专题08 二次函数（讲义）（原卷版）

专题08二次函数核心知识点精讲1．二次函数的概念常为中档题．主要考查点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等；2．二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点；3．抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过，覆盖面较广，而且这些内容的综合题一般较难，在解答题中出现．【知识网络】考点一：二次函数的定义一般地，如果（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数．要点诠释：二次函数(a≠0)的结构特征是：(1)等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．(2)二次项系数a≠0．考点二：二次函数的图像及性质1.二次函数(a≠0)的图象是一条抛物线，顶点为．2.当a＞0时，抛物线的开口向上；当a＜0时，抛物线的开口向下．3.①|a|的大小决定抛物线的开口大小．|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大．②c的大小决定抛物线与y轴的交点位置．c＝0时，抛物线过原点；c＞0时，抛物线与y轴交于正半轴；c＜0时，抛物线与y轴交于负半轴．③ab的符号决定抛物线的对称轴的位置．当ab＝0时，对称轴为y轴；当ab＞0时，对称轴在y轴左侧；当ab＜0时，对称轴在y轴的右侧．4.抛物线的图象，可以由的图象移动而得到．将向上移动k个单位得：．将向左移动h个单位得：．将先向上移动k(k＞0)个单位，再向右移动h(h＞0)个单位，即得函数的图象．要点诠释：求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．考点三：二次函数的解析式1.一般式：(a≠0)．若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为，将已知条件代入，求出a、b、c的值．2.交点式（双根式）：．若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为，将第三点(m，n)的坐标(其中m、n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．3.顶点式：．若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．4.对称点式：．若已知二次函数图象上两对称点(x1，m)，(x2，m)，则可设所求二次函数为，将已知条件代入，求得待定系数，最后将解析式化为一般形式．要点诠释：已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(可以看成的图象平移后所对应的函数).已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).考点四、二次函数(a≠0)的图象的位置与系数a、b、c的关系1.开口方向：a＞0时，开口向上，否则开口向下．2.对称轴：时，对称轴在y轴的右侧；当时，对称轴在y轴的左侧．3.与x轴交点：时，有两个交点；时，有一个交点；时，没有交点．要点诠释：当x＝1时，函数y＝a+b+c；当x＝-1时，函数y＝a-b+c；当a+b+c＞0时，x＝1与函数图象的交点在x轴上方，否则在下方；当a-b+c＞0时，x＝-1与函数图象的交点在x轴的上方，否则在下方．考点五、二次函数的最值1.当a＞0时，抛物线有最低点，函数有最小值，当时，．2.当a＜0时，抛物线有最高点，函数有最大值，当时，．要点诠释：在求应用问题的最值时，除求二次函数的最值，还应考虑实际问题的自变量的取值范围．【题型1：二次函数的概念】【典例1】已知函数是二次函数，则等于（

）A． B．2 C． D．61．若函数是二次函数，则的值为（

）A．1 B．2 C． D．02．下列关于的函数解析式中，一定为二次函数的是（

）A． B． C． D．3．关于x的函数是二次函数，则m的值为（

）A．1 B． C．1或 D．0【题型2：二次函数的图象及性质的应用】【典例2】已知，则二次函数的图象可能是（

）A． B．C． D．1．二次函数的图象可能是（

）A． B．C． D．2．当时，二次函数的最大值是1，则实数m的值为（

）A．0或1 B．或0 C．2或 D．或33．二次函数，在的范围内有最小值，则的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．74．如图，抛物线经过等腰直角三角形的两个顶点A，B，点A在y轴上，则的值为(

)A． B． C． D．【题型3：求二次函数的解析式】【典例3】在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（

）A． B． C． D．1．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的表达式为（

）A．B． C． D．2．已知抛物线经过，两点，则该抛物线的解析式为(

)A． B． C． D．3．中条山隧道位于山西省运城市盐湖区，这一隧道的建设开创了全省普通公路特长隧道工程建设的先河，也是全国单洞里程最长的隧道工程．如图1是中条山隧道，其截面近似为抛物线型，如图2为截面示意图，线段表示水平的路面，以O为坐标原点所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．经测量，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线的函数表达式为（

）A． B． C． D．4．如图1是抛物线形拱桥的剖面图，拱顶离水面，水面宽．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立直角坐标系，如图所示，则抛物线的二次函数是（

）A． B． C． D．【题型4：二次函数图象的位置与a、b、c的关系】【典例4】二次函数的图像如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个1．如图，函数的图象过点和，下列结论：①；②关于x的方程有两个不相等的实数根；③；④．正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线，点B坐标为，则下面的五个结论：①②；③当时，或；

④；⑤（m为实数），其中正确的结论有（

）个A．2 B．3 C．4 D．53．抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；其中正确的个数有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．1个【题型5：二次函数综合题】【典例5】如图，在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到抛物线，则抛物线的表达式为；抛物线的对称轴与分别相交于点M，N，则的面积为．1．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，将抛物线向右平移个单位，点平移到点，点平移到点，连接，，若，则．2．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，顶点M的纵坐标为，现将抛物线向右平移3个单位长度得到抛物线，则阴影部分的面积是．3．如图，将一个含的直角三角板放在平面直角坐标系的第一象限，使直角顶点的坐标为，点在轴上，过点，作抛物线，且点为抛物线的顶点.要使这条抛物线经过点，那么抛物线要沿对称轴向下平移个单位．1．将抛物线向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线为（

）A． B．C． D．2．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式为（

）A． B． C． D．3．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，能得到的抛物线解析式是（

）A．B． C． D．4．若是y关于x的二次函数，则．5．如果函数（是常数）是二次函数，那么的取值范围是．6．某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，那么关于的函数关系式为．7．相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为．8．用长为的绳子围成一个长方形，设长方形的面积为y，一边长为，用含有x的代数式表示y为，自变量x的取值范围是．一、单选题1．如图，用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形花园的一边长为，另一边的长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，与，与满足的函数关系分别是（）A．一次函数关系，二次函数关系 B．正例函数关系，二次函数关系C．二次函数关系，正例函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系2．二次函数的图象如图所示，对称轴为，则下列结论：①，②，③，④，⑤（其中m为任意实数）．中正确的个数是（

）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．关于二次函数的图象的对称轴为轴，则函数的最小值为（

）A．2 B．3 C．5 D．－14．如图，直线与抛物线交于A、B两点，点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积是（）．A．3 B． C． D．25．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，在第三象限的抛物线上有一动点，连接、，点在运动过程中，若面积最大时，则点的坐标（

）A． B． C． D．6．将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（

）A． B．C． D．7．如图①，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线)的薄壳屋顶．已知它的拱宽为4米，拱高为0.8米．为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式．图②是以所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图②中的抛物线的解析式为（

）A． B．C． D．二、填空题8．如图，在直线上方的双曲线上有一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，连接，，则面积的最大值是．9．如图，矩形的顶点在抛物线上，将矩形绕点O顺时针旋转，得到四边形，边与抛物线交于点P，则点P的坐标为．10．已知过点的抛物线与两坐标轴交于点A，C，如图所示，连接，第一象限内有一动点M在抛物线上运动，过点M作交y轴于点P．当点P在点A上方，且与相似时，点M的坐标为．11．如图所示，抛物线与轴正半轴交于点．以为边在轴上方作正方形，延长交抛物线于点，再以为边向上作正方形，则点的坐标是．12．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于B，D两点，若直线与，共有3个不同的交点，则m的取值范围是．三、解答题13．已知抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B点坐标为．(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)若抛物线的对称轴交x轴于点D，则在线段上是否存在这样的点Q使得为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．已知抛物线的图像经过点，点，且与y轴交于点C．(1)求出点B的坐标；(2)若点P为x轴上方的抛物线上任意一点．①如图1，若点Q为线段上一点，连接，交x轴于点M，连接，当时，求点M的坐标；②如图2，连接，若满足，求此时点P的坐标．一、单选题1．（2023·广东·统考中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（

）

A． B． C． D．2．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，抛物线经过点，且，有下列结论：①；②；③；④若点在抛物线上，则．其中，正确的结论有（

）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．（2023·四川凉山·统考中考真题）已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（

）

A． B． C． D．（为实数）4．（2023·广东广州·统考中考真题）抛物线经过点、，且与y轴交于点，则当时，y的值为（

）A． B． C． D．55．（2023·贵州铜仁·统考中考真题）如图，若抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若．则的值为（

）A． B