人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试题(含答案解析)

一、选择题1．设，则复数所对应点组成的图形为（）A．单位圆 B．单位圆除去点 C．单位圆除去点 D．单位圆除去点2．在下列命题中，正确命题的个数是（）.①两个复数不能比较大小；②复数对应的点在第四象限；③若是纯虚数，则实数；④若，则.A．0 B．1 C．2 D．33．复数，则的共轭复数在复平面内对应的点在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知复数z=3+i(1-3i)A．14 B．15．复数满足，则（）A． B． C． D．6．已知集合，，，，则实数的值为（）A．4 B．－1 C．4或－1 D．1或67．若实系数一元二次方程有两虚数根，且，那么实数的值是（）A． B． C． D．8．设，是虚数单位，则的虚部为（）A．1 B．-1 C．3 D．-39．已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．为虚数单位，复平面内表示复数的点在（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限11．若是纯虚数（其中为虚数单位），则实数等于（）A．1 B． C．2 D．12．若与互为共轭复数，则的值为（）A．2 B． C． D．3二、填空题13．如果复数的实部和虚部互为相反数，那么实数的值为__14．下列命题（为虚数单位）中：①已知且，则为纯虚数；②当是非零实数时，恒成立；③复数的实部和虚部都是－2；④如果，则实数的取值范围是；⑤复数，则；其中正确的命题的序号是__________.15．已知，，，，则的最大值为______.16．若且，那么的最小值为_______________．17．已知复数z满足（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点的坐标（x，y）的轨迹方程为__________.18．在复平面内，复数表示的点在直线上，则_______．19．复数z及其共轭复数满足（1+i）z﹣2＝2+3i，其中i为虚数单位，则复数z＝_____20．若实数满足，且，则_____．三、解答题21．计算下列各式：（1）；（2）；22．已知复数.（1）求；（2）若，求实数，的值.23．在复平面内复数、所对应的点为、，为坐标原点，是虚数单位.（1），，计算与；（2）设，（），求证：，并指出向量、满足什么条件时该不等式取等号.24．若，i为虚数单位，且，求的最小值.25．已知,,设,且,求复数,.26．已知复数．求：（1）；（2）；（3）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据复数，得到复数z对应点的坐标为：，然后由，利用复数的模求解.【详解】因为复数，所以复数z对应点的坐标为：，即，所以，因为，又因为，所以，所以，所以，即，所以复数z对应点组成的图形为单位圆除去点.故选：D【点睛】本题主要考查复数的几何意义以及复数模的轨迹问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.2．B解析：B【分析】根据复数，可得①是错误的；根据复数的表示，可得②是错误的；根据复数的分类，列出方程组，可得③是正确的；根据，可得④错误的.【详解】对于①中，例如复数，此时，所以①是错误的；对于②中，复数对应的点坐标为位于第二象限，所以②是错误的；对于③中，若是纯虚数，则满足，解得，所以③是正确的；对于④中，例如，则，所以④错误的.故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，以及复数的表示与复数的运算的综合应用，其中解答中熟记复数的概念与运算，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3．C解析：C【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出在复平面内对应的点的坐标得答案．【详解】即的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限.故选C.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4．A解析：A【分析】利用复数除法化简z=3【详解】z==3z=34故答案为：A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.5．A解析：A【解析】令6．B解析：B【分析】根据交集的定义可得，由复数相等的性质列方程求解即可.【详解】因为，，，所以，可得，故选B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算.7．A解析：A【分析】根据实系数方程有两虚数根，利用求根公式解得：，由此可得的表示形式，根据即可求得的值.【详解】因为，所以，又因为，所以，所以，解得：.故选A.【点睛】实系数一元二次方程，有两虚根为，注意此时的，因此在写方程根时应写成：而不能写成了.8．D解析：D【解析】因为z=z的虚部为-3，选D.9．D解析：D【解析】，，的共轭复数在复平面内对应点坐标为，的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.10．C解析：C【解析】．故选C11．B解析：B【分析】设，化简后利用复数相等列方程求解即可.【详解】设，所以，所以，解得，故选：B．【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，考查复数相等的性质，属于基础题.12．A解析：A【分析】把两个复数都化为形式，然后由共轭复数定义求得，从而得结论．【详解】因为，，又与互为共轭复数，所以，.则.故选：A．二、填空题13．【分析】先化简再解方程即得解【详解】由题得因为复数的实部和虚部互为相反数所以故答案为：【点睛】本题主要考查复数的除法运算考查复数实部虚部的概念意在考查学生对这些知识的理解掌握水平解析：【分析】先化简，再解方程即得解.【详解】由题得，因为复数的实部和虚部互为相反数，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查复数的除法运算，考查复数实部虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．②③④【分析】①当时不是纯虚数；②根据基本不等式的性质知恒成立；③化简复数得的实部和虚部都是；④根据模长公式得关于的不等式求解即可；⑤根据复数代数运算法则化简计算即可【详解】对于①且若时则不是纯虚数解析：②③④【分析】①当时，不是纯虚数；②根据基本不等式的性质知恒成立；③化简复数，得的实部和虚部都是；④根据模长公式得关于的不等式，求解即可；⑤根据复数代数运算法则，化简计算即可．【详解】对于①，，且，若时，则不是纯虚数，①错误；对于②，当是非零实数时，根据基本不等式的性质知恒成立，②正确；对于③，复数，的实部和虚部都是，③正确；对于④，如果，则，解得，所以实数的取值范围是，④正确；对于⑤，复数，则，⑤错误．综上，正确的命题的序号是②③④．故答案为：②③④．【点睛】本题考查复数的概念与应用问题，考查逻辑推理能力，是综合题．15．4【分析】本题先将分别代入然后相加再运用复数模的三角不等式可计算出的最大值【详解】由题意可知则当与对应的向量反向共线时等号成立故的最大值为4故答案为：4【点睛】本题主要考查复数的模的计算以及复数模的解析：4【分析】本题先将，分别代入，然后相加，再运用复数模的三角不等式可计算出的最大值．【详解】由题意，可知，，则，当与对应的向量反向共线时，等号成立.．故的最大值为4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查复数的模的计算，以及复数模的三角不等式的运用，不等式的计算能力．本题属基础题．16．【分析】复数满足表示以为圆心1为半径的圆表示圆上的点与点的距离求出即可得出结果【详解】复数满足表示以为圆心1为半径的圆表示圆上的点与点的距离∵∴的最小值是故答案为【点睛】本题考查了复数的运算法则复数解析：【分析】复数满足，表示以为圆心，1为半径的圆，表示圆上的点与点的距离，求出即可得出结果．【详解】复数满足，表示以为圆心，1为半径的圆，表示圆上的点与点的距离．∵，∴的最小值是，故答案为．【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义、圆的方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．【分析】设复数根据模的计算公式得到化简即可求解【详解】设复数则所以整理得即在复平面内对应的点的坐标的轨迹方程为故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的模的运算以及复数的表示及应用其中解答中熟记复数的模解析：【分析】设复数，根据模的计算公式得到，化简即可求解.【详解】设复数，则，，所以，整理得，即在复平面内对应的点的坐标的轨迹方程为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了复数的模的运算，以及复数的表示及应用，其中解答中熟记复数的模的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.18．【分析】根据复数几何意义列方程解方程得再根据共轭复数概念得结果【详解】解：由题意可得解得∴∴故答案为：【点睛】本题考查复数几何意义以及共轭复数概念考查基本分析求解能力属基础题解析：【分析】根据复数几何意义列方程，解方程得，再根据共轭复数概念得结果.【详解】解：由题意可得，解得，∴，∴．故答案为：【点睛】本题考查复数几何意义以及共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.19．【分析】设代入题目所给已知条件利用复数相等的条件列方程组解方程组求得的值【详解】设则于是有解得即【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算考查复数相等的概念考查方程的思想属于基础题解析：【分析】设，代入题目所给已知条件，利用复数相等的条件列方程组，解方程组求得的值.【详解】设，则，，于是有解得，即.【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数相等的概念，考查方程的思想，属于基础题.20．【分析】先通过复数代数形式的四则运算法则对等式进行运算再利用复数相等求出最后由复数的模的计算公式求出【详解】因为所以已知等式可变形为即解得【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则复数相等的概念解析：【分析】先通过复数代数形式的四则运算法则对等式进行运算，再利用复数相等求出，最后由复数的模的计算公式求出．【详解】因为，所以已知等式可变形为，即，解得，．【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则，复数相等的概念以及复数的模的计算公式的应用．三、解答题21．（1）0；（2）【分析】利用复数的乘除运算法则求解.【详解】计算下列各式：（1）；（2）.【点睛】本题主要考查复数的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．（1）；（2），．【解析】试题分析：（1）利用复数的计算法则将其化简，即可求得；（2）利用复数的计算法则将等号左边化简，再根据等号左右两边实部虚部相等即可求解．试题（1）∵，∴；（2）∵，∴．考点：复数的计算．23．（1），；（2）证明详见解析，当时.【分析】（1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出，可知，，然后进行数量积的坐标运算即可；（2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出，以及复数的几何意义表示出、计算其数量积，利用作差法比较的大小，并得出何时取等号.【详解】解：（1），所以证明（2），，，所以，当且仅当时取“”，此时.【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．24．3【分析】根据，结合复数减法的模的几何意义，判断出对应点的轨迹，再根据复数减法的模的几何意义，结合圆的几何性质，求得的最小值.【详解】由得，因此复数z对应的点Z在以对应的点为圆心，1为半径的圆上，如图所示.设，则y是Z点到对应的点A的距离.又，∴由图知.【点睛】本小题主要考查复数减法的模的几何意义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.25．【分析】明确复数,的实部与虚部，结合加减法的运算规则，即可求出复数，从而用表示出，接下来根据复数相等的充要条件列出关于的方程组求解，即可得