金融时间序列模型（第二版）全套教学课件

金融时间序列模型

第一章：基本统计概念与数据的整理全套可编辑PPT课件ch1-基本统计与数据整理.pptxch2-平稳时间序列数据回归模型.pptch3-平稳线性ARMA模型.pptch4-波动率模型.pptxch5-向量自回归模型.pptch6-非平稳时间序列和单位根检验.pptch7-协整和误差修正模型.pptch8-非线性时间序列模型.pptx正态分布与对数正态分布随机变量X服从正态分布，通常表示为：X～N(

,

2)其中

是随机变量X的期望，

2是X的方差。如果某随机变量X求自然对数后服从正态分布，称该随机变量服从对数正态分布，通常表示为：X～LNN(

,

2)其中

是随机变量ln(X)的期望，

2是ln(X)的方差。描述统计对于随机变量需要掌握该随机变量的分布，通过随机变量的样本计算一些数字特征可以反映随机变量分布的特点，常用的描述统计又下列指标：样本均值：数据的典型取值样本中位数：位于中间的数值样本方差（样本标准差）：数据离散程度变差系数：比较均值不同的两组数据的离散程度样本偏差：分布是否对称样本峰度：与正态分布相比，陡峭的程度协方差和相关系数

协方差和相关系数协方差的计算与X和Y的前后顺序没有关系。所以cov(X,Y)

=

cov(Y,X)。协方差与数据的单位有关；相关系数除以两个随机变量各自的标准差，相当于数据标准后再计算协方差，与数据的单位无关，是介于－1到

+

1之间的数值。协方差和相关系数衡量了两个随机变量之间线性相关的程度。相关系数小于0，说明负相关；大于0，说明正相关；等于0，说明不相关。数据整理对数据建立模型之前根据需要可以对数据进行一些整理，对于有季节性的数据通常先进行季节调整，对季节调整后的数据再建立模型；对股票趋势进行研究的时候，可以使用平滑的方法去掉偶然的扰动得到趋势部分；在研究经济周期时，通常使用HP滤波提取数据长期趋势；季节调整假设时间序列数据由趋势项、季节项和随机扰动项三大部分构成。用公式表示如下：

Y

=

f(T,S,e)并且假设满足如下的乘法模型：

Y

=

T

×

S

×

e季节调整步骤如下：第一步：估计趋势项T，确定趋势项后，Y/T得到季节项和误差项的乘积Se

=

Y/T；第二步：通过平均去掉随机项，得到季节项S的估计，把与不同季节对应的数字称为季节因子，对季节因子进行规范化；第三步：从原始数据中去掉季节项，得到季节调整后的数据Y/S。平滑

平滑

HP滤波

金融时间序列模型

第2章：平稳时间序列数据回归模型经典线性回归模型

一个好的估计量需要满足的性质：性质1：无偏性：如果估计量的均值等于真值，该估计量是无偏的。性质2：一致性：观测值个数有限时，无偏性不一定满足，如果随着观测值的个数趋于无穷，估计量收敛到真实值，那么该估计量满足一致性。性质3：有效性：如果有两个估计量都是无偏的，那么方差小的那个估计量更精确地估计了真实值，所以这个估计量更有效，在所有无偏估计量中方差最小的那个估计量称为有效估计量。

性质4：估计量服从正态分布。经典线性回归模型满足的假设

满足假设A1

-

A4，OLS估计量满足无偏性。满足假设A1

-

A5，OLS估计量是BLUE的。满足假设A1

-

A6，OLS估计量服从正态分布。经典线性回归模型的假设A2独立随机抽样，对时间序列数据通常是不满足的，因为时间序列的特点是存在序列相关，是不独立的。因此使用时间序列数据建立回归模型需要另外的假设条件。时间序列数据的静态回归模型

分布滞后模型

分布滞后模型动态因果效应也被称为动态乘数。

j，j

=

0,1,…,k被称为乘数，或冲击效应。

0被称为短期乘数或即期乘数，表示当期的冲击效应。

0

+

1

+

…

+

h被称为h期累积乘数，h是1到k

-

1之间的数值，表示h期中解释变量x的变化对因变量y的累积效应。累积效应的经济含义是假设t期解释变量改变一个单位，并且解释变量的变化是永久的，即今后每期解释变量都改变一个单位到t

+

h时刻y的改变量。

=

0

+

1

+

…

+

k被称为长期乘数，表示x对因变量在所有时期冲击效应的总和。

i/

，i

=

0,1,2,…,k被称为标准化的乘数。表示解释变量改变一个单位后，在t

+

i期时，冲击效应占总效应的百分比。自回归分布滞后模型

误差项存在自相关的分布滞后模型可以看成包括因变量滞后项的自回归分布滞后模型的特例，自回归分布滞后模型的系数满足一定的约束条件可以等价于残差存在自相关的分布滞后模型。如果误差项存在自相关的话可以通过增加自变量和因变量的滞后项来消除误差项的自相关。一般的静态模型和分布滞后模型的扰动项可能存在自相关，但是增加y的滞后变量当做解释变量，即ADL模型，我们通常认为这个模型的扰动项不再存在自相关。长期静态均衡解

建模策略从一般到特殊伦敦经济学院（LSE）学派认为经济系统存在一个真正的数据生成过程，建立模型就是发现数据生成过程。因此LSE学派建议使用时间序列数据建立模型时，要从一般的ADL模型开始，然后逐步简化得到最终的模型。该方法也被称为从一般到特殊，具体建模方法是：（1）首先建立一个较大的模型，根据经济理论或者人们对经济行为的理解，尽量包括进所有对因变量有影响的变量，每个解释变量都包括若干滞后变量，同时包括因变量的滞后变量作为解释变量。（2）LSE学派建议一个好的模型应该满足下面六个条件：a.逻辑上可行b.与经济理论一致c.解释变量与误差项不相关d.参数估计量在整个样本区间上稳定e.误差项是白噪声过程f.可以解释已有的相关竞争模型能够解释的内容，并且可以解释更多内容在建模过程中，强调对模型的误差项进行大量假设检验，以保证误差项是白噪声过程，这些检验包括异方差、条件异方差、自相关、函数形式设定是否正确、参数是否存在结构性变化等。因此，这个建模方法也被称作“检验检验再检验”。（3）如果误差项不满足第（2）步的某一项或几项，首先说明模型有问题需要修改。例如需要增加滞后长度，需要增加新的解释变量，改变函数形式等，而不是修改估计方法。由于模型包括很多滞后项，因此容易存在多重共线性，导致许多变量的系数在统计上不显著，因此可以去掉在统计上不显著的变量。每次去掉某个变量后，都要保证模型的误差项仍然满足（2）的条件，直到最后所有的解释变量在统计上都显著。从特殊到一般除了从一般到特殊的建立模型的方法，更早、更传统的建立模型的方法是从特殊到一般，因为大多数经济研究都采用该方法。这种方法从一个特定模型开始，逐渐把越来越多的变量增加进来。模型由简单到复杂，最后模型满足要求的统计性质，并且有良好的经济解释。具体建模方法如下：（1）确定回归中感兴趣的解释变量，该变量被称为关键变量。该变量是我们唯一关注的内容，只要该变量的系数正确估计出来可以进行假设检验则模型设定正确。（2）根据经济理论，考虑还有哪些变量对因变量有影响，这些变量被称为控制变量。这样就得到了一个初始模型，被称为基准模型。我们认为这个模型是正确的。增加控制变量的原因是担心遗漏变量，造成关键变量与扰动项存在相关性导致内生性问题。这些控制变量的系数不是模型关注的内容。（3）估计基准模型，对参数和残差进行假设检验。如果存在异方差或者自相关，则修改估计方法，或者使用异方差自相关一致的标准误来估计方差；如果系数符号与理论或常识相反，往往意味着存在遗漏变量，须扩展基准设定。检验新增变量系数是否等于0，如果额外变量的系数在统计上是显著的，或者如果感兴趣的系数发生了明显的变化，那么应该把新变量增加进来。（4）用表格的形式把增加、去掉变量的过程都列出来。提供一种“完全的披露”，使读者可以自己进行判断。金融时间序列模型

第3章平稳线性ARMA模型ARMA模型-1随机过程基本概念基本概念几个重要的概念(Somefundamentalconcepts)随机过程stochasticprocesses均值函数Meanfunction自协方差和自相关函数autocovarianceandautocorrelationfunction白噪声过程Whitenoiseprocess平稳过程Stationaryprocesses遍历性或渐进独立（ergodic））基本概念

fundamentalconcepts随机过程stochasticprocess

设T是某个集合，俗称足标集（或者下标），对任意固定t

T，Yt是随机变量，t

T的全体{Yt

；t

T}称为T上的随机过程，记为{Yt}通常T取为：1)

T=[-

,

]；T=[0,

]2)T=…-2,-1,0,1,2,…

；T=1,2,3,…离散时，随机过程又称随机序列、时间序列。对每个固定的t，Yt是随机变量。时间序列数据与随机过程的关系——样本（实现）从时间序列数据中获取结论。必须建立表示数据的数学模型。把观测值视为某个随机过程的一个实现或样本。一个时间序列数据的例子date

exchangerate1976Q4295.511977Q1281.531977Q2272.441977Q3266.881977Q4240.531978Q1230.631978Q2211.151978Q3190.3Y1Y2Y3Y4Y5Y6Y7Y8基本概念随机过程的样本(Sample)或实现(Realization)stochasticprocess：Y1,Y2,Y3,…Ynsample1：y11,y12,y13,…y1nsample2：y21,y22,y23,…y2n

…samplem:ym1,ym2,ym3,…ymn

样本记为(denotedby){yt}经济中随机过程只有一个样本，因为时间是不能重复的。

基本概念均值函数meanfunction{

t}自协方差函数autocovariancefunction：{

st}

自相关函数autocorrelationfunction：{

st}

基本概念平稳随机过程

（weaklystationary,covariancestationary,secondorderstationary）如果随机序列二阶矩有界，并且满足以下条件Ifaseriessatisfiesthenexttwoconditions（1）对任意整数t，E(Yt)=

，

为常数；Themeanfunctionisconstantovertime（2）对任意整数t和s，自协方差函数

ts仅与t-s有关，同个别时刻t和s无关。即

ts=

t-s=

kAutocovariancefunctiondon’tdependontimebutonlyontimelag.

ts=

t-s=

k

严平稳随机过程

遍历性随着时间的推移总可以得到以前没有的新的信息，或者说{yt,yt+1,…,yt+k}与{yl+t,yl+t+1,…,yl+t+k}是渐近独立的。即当l趋于无穷时，两组随机变量相互独立。这时时间序列的一个样本就足以代表整个时间序列。满足遍历性才可以通过随机过程的一个样本对总体进行估计。假设需要估计平稳随机过程的均值，理论上应该得到Yt的N个样本，在截面上求平均，得到均值的估计量。由于时间的不可逆性，只能得到Yt一个样本，无法估计。随机过程满足遍历性时，可以证明只使用一个样本沿时间平均随着T的增加趋于总体的均值。遍历性很难证明，一般假设平稳随机过程满足遍历性。白噪声过程

whitenoiseprocess

随机过程满足Adefinitionofawhitenoiseprocessis1）E(

t)=0，forallt2）E(

t2)=

2forallt3）E(

t

s)=0,foranyt

s弱白噪声随机过程（Weaklywhitenoiseprocess），简称白噪声。记为{

t}~WN(0,

2)白噪声过程4）不同时刻随机变量是相互独立的随机变量，并且同分布,称为独立同分布白噪声，记为{

t}~I.I.D.(0,

2)[independentlyandidenticallydistributed(iid)randomvariables]

如果再增加一个条件5）服从正态分布,该过程为高斯白噪声（ifdistributionisnormal,thisprocessisknownasGaussianwhitenoiseprocess）。线性ARMA模型-2ARMA模型的概念ARMA模型的性质滑动平均模型MA(q):t=c+

t+

1

t-1+…+

q

t–qq阶滑动平均模型，记为MA(q)（MovingAverage)例如MA(1):t=c+

t+

1

t-1MA(2):t=c+

t+

1

t-1+

2

t–2滑动平均模型

自回归模型

t=c+

1

t-1+

2

t-2+…+

p

t-p+

tP阶自回归模型（AutoRegression)，简记为AR(p)

例如：AR(1):t=c+

1

t-1+

tAR(2):t=c+

1

t-1+

2

t-2+

tAR(4):t=c+

4

t-4+

tARMA模型

t=c+

1

t-1+

2

t-2+…+

p

t-p+

t+

1

t-1+…+

q

t–q该模型即包括自回归部分又包括滑动平均部分，称为自回归滑动平均混合模型，记为ARMA(p,q)模型线性ARMA模型ARMA(p,q)

t=c+

1

t-1+

2

t-2+…+

p

t-p+

t+

1

t-1+…+

q

t–q当p=0时，ARMA模型退化成MA模型当q=0时，ARMA模型退化成AR模型

t=c+

1

t-1+

2

t-2+…+

p

t-p+

tARMA模型的性质均值函数自协方差函数自相关函数偏自相关函数MA(1)参数特点

t=

+

t+

t-1均值函数：E（

t）=

自协方差函数：

0=(1+

2)

2

1=

2

k=0,k>1

k=

k/

0自相关函数：

1=

/(1+

2)，

k=0,k>1MA(q)的参数特点E（

t）=

0=(1+

12+…+

q2)

2

k=0,k>q

，

k=0,k>qMA过程例下面是一个MA(2)模型,计算它的自相关函数，并画图

t=

t+0.2

t－1＋0.1

t－2

1＝（

1＋

2

1）/（1＋

12＋

22）＝（0.2+0.2*0.1）/(1+0.12+0.22)=0.2

2＝（

2）/（1＋

12＋

22）＝0.1/(1+0.12+0.22)=0.095MA(2)过程ACF图(AutoCorrelationFunction)基本结论MA(q)过程的自相关函数q步截尾AR(1)过程的参数

t=c+

t-1+

tE(

t)=E(c+

t-1+

t)=c+

+0=c/(1-

)

t=c+

t-1+

t

t=(1-

)+

t-1+

t

t-

=

(

t-1-

)+

t

j=E(

t-

)(

t-j-

)=E[((

t-1-

)+

t)(

t-j-

)]

j=j-1

j/0=1

j-1/0

j=j-1

0=E(

t-

)(

t-

)=E[((

t-1-

)+

t)(

t-

)]=1+E[(t

(

t-

)]E[(t

(

t-

)]=2（请自己证明）

1=0带入上式，整理得：AR(1)过程的参数AR过程的自相关函数是拖尾的。几何收敛到0AR(1)参数

t=0.1+0.5

t-1+

t

t=0.1-0.5

t-1+

t

=0.1/(1-0.5)=0.2=0.1/(1+0.5)

j=0.5j

j=(-0.5)j

AR(p)自回归过程的参数特点

t=c+

1

t-1+

2

t-2+…+

p

t-p+

t均值函数(mean)E(

t)=

=c/(1-

1-

2+…-

p)自协方差函数(autocovariance)

0=

1

1+

2

2+…+

p

p+

2

j=

1

j-1+

2

j-2+…+

p

j-pj=1,2,3,…自相关函数(autocorrelation)

j=

1

j-1+

2

j-2+…+

p

j-pj=1,2,3,…Yule-walker方程

j=

1

j-1+

2

j-2+…+

p

j-pj=1,2,3,…,p例如AR(2)的前两个方程：

1=

1

0+

2

1

2=

1

1+

2

0是Yule-walker方程。ARMA(p,q)过程参数

=c/(1-

1-

2+…-

p)

j=

1

j-1+

2

j-2+…+

p

j-pj>q

j=

1

j-1+

2

j-2+…+

p

j-pj>qARMA和AR模型的自相关函数是几何衰减到0，是拖尾的。偏自相关函数

(partialautocorrelationfunction)

三种随机过程偏自相关函数的特点

白噪声MA(1)Yt

＝

t

＋0.5

t－1MA(1)的ACF和PACFAR(1)Yt=0.6Yt-1+

tAR(1)的ACF和PACFARMAYt=-0.7Yt-1+

t-

0.7

t-1ARMA过程的ACF和PACFARMA模型的性质平稳条件可逆条件模型间相互变换线性ARMA(p,q)模型

t=c+

1

t-1+

2

t-2+…+

p

t-p+

t+

1

t-1+…+

q

t–q（1）

p0，

q0（2）满足平稳条件(stationary)（3）满足可逆条件(invertible)（4）没有公共因子(nocommonfactor)(5)滞后算子滞后算子(Lagoperators),用L表示,代表滞后运算:LYt=Yt-1

滞后算子(1)L(LYt)=L(Yt-1)=Yt-2,记为L2Yt=Yt-2,一般的LkYt=Yt-k(2)与乘法可交换L(aYt)=a(LYt)(3)加法可分配L(Yt+Xt)=LYt+LXt(4)对常数列的运算等于他自身Lc=c(5)1Yt=Yt(6)

滞后算子的逆运算|<1时(1-

L)-1=1+L+2L2+…+kLk

…,|||>1时,(1-

L)-1=--1L-1(1+-1L-1+-2L-2+…+-kL-k

…)一个例子Yt=0.5Yt-1-0.04Yt-2+

t-0.6

t-1+0.05

t-2Yt=0.5LYt-0.04L2Yt+

t-0.6L

t+0.05L2

tYt-0.5LYt+0.04L2Yt=

t-0.6L

t+0.05L2

t(1-0.5L+0.04L2)Yt=(1-0.6L+0.05L2)

tARMA模型：用滞后算子表示

t=c+

1

t-1+

2

t-2+…+

p

t-p+

t+

1

t-1+…+

q

t–q用滞后算子表示为：在这种表达式下，讨论公因子，平稳条件和可逆条件ARMA模型：没有公因子例如下面的模型Yt=0.5Yt-1-0.04Yt-2+

t-0.6

t-1+0.05

t-2（1－0.1L）(1-0.4L)Yt=（1－0.1L）(1-0.5L)

t有公共因子，去掉公共因子，得到简化后的模型(1-0.4L)Yt=(1-0.5L)

t

Yt-0.4Yt-1=

t-0.5

t-1Yt=0.4Yt-1+

t-0.5

t-1平稳条件例题下面的AR（2）模型是否满足平稳条件？

t=0.6

t-1-0.08

t-2+

t(1-0.6L+0.08L2)

t=

t特征方程:1-0.6z+0.08z2=0解方程，(1-0.2z)(1-0.4z)=0得到根为5和2,都在单位圆外，所以满足平稳条件。

或者，特征方程修改如下：令

z=1/

,代入刚才的特征方程：1-0.6(1/

)+0.08(1/

2)=0

两边乘以2

2-0.6

+0.08=0根为0.4和0.2,都在单位圆内，满足平稳条件。ARMA模型

t=c+

1

t-1+

2

t-2+…+

p

t-p+

t+

1

t-1+…+

q

t–q用滞后算子表示为：ARMA模型：平稳条件特征方程如下：

(z)=1-

1z-

2z2-…

pzp=0特征方程的根在单位圆外，满足平稳条件。或者，特征方程表示为：

p-

1

p-1-

2

p-2+…-

p=0如果特征方程的根在单位圆内，则模型平稳。使得模型满足平稳条件的参数所在的范围为平稳域.注：平稳性只与自回归系数

1,…，

p有关，与滑动平均系数无关。为什么要满足平稳条件？MA(q)有限阶数的MA模型一定满足平稳条件,因为是有限个白噪声的线性组合，根据平稳定义很容易证明满足平稳条件。

t=

t+

1

t-1+…+

q

t–q为什么要满足平稳条件？AR(p)模型与AR(p)过程的区别：模型是表达式本身，例如随机差分方程：

t=c+

1

t-1+

2

t-2+…+

p

t-p+

t该方程或者表达式就是模型。把一个随机过程带入上面的方程，使得左右两边相等的随机过程称为该随机差分方程的解，所以随机过程是模型的解，一个模型可能有无穷个解。为什么要满足平稳条件？

t=

t-1+

t观察如下的随机过程：a

t+

t+

t-1+2

t-2+…表示为t期前确定量和白噪声的线性组合。带入AR(1),可以使得方程左右相等，是方程的解。对任意a，结论都成立，a取不同的值对应不同的随机过程，因此AR(1)模型对应着无穷多个解。我们希望一个模型对应一个随机过程。|

|<1时存在一个平稳随机过程是随机差分方程的解，即a=0的时候，而且可以证明满足该模型平稳随机过程是唯一的。可逆条件

t=c+

1

t-1+

2

t-2+…+

p

t-p+

t+

1

t-1+…+

q

t–q用滞后算子表示为：

(L)Yt=(L)t可逆指的把模型表示成AR模型的形式，因此AR模型一定可逆。ARMA模型可逆条件模型可逆条件

(z)=1＋

1z＋

2z2＋…＋

qzq=0方程的根在单位圆外，满足可逆条件。同样另外的判断方程

q＋

1

q-1

＋

2

q-2＋…＋

q=0该方程的根在单位圆内，满足可逆条件。可逆性只与滑动平均部分的系数有关，与自回归部分的系数无关。为什么要满足可逆条件？

t=

t-0.5

t-1

t=

t-2

t-1以上两个模型有完全相同的自相关函数。

0=1

1=

/(1+

2)=(1/)/(1+(1/)2)

k=0,k>1满足可逆条件时，可以利用历史观测计算得到扰动项的值

t=(1-0.5L)t(1-0.5L)-1

t=

t(1-

L)-1=1+L+2L2+…+kLk

…,||<1时(1-

L)

(1+L+2L2+…+kLk

…)=1+L+2L2+…+kLk

…-L-2L2-…-kLk-k+1Lk+1…(1+0.5L+0.52L2+…)

t=

t

t+0.5

t-1+0.52

t-2+…=

t

t=(1-2L)t(1-2L)-1

t=

t||>1时,(1-

L)-1=--1L-1(1+-1L-1+-2L-2+…+-kL-k

…)(--1L-1)(1-

L)

(1+-1L-1+-2L-2+…+-kL-k

…)=1--1L-1(1+-1L-1+-2L-2+…+-kL-k

…)

t=

t-0.5

t+1-0.25

t+2-…=

t无穷阶滑动平均过程MA（q）可以用求和的形式表示

无穷阶滑动平均过程，记为MA(

)无穷阶滑动平均过程无穷阶滑动平均过程是否一定平稳呢?不是.何时平稳呢?下面是一个充分条件:无穷阶自回归过程AR（p）可以用求和的形式表示

无穷阶自回归过程，记为AR(

)

ARMA模型表示成MA(

)

t=c+

1

t-1+

t+

1

t-1(1-

1L)

t=c+(1+

1L)

t

t=(1-

1L)-1c+(1-

1L)-1(1+

1L)

t

t=+(1+1L+21L2+…)(1+

1L)

tARMA模型表示成AR(

)

t=c+

1

t-1+

t+

1

t-1(1-

1L)

t=c+(1+

1L)

t(1+

1L)-1(1-

1L)

t=(1+

1L)-1c+

t三个模型的关系MA,AR,和ARMA满足平稳可逆条件时，三者可以相互转化AR（p）——MA（

）:Yt=

(L)-1c+

(L)-1

t

t前的系数称为格林函数或记忆函数MA（q）——AR（

）:

(L)-1Yt=

(L)-1c+

tYt前的系数称为逆函数ARMA（p，q）——MA（

）:Yt=

(L)-1c+

(L)-1

(L)

t=

(L)-1c+

(L)/

(L)

tARMA（p，q）——AR（

）:

(L)-1

(L)Yt=

(L)-1c+

t线性ARMA(p,q)模型

t=c+

1

t-1+

2

t-2+…+

p

t-p+

t+

1

t-1+…+

q

t–q（1）

p0，

q0（2）满足平稳条件(stationary)（3）满足可逆条件(invertible)（4）没有公共因子(nocommonfactor)(5)ARIMA（p,d,q)过程和模型

随机过程不平稳时对不平稳的随机过程差分d次后平稳，注意不要过渡差分，差分以后满足一个ARMA(p,q)模型，则没有差分前的模型称为ARIMA(p,d,q)模型，满足该模型的随机过程称为ARIMA过程。AutoRegressionIntegratedMovingAverage（自回归滑动平均求和模型或过程）线性ARMA模型-3建立ARMA模型WOLD分解定理(1938)任意完全非确定平稳随机过程，可以表示成线性滤波的形式：其中系数绝对可和：Yt=

t+1Lt-1+1L2

t-2+…Yt=(1+1L+2L2+….)tYt=(1+1L+2L2+….)tBox-Jenkins假设有理滞后算子多项式的比率去近似无穷阶的滞后算子多项式它F(L)-1

(L)≈

(L)(1+1L+2L2+….)=[(1+1L+…+qLq)/(1-1L-…-pLp)]Yt=[(1+1L+…+qLq)/(1-1L-…-pLp)]t(1-1L-…-pLp)Yt

=(1+1L+…+qLq)t因此平稳随机过程可以用ARMA(p,q)模型来表示。建模步骤判断数据是否平稳：如果数据不平稳，采用差分的方法得到平稳的时间序列，数据平稳后进行下面的步骤；定阶：确定滞后长度p，q的大小；估计：估计模型的未知参数；检验：检验残差是否是白噪声过程；预测：选择模型和利用模型对未来做预测。平稳化判断数据是否平稳从图形看不重复穿越一条水平线，或者有明显的趋势样本自相关函数收敛速度慢正式的单位根检验（后面章节介绍）bondrate定阶定阶两种方法:根据随机过程的自相关函数和偏自相关函数的特点根据信息准则

AC

PACMA截尾拖尾AR拖尾截尾ARMA拖尾拖尾定阶样本自相关函数的计算和判断定阶

定阶

t=c+

11

t-1+

1t

t=c+

12

t-1+

22

t-2＋

2t

t=c+

1k

t-1+

2k

t-2＋

3k

t-3+…+

kk

t-k

＋

kt…用OLS法估计上面的方程

11是1阶样本偏自相关系数；

22是2阶样本偏自相关系数,以此类推。

定阶

定阶

例题假设有T=100,计算得到样本自相关系数如下：123450.207,-0.213,0.086,0.005,-0.022.请判断自相关系数的显著性。答案：自相关函数2步截尾。定阶方法二：信息准则评价模型的优劣信息准则AIC和BIC准则对自由度进行调整k是模型中未知参数的个数,et是估计出的误差

Akaike’sinformationcriterion赤池和SchwartzBayesianinformationcriterion(SBC,SC,BIC)施瓦兹

定阶：AIC准则和BIC准则对AIC和BIC求自然对数：AIC（p，q）=ln()+2(p+q)/TBIC（p，q）=ln()+(p+q)ln(T)/TT样本长度，如果有常数项p+q被p+q+1代替，ln表示自然对数。在ARMA模型中需要选择p和q，所以用p+q代替k。是对噪声项方差的估计AIC和BIC判断步骤（1）给定滞后长度的上限P和Q，例如取为T/10，ln（T），,或根据样本ACF和样本PACF判断。（2）假设样本区间1,…,T,把样本区间修改到P+1,…,T。（3）对任意一对滞后长度p=0，1，…，P，q=0，1，…，Q，分别估计模型ARMA（p，q）（4）带入上面的公式，计算出AIC(p，q)和BIC(p，q)（5）最小值对应的p，q值作为ARMA模型的阶数。用AIC和BIC准则确定阶数AIC准则--------MA(1)

q0123P0-7.415-7.455-7.426-7.3731-7.39-7.395-7.422-7.2722-7.433-7.383-7.174-7.221用AIC和BIC准则确定阶数BIC--------白噪声

q0123P0-7.415-7.411-7.338-7.2391-7.346-7.251-6.998-7.0012-7.345-7.251-6.998-7.001AIC和BIC准则选择滞后长度存在以下缺陷：1）选择不同的准则具有主观任意性，不同准则得出矛盾的结论。BIC准则的大样本(满足一致性)性质比AIC好，小样本下AIC的性质优于BIC，一般AIC确定的阶数大于BIC。2）选择方法是确定一个滞后长度的上限P和Q，如果实际的滞后长度大于P或Q，那我们就得不到正确的滞后长度。其他定阶方法很多信息准则，可以使用多种信息准则定阶，采用大多数原则，选择大多数信息准则确定滞后长度。例如7个准则中有4个定阶3，那么选滞后长度3.还有一种定阶使用t检验，给出一个比较大的滞后长度，检查最后一个系数是否显著，不显著则滞后长度减少1.ARMA模型参数估计极大似然估计:以AR(1)为例

t=c+

t-1+

t

假设

~i.i.d.N(0,

2)估计:

=(c,

,

2)’

已知:y1,y2,…,yTE(

1)=c/(1-

)E(

1-

)2=

2/(1-

2)极大似然估计当

1的观测已知时，

2的条件分布

2=c+

1+

2

（

2|

1=y1）~N(c+

y1,

2)极大似然估计Y1,Y2的联合分布密度函数，是条件密度和边际密度相乘f

2，Y1(y2，y1;

)=f

2|Y1(y2|y1;

)f

1

(y1;

)类似的，已知y1,y2，

3的条件分布

3=c+

2+

3~N(c+

y2,

2)

极大似然估计三者的联合分布f

3，

2，Y1(y3，y2，y1;

)=f

3|Y2，Y1(y3|y2，y1;

)f

2|Y1(y2|y1;

)f

1

(y1;

)一般给定y1,y2,…yt-1，

t=c+

t-1+

t~N(c+

yt-1,

2)

t的条件分布只和yt-1有关

极大似然估计f

t,Yt-1，…,Y1(yt,yt-1，…,y1;

)=f

1

(y1;

)f

t|Yt-1(yt|yt-1;

)极大似然估计估计：满足下面的条件的解求解未知参数的方程是非线性的，如果只关心（

2，…，

T）的条件联合分布，得到条件极大似然函数。极大似然估计假设观测值是y0,y-1…,y-P+1,y1,…,yT假设

0＝

－1＝…=

－q+1=0以初始值y0,y-1…,y-P+1和

0，

－1，…，

－q+1为条件，对t＝1，2，…，T，对数条件似然函数是使用对数条件似然函数对每个未知参数求一阶导数，令其等于0，这时方程组是线性方程组，易于求解。对残差进行检验模型的检验检验残差是否是白噪声过程1）画出残差的SACF,SPACF2)计算统计量QBox-PierceQ-检验LjungandBox

Q检验1）H0：

1=

2=…

m=0，即{

t}是白噪声过程2）m主观给定，一般在15到30之间，可令m=T1/23)当零假设成立时，统计量Q渐进(asymptoticallydistributed)服从

2（m-p-q），如果模型中包括常数项，那么Q渐进服从

2（m-1-p-q）4)当统计量的值>临界值时，拒绝零假设。5）Q检验的缺陷是，经常不能拒绝零假设。把不是白噪声时，也误认为是白噪声。

检验Q检验图示真实临界值计算值卡方分布临界例题例m=6，模型中有常数项，考虑下面的几个模型，哪个模型是合格的模型？给出其它几个模型Q检验统计量的自由度。(p+q)Q自由度P-value(1,0)15.926-1-0-10.019(2,0)11.8230.249(0,1)4.1240.139(0,2)6.9430.21(1,1)7.9430.047预测预测－基本概念模拟预测事后预测事前预测样本内样本外1100110假设收集到N个数据，使用1到T来估计模型.对N时刻以后预测事前预测；对T到N预测事后预测或样本外预测；对1到T之间的预测是模拟，或拟和。1TN预测－基本概念假设时刻T之前的所有数值YT,YT-1,…,Y1,…h步预测：预测变量YT+h，h>0，称为h-步预测预测估计量：用表示基于T时刻之前的观测对YT+h的预测预测误差估计量：预测均方误差,记为MSE()预测最优预测：选择合适的函数形式，使得预测均方误差最小的预测是最优预测。可以证明求YT+h基于YT,YT-1,…，Y1，…的条件期望是使均方误差最小的预测，条件期望表示为：E（YT+h|YT,YT-1,…，Y1…）=预测值的计算

t=c+

1

t-1+

2

t-2+…+

p

t-p+不可能知道T时刻前的所有观测，观测值是YT,YT-1,…Y1，所以是近似预测。假设参数已知，实际只能用估计的参数代替真实参数。预测是递推进行例题

预测值的计算AR（1）模型的h步预测收敛到

t的均值

t=c+

t-1+

t例题

残差的计算

t=0.2+

t+0.7

t-1

t=

t-0.2-0.7

t-1

1=

1-0.2-0.7

0

假设

0=0

2=

2-0.2-0.7

1

…

T-1=

T-1-0.2-0.7

T-2

T=

T-0.2-0.7

T-1

T+1

T+2未知，用条件期望代替预测值的计算MA(q)模型的h步预测

预测值的计算计算残差的估计值，假设0,

-1,…

-q+1=0根据下面的公式递推计算：预测值的计算ARMA（1，1）模型的预测收敛到均值

t=c+

1Yt-1+

t+

1

t-1

预测值的计算残差的计算与MA模型类似，以ARMA(1,1)为例。

1=

1-c-

1Y0-

1

0假设

0=0，

0已知。所以实际用的数据个数为T+1个；如果

0未知，用样本均值代替。

2=

2-c-

1Y1-

1

1…

T=

T-c-

1YT-1-

1

T-1预测值的计算1－步预测2－步预测预测值的计算一般预测公式预测置信区间ARMA模型表示成MA（

）模型

t-

=

t+

1

t-1+

2

t-2+…

T+h-

=

T+h+

1

T+h-1+…+

h-1

T+1

+

h

T+

h+1

T-1+…h步预测是在基于T时刻前的信息求条件期望，结果如下：

预测置信区间预测误差：

预测方差一步预测方差等于残差的方差。预测方差随着预测步长的增加越来越大。预测方差趋于Y的无条件方差预测的置信区间95％置信水平下，h－步预测的置信区间，假设服从正态分布

样本外预测静态预测滚动预测递推预测静态预测与动态预测

滚动预测和递推预测:假设收集到数据95：1：1到99：12：10。使用95：1：1到99：11：30估计模型，对99：12：1－99：12：10日的数据进行预测。静态预测在预测时，把99：12：1到99：12：9日的真实观测值带入预测公式即可。

样本外预测滚动预测是滚动估计区间，然后进行1－步预测，递推预测是不断增加估计样本区间，然后进行1－步预测，例如：预测

滚动估计样本范围

递推估计样本范围195：1：1－99：11：3095：1：1－99：11：30295：1：2－99：12：195：1：1－99：12：1395：1：3－99：12：295：1：1－99：12：2预测的评价

1)均方根误差2)均方误差3)平均绝对百分比误差4)建立回归模型，如果预测准确截距等于0，斜率等于1预测的评价(5)平均误差(6)平均绝对误差(7)均方根百分比误差RMSPE=（8）正确预测的百分率

与这个概率接近的一个指标是符号正确百分率:

%符号正确百分率=

其中 zt+s=1如果(yt+s.ft,s)>0

zt+s=0否则

预测评价MSE=0.079,MAE=0.180,符号正确百分率=40%预测评价的例子对模型的评价总结残差是否是白噪声预测是否准确是否有最小的AIC或BIC是否有更简单的模型是否有直观意义和经济理论基础金融时间序列模型第4章波动率模型自回归条件异方差模型金融衍生市场，计算期权等衍生工具的价格需要了解股票的波动率金融风险管理,度量金融风险的大小，计算VaR。改进参数估计量的有效性，提高预测区间的精确度。

自回归条件异方差模型

ARCH(1):

t~i.i.d.是独立同分布白噪声过程

0>0,

1

0,1

<1

方差方程：

AR（1）-ARCH（1）模型

自回归条件异方差模型金融资产收益率的一个特征是日收益率不存在或只存在微弱的相关性，但是日收益率的平方存在相关性，即收益率序列不相关但是也不独立,就是ARCH过程。不相关也不独立

ARCH过程的性质该过程表明,如果

t-1异常的偏离他的条件期望0,那么

t的条件方差要比通常情况下大,所以有理由预期

t会比较大.这样使得比较大,反之,如果

t-1异常的小,那么条件方差要比通常情况下小,所以有理由预期

t会比较小.这样使得比较小.虽然方差大或小会持续一端时间,但是不会一直持续下去,会回到无条件方差上去.ARCH过程性质无条件期望和无条件方差

一般的ARCH(q)模型

ARCH(q)是加权平均对波动率进行预测

ARCH(q):

t~i.i.d.是独立同分布白噪声过程

0>0,

j

0,j=1,…q,1

+…+q<1

ARCH过程缺点总结不能反应波动率的非对称特点约束强，要求系数非负，如果要求高阶矩存在，还有更多的约束不能解释为什么存在异方差，只是描述了条件异方差的行为。建立ARCH模型建立ARCH模型一、建立收益率序列的计量模型，去掉任何线性关系，使用估计的残差检验ARCH效果二、估计模型三、检验ARCH模型，根据情况修改模型。

建立模型一、建立均值方程：

建立模型根据均值方程计算残差，然后检验残差是否存在条件异方差

观察残差平方的偏自相关函数，如果q步截尾，则阶数为q对残差平方使用Q检验，判断是否存在自相关使用ARCH-LM检验ARCH-LM检验

零假设H0：

1=

2…=

q=0，

即不存在条件异方差性

检验统计量：

LM=TR2,T是样本点个数,LM服从

2(q)分布

建立模型二、估计模型

建立模型三、检验模型

计算标准化后的残差{et/ht1/2}，根据定义应该独立同分布N(0,1)使用Q-检验法检验{et/ht1/2}是否有自相关使用Q-检验法检验{e2t/ht}是否有自相关ARCH模型对条件方差的预测

其他ARCH类模型

GARCHEGARCHTGARCHARCH-M(ARCH-in-Mean)GARCH（p,q）

广义自回归条件异方差模型

GARCH(1,1)GARCH模型由来

例ARMA(2,1)-GARCH(1,2)

例ARMA(1,2)—GARCH(2,2)

GARCH性质1)GARCH模型的含义是条件方差ht是ht-1,…ht-p和

t-1,

t-q的函数。2)当p=0时,成为ARCH模型,ARCH模型是GARCH的特例，这也是该模型被称为广义的原因。3)参数

i,i=1,2,…,q和

i,i=1,2,…,p大于零是保证条件方差为正的充分条件,而不是必要条件。4){

2t}平稳的条件是

1+…+

q+

1+…+

p<1，这时{

t}也是宽平稳的。如果

1+…+

p+

1+…+

p=1则{

t}过程被称为I-GARCH模型。这时条件方差的特点，或者说波动性的特点为很强的持续性。5)GARCH（p,q）模型等价于ARCH(

)，经常使用GARCH(1,1)GARCH预测GARCH(1,1)的预测公式

ARMA和GARCH过程的比较性质白噪声i.i.d.ARMAGARCHARMA-GARCH条件均值条件方差条件分布无条件均值无条件方差无条件分布0常数正态0常数正态非常数常数正态常数常数正态0非常数正态0常数厚尾非常数非常数正态常数常数厚尾EGARCH

指数广义自回归条件异方差模型

>0同等程度的正扰动引起条件方差的变化比负扰动要大；

<0同等程度的正扰动引起条件方差的变化比负扰动要小;

=0同等程度的正扰动引起条件方差的变化与负扰动相等。

EGARCH模型1）重要特征是引入不对称性。2）参数没有大于0的约束，因为对求对数后的条件方差建模，可以保证方差为对数。3）可以假设

t~广义误差分布，广义误差分布中参数r=2时对应正态分布，r<2时对应尖峰分布，r>2时对应扁峰分布。TGARCH模型

新闻响应曲线

newsimpactcurveARCHinMean(ARCH-M)

例题

研究台湾新台币/美圆汇率。即1美圆=------台币。

数据区间1994：11，16——1995：3，8，每5分钟记录一次，共1341个样本点。问题：汇率是否是可预测的？汇率市场波动是否是不对称的？是否风险越大，要求的收益率越大？例题要回答问题1，需要采用AR模型，检验是否是一个随机游动；回答问题2和3要用到EGARCH模型；问题4用到ARCH-M模型。所以采用AR-EGARCH-Mlnpt=lnpt-1+utlnpt-lnpt-1=utrt=ut例题AR-EGARCH-M首先介绍一些符号用St表示汇率。Rt=(lnSt-lnSt-1)*100是汇率的收益率

00.0080.068H0:

0=0

1-0.625-3.479*H0:

1=0

2-0.1079-4.965*H0:

2=0

3-0.1055-5.37*H0:

3=0

-0.0048-1.916*H0:

=0

10.959463.266*H0:

1=0

-0.3766-1.6553H0:

=0

00.2912-3.291*H0:

0=0

10.1196-2.683*H0:

1=0例题如何利用模型解决问题？

汇率是否是可预测的？

H0：

1=0，

2=0，

3=0

汇率市场是否是不对称的？

H0:

=0

是否风险越大，要求的收益率越大

H0:

=0风险价值ValueatRisk金融机构通常这样描述：风险价值是一定数额的货币，是对未来的可能损失的估计。例如某银行宣布，“在99%的置信水平下，一天内他的资产的VaR是350万元”具体说是这样一个数额的货币，预期一个交易日后，损失超过该数额货币的可能性是1%P(损失>VaR)=

，是显著水平P(损失<VaR)=1-，1－是置信水平

风险价值概念要素：置信水平；时间长度;损失：用绝对损失或比率;资产组合损益的可能取值损失的概率密度1％风险价值度量方法历史模拟法基于ARCH模型进行计算风险价值计算原理初始投资额W0持有期末投资资产的价值W持有期的收益率RW=W0(1+R)到期财富小于W*的概率是，即显著水平下，最低的价值W*（或相应的最小的收益率是R*）W*=W0(1+R*)VaR=W0-W*=-W0R*估计VaR-单个股票资产的历史模拟法假设有n个收益率第K个最小的收益率K=n*

VaR=-S*R(K)如果K不是整数历史模拟法例：有6329个样本值，估计5％水平下VaR第一步：由小到大把收益率排序r(1)<r(2)<…<r(6329)第二步：计算KK=6329*0.05=316.45不是整数，与它最接近的两个整数是316<K<317历史模拟法与316对应的概率为p1=316/6329；与317对应的概率为p2=317/6329r(316)=-4.237%;r(317)=-4.22%带入前面的公式x(0.05)=0.55r(316)+0.45r(317)=-4.229%假设初始投资100万，VaR=-100*(-4.229%)=42290元单个股票收益率服从N(,2)与

对应的标准正态分布的分位数当＝0.05时，＝－1.65当＝0.01时，＝－2.33与

对应的收益率的分位数S表示股票的现值风险价值＝J.P.MORGAN的RiskMetricsTM

使用连续日收益率rt

假设日收益率的条件分布是正态分布rt|It-1~N(

t,ht)并且近一步假设rt＝0+

t，h

t＝

h

t－1＋（1－

）r2t－1，1>

>0,h0等于样本方差.

J.P.MORGAN的RiskMetricsTM该方法的简单之处在于容易计算多期收益率，计算t+1到t+k的收益率等于rt+1[k]=rt+1+…+rt+k容易证明

rt+1[k]~N(0,kht+1),其中h

t+1=ht＋(1－

)r2t

h

t+2=ht+1＋(1－

)ht+1=h

t+1J.P.MORGAN的RiskMetricsTM5%显著水平下，一天内的风险价值VaR=资产的当前价值*1.65*

t+15%显著水平下，K天内的风险价值VaR(K)=资产的当前价值*1.65*

t+1*K1/2VaR(K)=K1/2*VaR

例：AR-GARCH模型假设建立模型如下rt=0.00055-0.0246rt-1+

t

t＝vtht=0.00000289+0.91ht-1+0.0699

2t-1例假设共有1190个数据r1189=－0.00201，r1190=－0.0128，h1190=0.00033455一步预测r1190(1)=0.000865

1190=r1190-0.00055+0.0246r1189=-0.001699h1190(1)=0.0002953例5%显著水平下，一天的风险价值为10，000，000×[0.000865－1.65*]=-279770多元ARCH类模型多元ARCH类模型例如套期保值问题。购买一份现货价格用ln(S)表示，由于金融资产价格是随机的具有一定的风险，为了减小风险，可以购买

份的期货价格用ln(F)表示，该资产组合t期的收益率满足：Rt=

ln(St)-

ln(Ft)

基于t-1期预测收益率为：Et-1(Rt)=Et-1(

ln(St))-

t-1Et-1(

ln(Ft))多元ARCH类模型

VECH模型

VECH模型

VECH模型

BEKK模型

CCC模型

VCC模型

VCC模型

DCC模型

DCC模型

DCC模型

金融时间序列模型

第5章：向量自回归模型向量自回归模型定义Granger因果检验脉冲响应函数和方差分解结构向量自回归模型的识别向量自回归模型

(VectorAutoRegressionmodel)

定义definition平稳条件stationarycondition预测forecasting

二维VAR(1)模型写成方程组

二维VAR(1)模型写成矩阵

更一般地，考虑一组时间序列变量：我们可以将其定义为一个n×1维向量Yt：定义：p阶向量自回归模型(过程）（p-orderVARmodelorprocess）一个p阶VAR模型的标准表达式定义为：如果维度是n，C为n×1维常数向量;为n×n维自回归系数矩阵。为n×1维向量白噪生过程，满足如下关系：记模型为VAR(p)，满足上面模型的平稳向量随机过程称为p阶向量自回归过程。

标准VAR模型的特点

charactersofstandardVAR（1）每个分量都是内生变量(allvariablesareendogenous)（2）每个方程的解释变量都相同，是所有内生变量的滞后变量.(everyequationhavethesameexplainvariables,whicharepredeterminedvariables)（3）Yt的动态结构由它的p阶滞后就可以刻画出来，p时刻之前的变量对Yt无影响。(dynamicstructureisdeterminedbyitsplags)VAR模型优点所有变量都是内生的，不用作者去判断，哪些变量需要设置成外生变量。VAR模型比AR模型更灵活。如果模型中只包括滞后项，没有同期变量出现，估计方法简单，OLS就可以。预测比传统的联立方程精确。VAR模型的缺点没有理论基础。VAR模型不能用来进行理论验证和政策评价，模型的系数缺乏对应的经济含义，因此往往很难解释。VAR模型不根据理论提出，所有有可能通过数据挖掘，得到变量间虚假的关系。参数太多，模型要估计的系数个数（n+pn2),n表示变量个数，P表示滞后长度。Sims,Stock,和Watson(1990)提出，非平稳序列仍然可以放在VAR模型中，通过估计结果分析经济、金融含义。如果要对参数进行假设检验，所有变量必需是平稳的。非平稳时，需要建立VECM模型。通常建议对平稳时间序列数据建立VAR模型。向量自回归模型平稳条件VAR(p)用滞后算子表示

向量自回归模型平稳条件

stationaryconditionfor