专题08 二次函数综合检测过关卷（解析版）

专题08二次函数综合过关检测（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）一、单选题（本题共8小题，每题3分，共24分）1．抛物线经过变换后，得到抛物线，则这个变换方式可以是（

）A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位【答案】D【分析】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【详解】解：抛物线的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是，则该变换可以是向下平移2个单位．故选：D．2．平移二次函数的图象，使其顶点落在第二象限，且顶点到轴的距离为2，到轴的距离为3，则平移后二次函数的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查二次函数的平移，以及二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键．根据题意得到顶点坐标为，即可得到答案．【详解】解：根据题意可得，顶点坐标为，故平移后二次函数的解析式为．故选C．3．在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，设，，则的值是（

）A．1 B．4 C． D．【答案】D【分析】本题考查一次函数与二次函数交点问题，一元二次方程根与系数的关系，联立一次函数与二次函数解析式，建立方程，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．【详解】解：直线与抛物线交于、两点，，，，即，，故选：D．4．函数与函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查的是一次函数与二次函数图象共存的问题，掌握二次函数与一次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数和一次函数图象性质分别得出、的符号，即可得答案．【详解】解：A、由二次函数图象可得，，由一次函数图象可得，，故该选项符合题意；B、由二次函数图象可得，，由一次函数图象可得，，故该选项不符合题意；C、由二次函数图象可得，，由次函数图象可得，，故该选项不符合题意；D、由二次函数图象可得得，，由一次函数图象可得，，故该选项不符合题意．故选：A．5．二次函数中的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：…014……1670…下列结论正确的是（

）A． B．当函数值时，对应x的取值范围是C．顶点坐标为 D．若点，都在抛物线上，则【答案】B【分析】本题考查二次函数的图象与性质，本题根据表中数据找出二次函数的对称轴，利用二次函数图象对称性、增减性和顶点坐标特点，即可解题．【详解】解：根据，和，，可知二次函数的对称轴为，所以顶点坐标为，错误，即C项不符合题意．根据，，，即离对称轴越近，函数值越小，所以二次函数开口向上，即，所以A项错误，不符合题意．，，结合二次函数对称性可知，，，所以当函数值时，对应x的取值范围是，正确，即B项符合题意．，，，根据离对称轴越近，函数值越小，有，所以D项错误，不符合题意．故选：B．6．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是()A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】本题考查一次函数、二次函数图象综合判断，由选项中图象可判断a，b符号不同，分类讨论求解．【详解】解：∵，∴抛物线对称轴为直线，当抛物线对称轴在y轴右侧时，，，符号不同，当，时，抛物线开口向上，直线上升，直线与轴交点在轴下方，当，时，抛物线开口向下，直线下降，直线与轴交点在轴上方，故选：B．7．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点C在y轴上，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质．连接，交y轴于点D，根据二次函数图象的性质和正方形的性质得，进而得到，将A的坐标代入求解即可．【详解】解：连接，交y轴于点D，

当时，则，即，∵四边形是正方形，∴，，∴点，∴，解得：，故选：B．8．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是（

）A．3 B． C． D．4【答案】C【分析】连接，由三角形中位线的判定和性质可得是的中位线，因此，由此得当最大时，的值最大．连接交于，此时最大，求出的值，即可知的最大值．本题考查了二次函数的性质、圆的性质，三角形中位线的判定和性质，掌握“从圆外一点到圆上各点的连线中，经过圆心的这条线段最长”这一点知识是解题的关键．【详解】连接，由得，时，，．∵Q是线段的中点，O是线段的中点，∴是的中位线，，当最大时，的值最大，∴当过圆心C时，最大．如图，连接交于，当P点运动到时，最大，，，，，∴线段的最大值是．故选：C二、填空题（本题共9小题，每题3分，共27分）9．设是抛物线上的三点，则用“”表示的大小关系是．【答案】【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据函数解析式可得抛物线开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越远，函数值越小，据此求出A、B、C到对称轴的距离即可得到答案．【详解】解：∵抛物线解析式为，，∴抛物线开口向下，对称轴为直线，∴离对称轴越远，函数值越小，∵，∴，故答案为：．10．已知关于直线对称的抛物线经过，两点，且点，分别位于拋物线对称轴的两侧，则位于对称轴左侧的点是（填或），若此时，则的取值范围是．【答案】B/【分析】本题考查二次函数的图象和性质．解题的关键是掌握二次函数的增减性．根据抛物线对称轴为，开口向上，根据已知条件分类讨论得出点B在对称轴的左侧；根据，进而得出不等式，解不等式即可求解．【详解】解：抛物线关于直线对称，经过，两点，且点，分别位于拋物线对称轴的两侧，若点A位于对称轴左侧，则，解得，不等式组无解，不符合题意；若点B位于对称轴左侧，则，解得，不等式组的解为；此时，，解得：，，综上，时，则的取值范围是，故答案为：B，．11．如图，有长为的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃的面积最大为．【答案】48【分析】本题考查了一元二次方程的实际问题及二次函数的综合运用，设篱笆的宽为x米，长为米，列出面积S与x的函数关系式，利用二次函数的性质求出最值即可．【详解】解：设篱笆的宽为x米，长为米，，∵墙长不限，当时，，S值最大，此时．故答案为：48．12．如图，这是卡塔尔世界杯足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（图1）和截面示意图（图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线，足球离地面的高度与足球被踢出后经过的时间之间的关系的部分数据如下表：0236…0…则该运动员踢出的足球在第s落地．【答案】8【分析】此题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解题意，明确函数图象上点的横坐标与纵坐标的含义是解本题的关键．【详解】解：由题意可设抛物线解析式为：，当时，；当时，，∴，解得：，∴抛物线解析式为，当时，，解得：或，则该运动员踢出的足球在第落地，故答案为：．13．二次函数的图象如图所示，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点、在函数图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为．【答案】【分析】本题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征．连接交于，根据菱形的性质得，，利用含度的直角三角形三边的关系得，设，得到，利用二次函数图象上点的坐标特征得，得出，，然后根据菱形的性质求解即可．【详解】解：连接交于，如图，四边形为菱形，，，，，设，则，，把代入，得，解得（舍去），，，，∴，，∴菱形的面积为：，故答案为：．14．如图，是一名排球运动员发球时，排球行进过程中形成的抛物线，按照图中所示的平面直角坐标系，排球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，球场的边界距O点的水平距离为18米，则此排球是否会出界?．（填“是”或“否”）．【答案】是【分析】本题主要考查了二次函数得实际应用，熟练地掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．将y=0代入函数的解析式，求出x的值，再舍去不符合实际的一个x的值即可得出答案．【详解】解：将y=0代入得：整理得：，解得：或（舍去），∵，∴此排球是会出界．故答案为：是．15．如图，矩形的长cm，宽cm．O是的中点，，两半圆的直径分别为与．抛物线的顶点是O，关于对称且经过C、D两点，则图中阴影部分的面积是．【答案】【分析】本题考查二次函数的综合应用．根据二次函数的对称性，得到图中阴影部分的面积为半圆的面积，进行求解即可．【详解】解：观察图形，根据二次函数的对称性可得图中阴影部分的面积是半圆的面积，∵cm，O是的中点，∴半圆的半径为的，即半径为，∴阴影部分的面积为：．故答案为：．16．如图，坐标平面上有一顶点为的抛物线，与x轴平行的直线交抛物线于B、C两点，的长为，且为正三角形，则可设此抛物线的顶点式为，抛物线与y轴的交点坐标是【答案】【分析】本题考查二次函数的图象及性质．根据顶点式的形式设出抛物线的解析式，设，，，可知，则，将点代入解析式即可求，进而求解．【详解】解：顶点点坐标为，可设抛物线的解析式为：；设，，，点坐标为，∴，抛物线的解析式为，，，，当时，，抛物线与轴的交点为，故答案为：；．17．如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是．【答案】【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，勾股定理，圆的基本性质等知识；运用三角形中位线定理是本题的关键和难点．连接，根据函数解析式，求坐标，然后求出，是线段的中点，是线段的中点，故是的中位线，当、、三点共线，且点在之间时，最大，即可求解．【详解】解：连接，，∵抛物线与轴交于、两点，令即，解得或，，，∵，，，是线段的中点，是线段的中点，故是的中位线，，最大，即最大，即、、三点共线，且点在之间时，最大，，，故答案为：．三、解答题（本题共4题，共49分）18.（12分）．如图，抛物线过点，，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)点为抛物线对称轴上一动点，当是以为底边的等腰三角形时，求的坐标；(3)在（2）条件下，是否存在点为抛物线上的点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)M点横坐标为或或1或2【分析】（1）把代入即可的得出抛物线解析式；（2）依题意可得出即点在的平分线上且在抛物线的对称轴上利用等腰三角形的性质，即可得出点的坐标；（3）利用铅垂线，即可表达出，再由即可列出方程求解．【详解】（1）根据题意，得，解得，抛物线解析式为：．（2）连接，由（1）得，点，且点，．当是以为底边的等腰三角形，，，，设抛物线的对称轴与轴交于点，则，，，抛物线对称轴，，，．点坐标为．（3）存在．理由如下：过点作轴，交于点，交轴于点．设，则，设直线的解析式为：，依题意，得：，解得，直线的解析式为：，当时，，点的坐标为，，，．，或，解得或．【点睛】此题考查了求抛物线的解析式、等腰三角形的存在性问题，三角形的面积，掌握待定系数法求抛物线的解析式，等腰三角形与函数的特征，三角形面积与函数的做法是解题的关键．19（12分）．如图，抛物线与x轴交于点，点B，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为点．(1)求抛物线所对应的函数解析式；(2)如图1，点M是抛物线上一点，且位于x轴上方，横坐标为m，连接，若，求m的值；(3)如图2，将抛物线平移后得到顶点为B的抛物线．点P为抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点R．当以点P，Q，R为顶点的三角形与全等时，请直接写出点P的坐标．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先利用待定系数法求得直线的解析式，进而求得设直线的解析式，再和抛物线联立方程组求解即可；（3）先求得,进而求得平移后抛物线的解析式，设，则，，分当P在Q点上方时和当点P在Q点下方时两种情况，利用全等三角形的性质和坐标与图形性质列方程求解即可．【详解】（1）解：由题意得：，解得．抛物线所对应的函数解析式为；（2）解：当时，，∴

，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，如图1，当M点在x轴上方时，∵，∴，则设直线的解析式为，∵直线经过点C，∴，解得：，∴直线的解析式为，∴，解得：，（舍去），∴；（3）解：∵抛物线的图象过点，对称轴为直线，∴,∵抛物线平移后得到，且顶点为点B，∴，即．设，则，由题意，点Q、R关于抛物线的对称轴对称，且对称轴为直线，∴，①如答图2，当P在Q点上方时，，，∵与全等，，，，∴当且时，且，则，∴，；当且时，且，无解；②如答图3，当点P在Q点下方时，同理：，，当且时，且，则，∴，；当且时，且，无解；综上可得P点坐标为或．【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移、坐标与图形、全等三角形的性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，运用数形结合和分类讨论思想是解答的关键．20（12分）．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A，B两点，点的坐标是，点的坐标是，与轴交于点，是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点作轴，垂足为，线段与直线相交于点．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，若线段将分成面积比为两部分，，求点P的坐标；(3)如图2，连接，是否存在点P，使得，若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在点，当点的横坐标为时，．【分析】（1）利用待定系数法，将点，的坐标代入解析式中求解即可．（2）设出点的坐标，易得，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方求解即可．（3）在轴负半轴上取点，使得，连接，证明，进而证明，得到，设出点坐标，进而建立方程求解即可．【详解】（1）解：抛物线经过点，，，解得．该抛物线的解析式为．（2）解：抛物线与轴交于