D4-5 函数的极值与最值

4.5.2

函数的最值问题4.5.1

函数的极值的判别

§4.5函数的极值与最值机动目录上页下页返回结束第4章4.5.1函数极值的判别1.驻点：定义域内满足方程函数说明：机动目录上页下页返回结束的解。而言，但对于满足但0不是其极值点；又如是函数的极小值点，但函数在此点不可导；函数不可导，2.奇点：函数定义域内不可导的点。分析：如函数当时取得极小值且函数的驻点与奇点统称为函数的可疑极值点。一、可疑极值点2)对常见函数，极值点可能是函数的驻点

或函数的奇点。1)极值反映的只是函数的局部性质，极大值可能小于其极小值；在但函数在却不取得极值。二、极值的判别法则ⅰ）（法则Ⅰ）设机动目录上页下页返回结束是函数的可疑极值点，满足：且在则内可导，必是函数的极大值点；（小）ⅱ）（法则Ⅱ）设是函数的驻点，在点处二阶可导，若必是的极大值点。（小）证明：ⅰ）由条件与异号且且单调增，单调减，使得则定理

1：(充分条件)类似地可证明极小值的情形。ⅱ）（法则Ⅱ）机动目录上页下页返回结束由极限的保号性得，有使得即是函数的极大值点；且且单调增，单调减，异号，由ⅰ）的证明过程得知必是函数的极大值点；类似地可证明极小值的情形。证毕与例

1.的极值。解:1)求导数：2)求极值可疑点：令求得驻点：而一阶不可导的点（奇点）为：显然：3)极值的判断（作表如下）：是函数的极大点，其极大值为：是函数的极小点，其极小值为：机动目录上页下页返回结束从而得：求函数即例

2.的极值。解:2)求可疑极值点：令得驻点3)极值的判断：故需用第一判别法判断，机动目录上页下页返回结束求函数1）求导数：为其极小值；又因由于一阶导函数在点的左右邻域内不变号，在点处不取得极值。故函数显然即定理

2

(判别法推广)则:且机动目录上页下页返回结束证:设函数阶的导数，处有直到在点1）当n为偶数时，且当必为函数的极值点，而当时，是函数的极小值点；时，将函数是函数的极大值点；2）当n为奇数时，一定不是函数的极值点。展开成n阶带Peano余项的Taylor公式：也就是说：机动目录上页下页返回结束必有同号，即当n为偶数时，与使得由极限的保号性知，同号，与从而证得若必为其函数的极小值；（大）同号，与当n为奇数时，若则同号，与即当时，而当时，即函数在不是函数的极值点；从而知类似可证，当同样也不是函数的极值点。的邻域内单调增，时，例如，

函数极值的判别法（定理1、定理2）的条件都是充分的；说明:当函数不满足定理中的条件时，其极值仍可能存在。例如:为函数的极大值,但不满足定理1、定理2的条件.机动目录上页下页返回结束在例2中，为奇数，由定理2知，不是函数的极值点。4.5.2最值问题

则其最值只能在极值点或区间的端点取得。1.求函数最值的方法:（2）求函数的最值：最小值：机动目录上页下页返回结束设函数（1）求函数在开区间内的可疑极值点：最大值：；；2.关于最值的注明:最值点只能在区间的端点a、b

处取得；且该点又是函数而实际意义的确有最值点，解过程中又只求得唯一的一个可疑极值点，机动目录上页下页返回结束（1）若函数在开区间内只有唯一的一个可疑的极值点，(小)的极大值点，(小)（2）若函数是闭区间上的单调函数，（3）在实际应用中，则该可疑的极值点必为实际问题所寻求的最值点，不必进行最值的理论判断。则该点必是函数的最大值点。则函数的若在理论求例

3.在闭区间上的最大值和最小值。解:且故函数在处取最小值0；机动目录上页下页返回结束求函数显然函数函数在开区间内的可疑的极值点为：在处取最大值5。而各点处的函数值分别为：(k

为某一常数)例4.AC⊥

AB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条公路，铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货物从B运到工厂C的运费最省，20解:则令得又极小值点,故AD=15km时运费最省。总运费：从而为最小值点,问D点应如何选取？铁路上AB段的距离为100Km，工厂C距A处20km,已知

机动目录上页下页返回结束所以为唯一的设例5.

问矩形截面的高h和宽b

应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?解:令得从而有即由实际意义可知，所求最值存在，而驻点只一个，故所求结果就是最好的选择。机动目录上页下页返回结束把一根直径为

d

的圆木锯成矩形梁,由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为：下开始移动，例6.

解:

而正压力即令则问题转化为求函数上的最大值问题。

为多少时用力最省？设摩擦系数机动目录上页下页返回结束设有质量为5kg的物体置于水平面上,的水平与垂直分力分别为：受力的作用问力与水平面的夹角∵力的大小为：在闭区间令解得：而取得最小值，解:即令则问题转化为求函数上的最大值问题。机动目录上页下页返回结束在闭区间时取得最大值，所以，当因而即用力最省。解:睛1.8m,例7.

设观察者与墙的距离为xm,则令得驻点根据问题的实际意义，观察者最佳站位存在，驻点又唯一，因此，观察者站在距离墙2.4m

处看图最清楚。问观察者在距墙多远处看图才最清楚（视角

最大）？机动目录上页下页返回结束一张1.4m高的图片挂在墙上,它的底边高于观察者的眼如右图所示，

内容小结1.连续函数的极值(1)可疑极值点:驻点、奇点；(2)第一充分条件（Th.1）：过由正变负为极大值；过由负变正为极小值；(3)第二充分条件（Th.1）：为极大值；为极小值；(4)判别法的推广（Th.2）定理3目录上页下页返回结束最值点应在极值点和边界点上寻找；应用题可根据实际意义判别。2.连续函数的最值思考与练习1.设则在点a

处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B提示:

利用极限的保号性.机动目录上页下页返回结束2.设在的某邻域内连续,且则在点处(A)不可导;(B)可导,且(C)取得极大值;(D)取得极小值.D提示:

利用极限的保号性.机动目录上页下页返回结束3.

设是方程的一个解,若且则在(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.