人教A版数学选修1－1练习第三章导数及其应用3.3.1

第三章3.3A级基础巩固一、选择题1．函数f(x)＝x3－3x2＋1的递减区间是(B)A．(－∞，0) B．(0,2)C．(－∞，2) D．(2，＋∞)[解析]f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝3x2－6x<0，解得0<x<2，所以函数f(x)＝x3－3x2＋1的递减区间是(0,2)．2．函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上(A)A．是增函数B．是减函数C．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上减D．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增[解析]f′(x)＝2－cosx>0在(－∞，＋∞)上恒成立．3．(2016·江西抚州高二检测)函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是(C)A．(eq\f(1,3)，＋∞) B．(－∞，eq\f(1,3))C．[eq\f(1,3)，＋∞) D．(－∞，eq\f(1,3))[解析]y′＝3x2＋2x＋m，由题意知3x2＋2x＋m≥0在R上恒成立，∴Δ＝4－12m≤0，∴m≥eq\f(1,3).4．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是(C)[思路分析]由导函数f′(x)的图象位于x轴上方(下方)，确定f(x)的单调性，对比f(x)的图象，用排除法求解．[解析]由f′(x)的图象知，x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．只有C符合题意，故选C．5．(2016·贵州贵阳一中月考)函数y＝xlnx在(0,5)上的单调性是(C)A．单调递增B．单调递减C．在(0，eq\f(1,e))上单调递减，在(eq\f(1,e)，5)上单调递增D．在(0，eq\f(1,e))上单调递增，在(eq\f(1,e)，5)上单调递减[解析]函数的定义域为(0，＋∞)．∵y′＝lnx＋1，令y′>0，得x>eq\f(1,e).令y′<0，得0<x<eq\f(1,e).∴函数y＝xlnx在(0，eq\f(1,e))上单调递减，在(eq\f(1,e)，5)上单调递增．6．若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(D)A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)[解析]由条件知f′(x)＝k－eq\f(1,x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴k≥1.把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键．二、填空题7．函数y＝x3－x2－x的单调递增区间为__(－∞，－eq\f(1,3))，(1，＋∞)__.[解析]∵y′＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)，∴由y′>0得，x>1或x<－eq\f(1,3).8．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为(－1,3)，则b＝__－3___，c＝__－9___.[解析]f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由条件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′－1＝0,f′3＝9))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2b＋c＝0,27＋6b＋c＝0))，解得b＝－3，c＝－9.三、解答题9．(2016·北京昌平区高二检测)设函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋mx2＋1的导函数f′(x)，且f′(1)＝3.(1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间.[解析](1)f′(x)＝x2＋2mx，∴f′(x)＝1＋2m＝3，∴m＝1.∴f(x)＝eq\f(1,3)x3＋x2＋1，∴f(1)＝eq\f(7,3).∴切线方程为y－eq\f(7,3)＝3(x－1)，即3x－3y＋4＝0.(2)f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，令f′(x)>0，得x>0或x<－2，令f′(x)<0，得－2<x<0，∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)，递减区间为(－2,0)．B级素养提升一、选择题1．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是(D)[解析]由f(x)的图象知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f′(x)≤0，在(－∞，0)上f′(x)≥0，故选D．2．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是(C)A．y＝2－3x2 B．y＝lnxC．y＝eq\f(1,x－2) D．y＝sinx[解析]A中，y′＝－6x，当－1<x<0时，y′>0，当0<x<1时，y′<0，故函数y＝2－3x2在区间(－1,1)上不是减函数，B中，y＝lnx在x＝0处无意义；C中，y′＝－eq\f(1,x－22)<0对x∈(－1,1)恒成立，∴函数y＝eq\f(1,x－2)在区间(－1,1)上是减函数；D中，y′＝cosx>0对x∈(－1，1)恒成立，∴函数y＝sinx在(－1,1)上是增函数．3．定义在R上的函数f(x)，若(x－1)·f′(x)<0，则下列各项正确的是(C)A．f(0)＋f(2)>2f(1) B．f(0)＋f(2)＝2f(1)C．f(0)＋f(2)<2f(1) D．f(0)＋f(2)与2f(1)大小不定[解析]当x>1时，f′(x)<0，f(x)是减函数，∴f(1)>f(2)．当x<1时，f′(x)>0，f(x)是增函数，∴f(0)<f(1)．因此f(0)＋f(2)<2f(1)．4．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有(B)A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0′，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0[解析]由已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．∵x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上递增．∴x<0时，f(x)递增，g(x)递减．∴x<0时f′(x)>0，g′(x)<0.5．(2016·湛江一模)若函数f(x)＝x＋eq\f(b,x)(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f(x)在下列区间上单调递增的是(D)A．(－2,0) B．(0,1)C．(1，＋∞) D．(－∞，－2)[解析]由题意知，f′(x)＝1－eq\f(b,x2)，∵函数f(x)＝x＋eq\f(b,x)(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，∴当1－eq\f(b,x2)＝0时，b＝x2，又x∈(1,2)，∴b∈(1,4)，令f′(x)>0，解得x<－eq\r(b)或x>eq\r(b)，即f(x)的单调递增区间为(－∞，－eq\r(b))，(eq\r(b)，＋∞)，∵b∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意．故选D．二、填空题6．(2016·山东潍坊一中高二期末)函数f(x)＝x－2sinx在(0，π)上的单调递增区间为__(eq\f(π,3)，π)__.[解析]由f′(x)＝1－2cosx>0得cosx<eq\f(1,2)，又x∈(0，π)，所以eq\f(π,3)<x<π，故函数f(x)的单调递增区间为(eq\f(π,3)，π)．7．已知函数f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)在(－2，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是__(－∞，eq\f(1,2))__.[解析]f′(x)＝eq\f(ax＋2－ax－1,x＋22)＝eq\f(2a－1,x＋22)，由题意得x<－2时，f′(x)≤0恒成立，∴2a－1≤0，∴a≤eq\f(1,2).又当a＝eq\f(1,2)时，f(x)＝eq\f(\f(1,2)x＋1,x＋2)＝eq\f(1,2)，此时，函数f(x)在(－2，＋∞)上不是减函数，∴a≠eq\f(1,2).综上可知，a的取值范围为(－∞，eq\f(1,2))．三、解答题8．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11).(1)求a、b的值；(2)讨论函数f(x)的单调性．[解析](1)f′(x)＝3x2－6ax＋3b.因为f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3a＋3b＝－11,3－6a＋3b＝－12))，解得a＝1，b＝－3.(2)由a＝1，b＝－3得f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f′(x)<0，解得－1<x<3.故当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．C级能力提高1．已知函数f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是__(－∞，0]___.[解析]∵f(x)＝x3－ax2－3x，∴f′(x)＝3x2－2ax－3，又因为f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，f′(x)＝3x2－2ax－3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)≤1,f′1＝3×12－2a－3≥0))，解得a≤0，故答案为(－∞，0]．2．(2018·全国Ⅱ文，21)已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－a(x2＋x＋1).(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点．[解析](1)解：当a＝3时，f(x)＝eq\f(1,3)x3－3x2－3x－3，f′(x)＝x2－6x－3.令f′(x)＝0，解得x＝3－2eq\r(3)或x＝3＋2eq\r(3).当x∈(－∞，3－2eq\r(3))∪(3＋2eq\r(3)，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(3－2eq\r(3)，3＋2eq\r(3))时，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，3－2eq\r(3))，(3＋2eq\r(3)，＋∞)单调递增，在(3－2eq\r(3)，3＋2eq\r(3))单调递减．(2)证明：因为x2＋x＋1>0，所以f(x)＝0等价于eq\f(x3,x2＋x＋1)－3a＝0.设g(x)＝eq\f(x3,x2＋