天体运动中天体质量和密度的估算与天体表面重力加速度问题(解析版)

天体表面重力加速度问题与天体质量和密度的估算一、天体表面上的重力加速度问题重力是由于物体受到地球的万有引力而产生的，严格说重力只是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，但由于向心力很小，一般情况下认为重力约等于万有引力，即mg＝eq\f(GMm,R2)，这样重力加速度就与行星质量、半径联系在一起，高考也多次在此命题。计算重力加速度的方法(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝Geq\f(mM,R2)，得g＝eq\f(GM,R2)(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝eq\f(GmM,R＋h2)，得，g′＝eq\f(GM,R＋h2)所以eq\f(g,g′)＝eq\f(R＋h2,R2)(3)其他星球上的物体，可参考地球上的情况做相应分析．【典例1】宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为()A．0 B.eq\f(GM,R＋h2)C.eq\f(GMm,R＋h2) D.eq\f(GM,h2)【解析】飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即Geq\f(Mm,R＋h2)＝mg，得g＝eq\f(GM,R＋h2)，选项B正确。【答案】B【典例2】假设有一火星探测器升空后，先在地球表面附近以线速度v环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后以线速度v′在火星表面附近环绕火星飞行。若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1∶2，密度之比为5∶7。设火星与地球表面的重力加速度分别为g′和g。下列结论正确的是()A．g′∶g＝1∶4 B．g′∶g＝7∶10C．v′∶v＝eq\r(\f(5,28)) D．v′∶v＝eq\r(\f(5,14))【答案】C【典例3】若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶eq\r(7)。已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R。由此可知，该行星的半径约为()A.eq\f(1,2)R B.eq\f(7,2)RC．2R D.eq\f(\r(7),2)R【答案】C【解析】做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动，即x＝v0t，在竖直方向上做自由落体运动，即h＝eq\f(1,2)gt2，所以x＝v0eq\r(\f(2h,g))，两种情况下，物体抛出的速度相同，高度相同，所以eq\f(g行,g地)＝eq\f(7,4)，根据公式Geq\f(Mm,R2)＝mg可得g＝eq\f(GM,R2)，故eq\f(g行,g地)＝eq\f(\f(M行,R行2),\f(M地,R地2))＝eq\f(7,4)，解得R行＝2R，故C正确。【跟踪短训】1．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原地。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原地。已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计。则()A．g′∶g＝5∶1 B．g′∶g＝5∶2C．M星∶M地＝1∶20 D．M星∶M地＝1∶80【答案】D【解析】由速度变化的对称性知竖直上抛的小球在空中运动时间t＝eq\f(2v0,g)，5t＝eq\f(2v0,g′)，因此得eq\f(g′,g)＝eq\f(t,5t)＝eq\f(1,5)，A、B错误；由Geq\f(Mm,R2)＝mg得M＝eq\f(gR2,G)，因而eq\f(M星,M地)＝eq\f(g′R星2,gR地2)＝eq\f(1,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＝eq\f(1,80)，C错误，D正确。2．有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的(忽略其自转影响)()A.eq\f(1,4) B．4倍C．16倍 D．64倍【答案】D【解析】天体表面的重力加速度g＝eq\f(GM,R2)，又知ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3M,4πR3)，所以M＝eq\f(9g3,16π2ρ2G3)，故eq\f(M星,M地)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(g星,g地)))3＝64。D正确。3.热爱天文科学的某同学从网上得到一些关于月球和地球的信息，如下表中所示。根据表格中数据，可以计算出地球和月球的密度之比为()月球半径R0月球表面处的重力加速度g0地球和月球的半径之比eq\f(R,R0)＝4地球表面和月球表面的重力加速度之比eq\f(g,g0)＝6A.3∶2 B．2∶3C．4∶1 D．6∶1【答案】A4．据报道，科学家们在距离地球20万光年外发现了首颗系外“宜居”行星。假设该行星质量约为地球质量的6.4倍，半径约为地球半径的2倍。那么，一个在地球表面能举起64kg物体的人，在这个行星表面能举起的物体的质量约为(地球表面重力加速度g＝10m/s2)()A．40kg B．50kgC．60kg D．30kg【答案】A【解析】在地球表面，万有引力近似等于重力eq\f(GMm,R2)＝mg，得g＝eq\f(GM,R2)，因为行星质量约为地球质量的6.4倍，其半径约为地球半径的2倍，则行星表面重力加速度是地球表面重力加速度的1.6倍，而人的举力可认为是不变的，则人在行星表面所举起的物体的质量为：m＝eq\f(m0,1.6)＝eq\f(64,1.6)kg＝40kg，故A正确。5．科幻大片《星际穿越》是基于知名理论物理学家基普·索恩的黑洞理论，加入人物和相关情节改编而成的。电影中的黑洞花费三十名研究人员将近一年的时间，用数千台计算机精确模拟才得以实现，让我们看到了迄今最真实的黑洞模样。若某黑洞的半径R约为45km，质量M和半径R的关系满足eq\f(M,R)＝eq\f(c2,2G)(其中c＝3×108m/s，G为引力常量)，则该黑洞表面的重力加速度约为()A．108m/s2 B．1010m/s2C．1012m/s2 D．1014m/s2【答案】C【解析】黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，设黑洞表面的重力加速度为g，对黑洞表面的某一质量为m的物体，有eq\f(GMm,R2)＝mg，又有eq\f(M,R)＝eq\f(c2,2G)，联立解得g＝eq\f(c2,2R)，代入数据得重力加速度约为1012m/s2，故选项C正确。6.假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为()A．1－eq\f(d,R) B．1＋eq\f(d,R)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R－d,R)))2 D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,R－d)))2【答案】A【解析】如图所示，7.月球是离地球最近的天体，已知月球质量为M，半径为R，引力常量为G，若忽略月球的自转，则关于在月球表面所做的实验，下列叙述正确的是()A．把质量为m的物体竖直悬挂在弹簧测力计下，静止时弹簧测力计的示数为eq\f(GMm,R2)B．以初速度v0竖直上抛一个物体，则物体经时间2πeq\r(\f(R,GM))落回原处C．把羽毛和铁锤从同一高度同时释放，则铁锤先落地D．用长为l的细绳拴一质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则小球的最小动能为eq\f(GMml,2R2)【答案】AD二、中心天体质量和密度的估算(1)“g、R法”：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。①由Geq\f(Mm,R2)＝mg得天体质量M＝geq\f(R2,G)。②天体密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。(2)“T、r法”：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。①由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)得天体的质量M＝eq\f(4π2r3,GT2)。②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。③若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq\f(3π,GT2)可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。【典例1】假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为()A.eq\f(3π,GT2)eq\f(g0－g,g0) B.eq\f(3π,GT2)eq\f(g0,g0－g)C.eq\f(3π,GT2) D.eq\f(3π,GT2)eq\f(g0,g)【答案】B【解析】物体在地球的两极时，mg0＝Geq\f(Mm,R2)，物体在赤道上时，mg＋meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2R＝Geq\f(Mm,R2)，以上两式联立解得地球的密度ρ＝eq\f(3πg0,GT2g0－g)。故选项B正确，A、C、D错误。【典例2】利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是()A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离【答案】D【跟踪短训】1.“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟。已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103km。利用以上数据估算月球的质量约为()A．8.1×1010kg B．7.4×1013kgC．5.4×1019kg D．7.4×1022kg【答案】D【解析】对“嫦娥一号”探月卫星，由于万有引力提供其做圆周运动的向心力，则Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)，整理得：M＝eq\f(4π2,GT2)(R＋h)3，代入数据可得M≈7.4×1022kg，D正确。2.“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103A．8.1×1010kgC．5.4×1019kg【答案】D【解析】天体做圆周运动时都是万有引力提供向心力．“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律知：eq\f(GMm