D7-2曲面方程 空间曲线 平面方程 空间直线

第七章空间解析几何一、平面及其方程

二、直线及其方程三、二次曲面及一般曲面①(一)平面的点法式方程设一平面通过已知点且垂直于非零向称①式为平面

的点法式方程,求该平面的方程.法向量.量则有故一、平面及其方程

(二)平面的一般方程设有三元一次方程以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的数则显然方程②与此点法式方程等价,

②的平面,因此方程②的图形是法向量为方程.特殊情形•

当

D=0时,Ax+By+Cz=0表示

通过原点的平面;•当

A=0时,By+Cz+D=0的法向量平面平行于

x

轴;•

Ax+Cz+D=0表示•

Ax+By+D=0表示•

Cz+D=0表示•Ax+D=0表示•

By+D=0表示平行于

y

轴的平面;平行于

z

轴的平面;平行于xOy

面的平面;平行于yOz

面的平面；平行于zOx

面的平面.特别,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程.时,平面方程为(P250

例3)(三)两平面的夹角设平面∏1的法向量为

平面∏2的法向量为则两平面夹角

的余弦为即两平面法向量的夹角(常指锐角)称为两平面的夹角.特别有下列结论：外一点,求例设解:设平面法向量为在平面上取一点是平面到平面的距离d.,则P0

到平面的距离为(点到平面的距离公式)因此其一般式方程(一)

一般式方程直线可视为两平面交线，(不唯一)二直线及其方程(二)点向式方程故有说明:

某些分母为零时,其分子也理解为零.设直线上的动点为则此式称为直线的点向式方程(也称为对称式方程)直线方程为已知直线上一点例如,当和它的方向向量(三)参数式方程设得参数式方程:过两个不同的点有且仅有一条直线。设直线L过点P1(x1,y1,z1)，和P2(x2,y2,z2)，则于是设P(x,y,z)为直线上任意一点，即(P252

例7)说明:(四)线面间的位置关系1.两直线的夹角

则两直线夹角

满足设直线

L1,L2的方向向量分别为两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)(P251

例4)特别有:当直线与平面垂直时,规定其夹角为线所夹锐角

称为直线与平面间的夹角;

2.

直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线

L的方向向量为平面

的法向量为则直线与平面夹角

满足直线和它在平面上的投影直(P252

例5,6)特别有:

3.

过直线的平面束方程两不平行平面决定的直线①对任意直线上的点(x,y,z)及数p,q，有整理得表示过直线①的所有平面，称为平面束方程。②②(P265

例8,9)例解:垂直于轴的平面一般方程为经过点可得方程为(09-10,一(1))例过点和解:

由题的直线方程为则直线方程为(09-10,二.5)例以为球心，且通过坐标原点的球面方程为解:由题所以球面方程为(09-10,二(7))三、空间曲面定义1.如果曲面

S

与方程

F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面

S上的任意点的坐标都满足此方程则F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程(一)曲面方程

例如，球心为半径为

R

的球面方程为(二)二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍.其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形统称为二次曲面.(二次项系数不全为0)说明：研究二次曲面特性的基本方法:截痕法对于由方程F(x,y,z)=0所确定的曲面，坐标面的平面相截，用平行于考察交线的形状，了解曲面性质1.椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆与的交线为椭圆：(4)当a＝b

时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当a＝b＝c

时为球面.(3)截痕:为正数)2.抛物面(1)椭圆抛物面(p,q

同号)(2)双曲抛物面（鞍形曲面）(p,q同号)特别,当p=q时为绕

z轴的旋转抛物面.椭圆;抛物线.双曲线;抛物线.3.双曲面(1)单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于x

轴；虚轴平行于z轴）平面

上的截痕情况:双曲线:虚轴平行于x轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z

轴;相交直线:双曲线:(2)双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线单叶双曲面双叶双曲面定义2.一条平面曲线(三)旋转曲面

绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.例如:母线轴建立yOz面上曲线C

绕

z

轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕

z轴旋转时,若点给定yOz

面上曲线

C:则有则有该点转到思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？规律：当坐标平面上的曲线C绕此坐标平面的一个坐标旋转时，要求该旋转曲面的方程，只要将曲线C在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其它两个坐标平方和的正负平方根来代替方程中的另一坐标。例试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.解:在yOz面上直线L的方程为绕z

轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方(P255

例3)(四)柱面定义3.平行定直线并沿定曲线C

移动的直线l形成的轨迹叫做柱面.C

叫做准线,l

叫做母线.表示圆柱面平行

z

轴的直线

l,沿定xOy

面上曲线移动准线母线平行于

z

轴

表示抛物柱面,母线平行于

z

轴;准线为xOy

面上的抛物线.

z

轴的椭圆柱面.

z

轴的平面.

表示母线平行于(且z

轴在平面上)表示母线平行于(五)空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如,方程组表示圆柱面与平面的交线

C.C说明:

一般曲面的参数方程含两个参数,形如参数方程称它为空间曲线的参数方程.(六)空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C的一般方程为消去

z

得投影柱面则C在xOy

面上的投影曲线C´为消去x得C在yOz

面上的投影曲线方程消去y得C在zOx

面上的投影曲线方程

P