E上任取一点P，的周长为．(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点P关于原点的对称点为Q，过右焦点F2作与直线PQ垂直的直线交椭圆E于A、B两点，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆E的标准方程；（2）利用弦长公式求得、，结合二次函数的性质来求得的取值范围．【详解】(1)由的周长为，得，即．①又．②由①②解得：，．所以．故椭圆E的方程为．(2)设，，，，当直线AB的斜率为0时，得：，，，当直线AB的斜率不为0时，设直线，直线，联立直线AB和椭圆E的方程，并消去x整理得：，，由韦达定理得：，，，联立直线PQ和椭圆E的方程，并消去y整理得：，由韦达定理得：，，，所以．令，则，综上，的取值范围为.21．已知函数.(1)当时，求的最小值；(2)记，若对任意的，恒有，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，得到，求导，再利用导数与最值求解；

（2）易得，将问题转化为，对任意的成立，分别求得和的最大值和最小值求解.【详解】(1)解：当时，，所以，

当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

所以函数的最小值.(2)由条件可得，所以原不等式即为.因为，所以，即，

可得，令，易知为上的增函数，从而，所以；

令，则，为上的增函数，

又，所以当时，恒有，从而为上的增函数，所以，所以，所以实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间D上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；；22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)已知点，直线l与曲线C交于A，B两点，求的值．【答案】(1)曲线C的普通方程为，直线l的直角坐标方程为.(2)【分析】（1）消去参数得到普通方程，利用公式将极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）写出符合要求的直线参数方程，利用t的几何意义求解答案.【详解】(1)已知曲线（为参数），则曲线C的普通方程为．直线l的极坐标方程为，则直线l的直角坐标方程为．(2)由于在直线l上，可设直线l的参数方程的标准形式为（t为参数），代入曲线C