专题03 变量之间的关系（考点清单）（解析版）

专题03变量之间的关系（考点清单）【考点1】变量与常量【考点2】函数的表示方法【考点3】函数关系式【考点4】函数图像【考点6】动点问题的函数图像【考点7】分段函数【题型1】变量与常量1．（2023秋•贺州期末）一个圆形花坛，周长C与半径r的函数关系式为C＝2πr，其中关于常量和变量的表述正确的是（）A．常量是2，变量是C，π，r B．常量是2，变量是r，π C．常量是2，变量是C，π D．常量是2π，变量是C，r【答案】D【解答】解：根据题意得：函数关系式C＝2πr中常量是2π，变量是C、r．故选：D．2．（2023春•黔东南州期末）司机王师傅在加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（）A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量【答案】C【解答】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，故选：C．3．（2023春•长沙县期末）在圆锥体积公式中（其中，r表示圆锥底面半径，h表示圆锥的高），常量与变量分别是（）A．常量是，变量是V，h B．常量是，变量是h，r C．常量是，变量是V，h，r D．常量是，变量是V，h，π，r【答案】C【解答】解：由圆锥体积公式中（其中，r表示圆锥底面半径，h表示圆锥的高），可知：常量是，变量是V，h，r．故选：C．4．（2023秋•瑶海区校级期中）腌制咸鸭蛋，首先需要制作食盐水，一个容器中装有一定质量的水，向该容器中加入食盐，与食盐混合为食盐水，随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高，这个问题中自变量和因变量分别是（）A．水，食盐水的浓度 B．水，食盐水 C．食盐量，食盐水 D．食盐量，食盐水的浓度【答案】D【解答】解：随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高，自变量是食盐量，因变量是食盐水的浓度．故选：D．【题型2】函数的表示方法5．（2023春•兴庆区期末）一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据：支撑物的高度h（cm）10203040506070小车下滑的时间t（s）4.233.002.452.131.891.711.59下列说法正确的是（）A．t是自变量，h是因变量 B．h每增加10cm，t减小1.23 C．随着h逐渐变大，t也逐渐变大 D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快【答案】D【解答】解；A．由题意可知，h是自变量，t是因变量，故A不符合题意；B．由表格可知，h由10cm增加20cm，t减小1.23；h由20cm增加30cm，t减小0.15，故B不符合题意；C．随着h逐渐升高，t逐渐变小，故C不符合题意；D．随着h逐渐升高，小车的时间减少，小车的速度逐渐加快，故D符合题意；故选：D．6．（2023春•高新区校级期中）弹簧挂重物后会伸长，测得弹簧长度y（cm）量长为20cm，与所挂物体重量x（kg）间有下面的关系：下列说法不正确的是（）x01234…y88.599.510…A．x与y都是变量，x是自变量，y是因变量 B．所挂物体为6kg，弹簧长度为11cm C．物体每增加1kg，弹簧长度就增加0.5cm D．挂30kg物体时，弹簧长度一定比原长增加15cm【答案】D【解答】解：由题意可得，x与y都是变量，x是自变量，y是因变量，∴选项A不符合题意；由题意可得，在该弹簧弹性限度范围内所挂重物每增加1kg弹簧就多伸长0.5cm，则所挂物体为6kg，可计算得弹簧长度为11cm，挂30kg物体时，如果超出该弹簧的弹性限度范围，则弹簧长度就不会比原长增加15cm．∴选项B、C不符合题意，选项D符合题意，故选：D．7．（2023春•钢城区期末）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如表）：下列说法错误的是（）温度/℃﹣20﹣100102030声速/（m/s）318324330336342348A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B．温度越高，声速越快 C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740m D．当温度每升高10℃，声速增加6m/s【答案】C【解答】解：由函数的定义可得，在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，∴选项A不符合题意；∵由表格信息可得，温度越高，声速越快，∴选项B不符合题意；∵当空气温度为20℃时，声音5s可以传播距离为342×5＝1710（m），∴选项C符合题意；∵由题意得当温度每升高10℃，声速增加6m/s，∴选项D不符合题意；故选：C．8．（2023春•定边县校级期末）如图，在实验课上，小亮利用同一块木板，测量了小车从木板顶部下滑的时间t与支撑物的高度h，得到如表所示的数据．下列结论不正确的是（）木板的支撑物高度h（cm）1020304050…下滑时间t（s）3.253.012.812.662.56…A．这个实验中，木板的支撑物高度是自变量 B．支撑物高度h每增加10cm，下滑时间就会减少0.24s C．当h＝40cm时，t为2.66s D．随着支撑物高度h的增加，下滑时间越来越短【答案】B【解答】解：A选项，木板的支撑物高度在增加，时间在减小，故木板的支撑物高度是自变量，故A正确，不符合题意；B选项，支撑物高度h第一次增加10cm，下滑时间就会减少0.24s；第二次增加10cm，下滑时间减少1.2s，故B错误，符合题意；C选项，当h＝40cm时，t为2.66s，故C正确，不符合题意；D选项，随着支撑物高度h的增加，下滑时间越来越短，故D正确，不符合题意；故选：B．【题型3】函数关系式9．（2023秋•萧山区月考）甲、乙两地相距320km，一货车从甲地出发以80km/h的速度匀速向乙地行驶，则货车距离乙地的路程S（km）与时间t（h）之间的函数表达式是（）A．S＝320t B．S＝80t C．S＝320﹣80t D．S＝320﹣4t【答案】C【解答】解：由题意得：S＝320﹣80t，故选：C．10．（2023春•阿克苏地区期末）今年5月1日，我市某商场停车场的停车量为2000辆次，其中两轮电动车平均停车费为每辆1元一次，小汽车平均停车费为每辆5元一次，若两轮电动车停车辆数为x辆次，停车的总收入为y元，则y与x的关系式为（）A．y＝﹣4x+10000 B．y＝﹣3x+8000 C．y＝﹣2x+4000 D．y＝﹣4x+5000【答案】A【解答】解：∵两轮电动车停车辆数为x辆次，∴小汽车停车辆数为（2000﹣x）辆次，∵两轮电动车平均停车费为每辆1元一次，小汽车平均停车费为每辆5元一次，∴y＝x+5（2000﹣x），整理得：y＝﹣4x+10000，故选：A．11．（2023•天心区校级一模）油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（）A．Q＝0.2t B．Q＝20﹣0.2t C．t＝0.2Q D．t＝20﹣0.2Q【答案】B【解答】解：由题意得：流出油量是0.2t，则剩余油量：Q＝20﹣0.2t，故选：B．12．（2023秋•大埔县期末）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系式是（）A．y＝2n+1 B．y＝2n+n C．y＝2n+1+n D．y＝2n+n+1【答案】B【解答】解：根据题意得：第1个图：y＝1+2，第2个图：y＝2+4＝2+22，第3个图：y＝3+8＝3+23，…，以此类推第n个图：y＝n+2n，故选：B．13．（2023秋•德化县期末）有一根弹簧挂上不超过50克重物后，它的长度会改变，请根据下面表格中的一些数据回答问题：质量（克）1234…n伸长量（厘米）0.511.52…总长度（厘米）10.51111.512…m当所挂重物为n克时，弹簧的总长度为m厘米，则m＝0.5n+10（n≤50）（用含n的代数式表示）．【答案】m＝0.5n+10（n≤50）．【解答】解：弹簧原来的长度：10.5﹣0.5＝10（厘米），挂上1克重物弹簧伸长的长度：0.5÷1＝0.5（厘米），∴m＝0.5n+10（n≤50），故答案为：m＝0.5n+10（n≤50）．【题型4】函数图像14．（2023秋•玄武区期末）如图，现有一个计时沙漏，开始时盛满沙子，沙子从上部均匀下漏，经过5分钟漏完，则该沙漏中沙面下降的高度h（cm）与下漏时间t（min）之间的函数图象大致是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：沙漏中的沙下落的速度可以近似看成匀速，则相同时间内，玻璃球内的含沙量Q的减少量相同，从计时器开始计时到计时5min止，则该沙漏中沙面下降的高度逐渐增大，且增大的速度由慢变快，故选项B的图象符合题意．故选：B．15．（2023春•开州区校级期中）周末，小陈出去购物；如图是他离家的距离y（千米）与时间x（分钟）的关系图象，根据图示信息：下列说法正确的是（）A．小陈去时的速度为6千米/小时 B．小陈在超市停留了15分钟 C．小陈去时花的时间少于回家所花的时间 D．小陈去时走下坡路，回家时走上坡路【答案】A【解答】解：∵小陈去时的路程为2千米，时间为20分钟＝小时，∴小陈去时的为＝6（千米/小时），故A选项正确，符合题意；小陈在超市停留的时间为30﹣20＝10（分钟），故B选项错误，不符合题意；小陈去超市所花的时间为20分钟，回家所花的时间为40﹣30＝10（分钟），∵20＞10，∴小除去时花的时间多于回家所花的时间，故C选项错误，不符合题意；∵函数图象表示的是距离和时间的关系，∴不能判断出小陈去时走下坡路，回家时走上坡路，故D选项错误，不符合题意．故选：A．16．（2023•龙江县三模）如图是两圆柱形连通容器，向甲容器匀速注水，则下面可以近似地刻画甲容器的水面高度h（cm）随时间t（分）的变化情况的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵刚开始时注水都在甲容器，水面高度h增长速度不变；当甲容器中水位到达连通部分后注水开始流向乙容器，此时甲容器的水面高度h（cm）不变；当乙容器水位也到达连通部分后，甲、乙两容器中水位同时上升，此时水面高度h（cm）上升但速度比开始时慢，∴选项A中图象符合该变化过程，故选：C．17．（2022秋•金寨县期末）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：①火车的长度为100米；②火车的速度为30米/秒；③火车整体都在隧道内的时间为25秒；④隧道长度为1050米．其中正确的结论是（）A．②③ B．①② C．③④ D．①④【答案】A【解答】解：在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒．故②正确；火车的长度是150米，故①错误；整个火车都在隧道内的时间是：35﹣5﹣5＝25秒，故③正确；隧道长是：35×30﹣150＝1050﹣150＝900米，故④错误．故正确的是：②③．故选：A．18．（2023秋•成武县期末）已知琳琳家、药店、邮局在同一直线上，琳琳从家出发，跑步去药店买了酒精和口罩，又步行到邮局把物品寄出，然后走回家．琳琳离家的距离y（km）与时间x（min）之间的关系如图所示，请根据图象解决下列问题：（1）琳琳家离药店的距离为2.5km；（2）琳琳邮寄物品用了20min；（3）求琳琳从邮局走回家的速度是多少？【答案】（1）2.5；（2）20；（3）琳琳从邮局走回家的速度是60m/min．【解答】解：（1）由所给图象可知，药店离琳琳家2.5km，琳琳用了15min走到药店；因为30﹣15＝15（min），所以琳琳在药店停留了15min；因为2.5﹣1.5＝1（km），45﹣30＝15（min），所以药店距邮局1km，琳琳走了15min；因为65﹣45＝20（min），所以琳琳在邮局停留了20min；因为1.5﹣0＝1.5（km），90﹣65＝25（min），所以邮局离琳琳家1.5km，琳琳走了25min．故答案为：2.5．（2）由（1）知，琳琳在邮局停留了20min，即琳琳邮寄物品用了20min．故答案为：20．（3）由（1）知，邮局离琳琳家1.5km，琳琳走了25min，所以1500÷25＝60（m/min），故琳琳从邮局走回家的速度是60m/min．【题型6】动点问题的函数图像19．（2023秋•泾阳县期末）如图①，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿B﹣C﹣D﹣A方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为2cm/s，设点P的运动时间为t（s），△PAB的面积为y（cm2），若y关于t的函数图象如图②所示，则长方形ABCD的面积为（）A．108cm2 B．54cm2 C．48cm2 D．36cm2【答案】C【解答】解：∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，当点P在点B，C之间运动时，△ABP的面积随时间t的增大而增大，由图2知，当t＝3时，点P到达点C处，∴BC＝2×3＝6（cm）；当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，由图2可知，点P从点C运动到点D所用时间为7﹣3＝4（s），∴CD＝2×4＝8（cm），∴长方形ABCD面积＝BC×CD＝6×8＝48（cm2），故选：C．20．（2023秋•大埔县期末）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P从顶点D出发沿正方形的边运动，路线是D→C→B→A，设P点经过的路程为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解；当点P由点D向点C运动时，y随着x的增大而增大，最大值为8，此时x＝4，故排除B和D；当点P在CB上运动时，y＝AD•DC＝×4×4＝8，即当4≤x≤8时，y＝8，值不变，故排除C；故选：A．21．（2023春•曲阜市期末）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的周长是（）A．18 B．20 C．26 D．36【答案】A【解答】解：∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，函数图象上横轴表示点P运动的路程，x＝4时，y开始不变，说明BC＝4，x＝9时，接着变化，说明CD＝9﹣4＝5，∴AB＝5，BC＝4，∴矩形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝18．故选：A．22．（2023春•兴宾区期末）如图，在矩形ABCD中，动点P从B点开始沿B→A→D→C的路径匀速运动到C点停止，在这个过程中，△PBC的面积S随时间t变化的图象大致是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：当点P在AB上，S＝BC×PB，则随t的增大，S逐渐增大；当点P在AD上，S＝BC×AB，则S是定值；当点P在CD上，S＝BC×CP，则随t的增大，S逐渐减小；故选：B．23．（2023春•黄岩区期末）已知动点P在图1所示的多边形（各个角为直角）的边上运动，从点A开始按顺时针方向走一圈回到点A，速度为每秒1个单位长度．△ABP的面积随着时间t（秒）的变化如图2所示，则这个过程中，点P走过的路程为（）A．28 B．14 C．20 D．19【答案】A【解答】解：由题知，根据图2，当0≤t≤6时，即点P在AB上运动，又点P的速度为每秒1个单位长度，所以AB＝6．由图2可知，当点P在CD上运动时，△ABP的面积恒为9，则，所以BC＝3．又当a≤t≤a+5时，即点P在FG上运动，所以FG＝a+5﹣a＝5．又CD+EF+GK＝AB＝6，DE+AK＝BC+FG＝3+5＝8，所以图1中多边形的周长为：2×（6+8）＝28．即点P走过的路程为28．故选：A．24．（2023春•招远市期末）如图1所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y与点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图2所示，下列说法正确的是（）A．AB＝10 B．BC＝2 C．CD＝12 D．DE＝4【答案】B【解答】解：由图知，点P从点A到点B运动了4秒，则AB＝4×1＝4；点P从点B到点C运动了2秒，则BC＝2×1＝2；∵点P从点C到点D运动了6秒，∴CD＝6×1＝6；∵点P从点D到点E运动了3秒，∴DE＝3×1＝3；所以正确的是B，故选：B．25．（2023春•启东市期末）如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动到点A停止，设点P运动路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图（2）所示，则矩形ABCD的面积是（）A．15 B．16 C．20 D．36【答案】A【解答】解：∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，函数图象上横轴表示点P运动的路程，x＞3时，y不发生变化，说明BC＝3，x＝8时，接着变化，说明CD＝8﹣3＝5，∴AB＝5，BC＝3，长方形ABCD的面积是：5×3＝15，故选：A．26．（2023春•蓬莱区期中）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中曲线部分为轴对称图形，M为最低点，则△ABC的面积是（）A．6 B．9 C．12 D．15【答案】C【解答】解：由图得，当点P运动到点C和店A处时，BP长都是5，即BC＝BA＝5，当BP最短时，即BP垂直AC时长为4，如图，在Rt△BCP中，∵BC＝5，BP＝4，∴PC＝3，∵BC＝BA，BP⊥AC，∴CP＝AP＝3，∴AC＝6，∴S△ABC＝AC•BP＝×6×4＝12．故选：C．27．（2023春•宣化区期中）如图①，在长方形ABCD中，动点P从A出发，匀速沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x．△PAB面积为y，若y与x的函数图象如图②所示，则长方形ABCD的面积为（）A．36 B．60 C．72 D．81【答案】B【解答】解：由题意及图②可知：AB＝6，BC＝16﹣6＝10，∴长方形ABCD的面积为6×10＝60．故选：B．28．（2023春•中江县期末）如图①所示，正方形ABCD边长为6cm，动点P从点A出发，在正方形边上沿A→B→C→D运动，设运动时间为t（s），△APD的面积为S（cm2），如图②表示△APD的面积随着点P的运动时间变化的函数图象，△APD的面积为10cm2时，t的值是（）A． B． C．或 D．或【答案】D【解答】解：点P在AB上时，△APD的面积；点P在BC时，△APD的面积S＝；点P在CD上时，PD＝6﹣2（t﹣12）＝30﹣2t，∧APD的面积S＝＝90﹣6t，∴当0≤t≤6时，S＝3t，△APD的面积为10cm2，即S＝10时，3t＝10，解得，当12≤t≤15时，90﹣6t＝10，解得，∴当t为或时，△APD的面积为10cm2．故选：D．29．（2023春•渠县期末）已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F的路径匀速运动，相应的△HAF的面积S（cm2）关于时间t（s）的关系图象如图2，已知AF＝8cm，则下列说法正确的有几个（）①动点H的速度是2cm/s；②BC的长度为3cm；③当点H到达D点时△HAF的面积是8cm2；④b的值为14；⑤在运动过程中，当△HAF的面积是30cm2时，点H的运动时间是3.75s和10.25s．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【解答】解：当点H在AB上时，如图所示，AH＝xt（cm），S△HAF＝×AF×AH＝4xt（cm2），此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大，当点H在BC上时，如图所示，HP是△HAF的高，且HP＝AB，∴S△HAF＝×AF×AB，此时三角形面积不变，当点H在CD上时，如图所示，HP是△HAF的高，C，D，P三点共线，S△HAF＝×AF×HP，点H从点C点D运动，HP逐渐减小，故三角形面积不断减小，当点H在DE上时，如图所示，HP是△HAF的高，且HP＝EF，S△HAF＝×AF×EF，此时三角形面积不变，当点H在EF时，如图所示，S△HAF＝×AF×HF，点H从点E向点F运动，HF逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零，对照图2可得0≤t≤5时，点H在AB上，S△HAF＝4xt＝4•5x＝40（cm2），∴x＝2，AB＝2×5＝10（cm），∴动点H的速度是2cm/s，故①正确，5≤t≤8时，点H在BC上，此时三角形面积不变，∴动点H由点B运动到点C共用时8﹣5＝3（s），∴BC＝2×3＝6（cm），故②错误，8≤t≤12时，当点H在CD上，三角形面积逐渐减小，∴动点H由点C运动到点D共用时12﹣8＝4（s），∴CD＝2×4＝8（cm），∴EF＝AB﹣CD＝10﹣8＝2（cm），在D点时，△HAF的高与EF相等，即HP＝EF，∴S△HAF＝×AF×EF＝×8×2＝8（cm2），故③正确，12≤t≤b，点H在DE上，DE＝AF﹣BC＝8﹣6＝2（cm），∴动点H由点D运动到点E共用时2÷2＝1（s），∴b＝12+1＝13，故④错误．当△HAF的面积是30cm2时，点H在AB上或CD上，点H在AB上时，S△HAF＝4xt＝8t＝30（cm2），解得t＝3.75（s），点H在CD上时，S△HAF＝×AF×HP＝×8×HP＝30（cm2），解得HP＝7.5（cm），∴CH＝AB﹣HP＝10﹣7.5＝2.5（cm），∴从点C运动到点H共用时2.5÷2＝1.25（s），由点A到点C共用时8s，∴此时共用时8+1.25＝9.25（s），故⑤错误．故选：A．【题型7】分段函数30．（2022•兴山县一模）在国内投寄到外地质量为80g以内的普通信函应付邮资如下表：信件质量m/g0＜m≤2020＜m≤4040＜m≤6060＜m≤80邮资y/元1.202.403.604.80某同学想寄一封质量为15g的信函给居住在外地的朋友，他应该付的邮资是（）A．4.80 B．3.60 C．2.40 D．1.20【答案】D【解答】解：由题可得，当0＜m≤20时，邮资y＝1.20元，∴同学想寄一封质量为15g的信函给居住在外地的朋友，他应该付的邮资是1.20元，故选：D．31．（2023秋•成武县期末）某地市话的收费标准为：（1）通话时间在3分钟以内（包括3分钟）话费0.3元；（2）通话时间超过3分钟时，超过部分的话费按每分钟0.11元计算．在一次通话中，如果通话时间超过3分钟，那么话费y（元）与通话时间x（分）之间的关系式为y＝0.11x﹣0.03．【答案】见试题解答内容【解答】解：超过3分钟的话费为0.11×（x﹣3），通话时间超过3分钟，话费y（元）与通话时间x（x取整数，单位：分钟）之间的函数关系式为y＝0.3+0.11（x﹣3）＝0.11x﹣0.03．故答案为：y＝0.11x﹣0.03．32．（2023春•渭滨区期末）某市出租车的收费标准是：3千米以内（包括3千米）收费5元，超过3千米，每增加1千米加收1.2元，则路程x（x≥3）时，车费y（元）与路程x（千米）之间的关系式为：y＝1.2x+1.4．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意得出：当0＜x≤3时，y＝5当x＞3时，y＝5+（x﹣3）×1.2＝5+1.2x﹣3.6＝1.2x+1.4，故答案为：y＝1.2x+1.4．33．（2022秋•辉县市期末）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表：x﹣3﹣2﹣10123y121012描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点并连线．得到该分段函数的图象．（1）在平面直角坐标系中完成函数图象；（2）此函数图象与y轴的交点坐标为（0，1）；（3）点在函数图象上