专题20 全等三角形【十六大题型】（举一反三）（解析版）

专题20全等三角形【十六大题型】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用全等三角形的性质求解】 1【题型2添加一个条件使两个三角形全等】 7【题型3结合尺规作图的全等问题】 11【题型4全等三角形模型-平移模型】 19【题型5全等三角形模型-对称模型】 25【题型6全等三角形模型-旋转模型】 29【题型7全等三角形模型-一线三等角模型】 39【题型8全等三角形模型-手拉手模型】 47【题型9构造辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法】 53【题型10构造辅助线证明两个三角形全等-截长补短法】 61【题型11构造辅助线证明两个三角形全等-作平行线】 73【题型12构造辅助线证明两个三角形全等-作垂线】 82【题型13利用角平分线的性质求解】 90【题型14角平分线的判定定理】 96【题型15利用全等三角形的性质与判定解决测量问题】 104【题型16利用全等三角形的性质与判定解决动点问题】 111【知识点全等三角形】知识点1全等三角形的定义和性质1．定义：全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形．全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．完全重合时，互相重合的点为对应点；互相重合的角为对应角；互相重合的边为对应边．2．性质：（1）全等三角形的对应边相等．若，则，，．（2）全等三角形的对应角相等．若，则，，．（3）全等三角形的周长相等，面积相等．若，则，．知识点2全等三角形的判定判定方法解释图形边边边(SSS)三条边对应相等的两个三角形全等边角边(SAS)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等角边角(ASA)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等角角边(AAS)两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等斜边、直角边(HL)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等注意：（1）全等的理解，对应边相等，对应角相等的三角形，叫做全等三角形．（2）全等的表示，若，则前后对应关系确定；若与全等，则前后对应关系不确定．（3）在全等三角形判定中，有两种不能判定判定三角形全等的方法：SSA和AAA．反例：在等腰中，BC边上任取一点D，连接AD，观察和．【题型1利用全等三角形的性质求解】【例1】（2023·四川德阳·统考二模）如图△AOB≌△ADC，∠O=∠D=90°，记∠OAD=α，∠ABO=β，当AO∥BC时，α与β之间的数量关系为（

）．A．α+β=90° B．α+2β=180° C．α=β D．α=2β【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟记各性质并理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据全等三角形的性质可得AB=AC，∠BAO=∠CAD，然后求出∠BAC=α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，整理即可．【详解】解：∵△AOB≌△ADC，∴AB=AC，∠BAO=∠CAD，∴∠BAC=∠OAD=α，在△ABC中，∠ABC=∵AO∥BC，∴∠OBC=180°-∠O=180°-90°=90°，∴β+1整理得α=2β．故选：D．【变式1-1】（2023·河南·模拟预测）已知下图中的两个三角形全等，则∠α等于（

）A．72° B．58° C．60° D．50°【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应角相等解答即可．【详解】解：如图，∵两个三角形全等，∴a，c两边的夹角相等，∴∠α=50°，故选：D．【变式1-2】（2023·北京海淀·校考模拟预测）图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MFQ，则点Q可能是图中的．

【答案】点D【分析】设图中小正方形的边长为1，由勾股定理可计算出△MNF的三边长，再计算出点M、F分别与A、B、C、D四点的距离，即可作出判断．【详解】解：设图中小正方形的边长为1，∵MN=MF=2，由勾股定理得：MP=32+由于AF⊥MF，显然点A不可能是点Q；∵MD=3∴MD=MP，∴△MNP≌△MFD，即点D是点Q；∵MB=3∴点B不是点Q；同理，点C不是点Q；∴点Q可能是图中的点D；故答案为：点D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，利用勾股定理求得各线段的长度是关键．【变式1-3】（2023·浙江·模拟预测）如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，△DEF绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P、Q．当△BDQ为等腰三角形时，AP

【答案】256或136【分析】分类讨论：①当BD=BQ，由AC=DF=3，BC=EF=4，则AB=5，过D作DM⊥BC与M，DN⊥AC于N，利用三角形的中位线的性质得到DM=AN=12AC=32，BD=12AB=52，DN=BM=12BC=2，可得到BQ与QM的长，然后利用等腰三角形的性质得到∠3=90°-12∠B，易得∠2=12∠B，又Rt△ABC≌Rt△DEF，利用三角形全等的性质得到∠EDF=∠A=90°-∠B，则∠1=12∠B，即∠1=∠2，则△CPD∽△CDA，然后根据三角形相似的性质得到PN：QM=DN：DM，代值计算可得CP，从而求得AP；②当DB=DQ，则Q点在C点，易证△CPD∽△CDA，然后根据三角形相似的相似比即可得到CP，从而求得AP；②当QB=QD【详解】解：①当BD=BQ，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，则AB=5，过D作DM⊥BC与M，DN⊥AC于N，如图，

∵D为AB的中点，∴DM=AN=12AC=32，BD=12AB=52，∴BQ=BD=52，QM=5∴∠3=90°-12∠B而∠2+∠3=90°，∴∠2=12∠B又∵Rt∴∠EDF=∠A=90°-∠B，而∠1+∠EDF+∠2=90°，∴∠1=12∠B，即∠1=∠2∴△DQM∽△DPN，∴PN：QM=DN：DM，即PN：12=2：3∴PN=23∴AP=32+23=②当DB=DQ，则Q点在C点，如图，

DA=DC=52而Rt△ABC≌∴∠EDF=∠A，∴△CPD∽△CDA，∴CP：CD=CD：CA，即CP：52=52：∴CP=25∴AP=3-25③当QB=QD，则∠B=∠BDQ，而∠EDF=∠A，∴∠EDF+∠BDQ=90°，即ED⊥AB，如图，

∴Rt∴AP：AB=AD：AC，即AP：5=52：∴AP=25故答案为256或136或【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：两腰相等，两底角相等．也考查了三角形全等的性质和三角形相似的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及分类讨论思想的运用．【题型2添加一个条件使两个三角形全等】【例2】（2023·湖南长沙·统考中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：已知：△ABC．求作：△A'B'C作法：如图．（1）画B'（2）分别以点B'，C'为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点（3）连接线段A'B'，A请你根据以上材料完成下列问题：（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：证明：由作图可知，在△A'BB∴△A'（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号）①AAS；②ASA；③SAS；④SSS【答案】（1）AB,AC,△ABC；（2）④．【分析】（1）先根据作图可知A'（2）根据三边对应相等的两个三角形是全等三角形即可得．【详解】（1）证明：由作图可知，在△A'BB'∴△A故答案为：AB,AC,△ABC．（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是SSS，故答案为：④．【点睛】本题考查了利用SSS定理判定三角形全等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．【变式2-1】（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点．请从以下三个条件：①BD=CE；②∠B=∠C；③∠BAD=∠CAE中，选择一个合适的作为已知条件，使得AD=AE．

(1)你添加的条件是______（填序号）；(2)添加了条件后，请证明AD=AE．【答案】(1)①（答案不唯一）(2)见解析【分析】（1）利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解即可；（2）结合（1）进行求解即可．【详解】（1）解：可选取①或③（只选一个即可），故答案为：①（答案不唯一）；（2）证明：当选取①时，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD与△ACE中，AB=AC∠B=∠C∴△ABD≌∴AD=AE；当选取③时，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD与△ACE中，∠BAD=∠CAEAB=AC∴△ABD≌∴AD=AE．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．【变式2-2】（2023·河南·模拟预测）如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（

）

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【答案】C【分析】根据全等三角形判定的条件，可得答案．【详解】解：①AB=DE，BC=EF，AC=DF，可利用SSS判定全等；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，可利用SAS判定全等；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F，可利用ASA判定全等；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，属于SSA，不能判定全等；∴能判定△ABC≌△DEF的条件有3组，故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定是解题关键．【变式2-3】（2023·广西柳州·统考中考真题）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．

(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；(2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．【答案】(1)①，SSS(2)见解析【分析】(1)根据SSS即可证明△ABC≌∆DEF，即可解决问题；(2)根据全等三角形的性质可得可得∠A=∠EDF，再根据平行线的判定即可解决问题．【详解】（1）解：在△ABC和△DEF中，AC=DFAB=DEBC=EF∴△ABC≌△DEF（SSS），∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．（注意：只需选一个条件，多选不得分）故答案为：①，SSS；（2）证明：∵△ABC≌△DEF．∴∠A＝∠EDF，∴AB∥DE．【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质，和判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．【题型3结合尺规作图的全等问题】【例3】（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于12DE长为半径画弧，交于∠BAC内一点F.连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG.添加下列条件，不能使BG=CG成立的是（

A．AB=AC B．AG⊥BC C．∠DGB=∠EGC D．AG=AC【答案】D【分析】根据题意可知AG是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出BG=CG即可．【详解】根据题中所给的作图步骤可知，AG是△ABC的角平分线，即∠BAG=∠CAG．当AB=AC时，又∠BAG=∠CAG，且AG=AG，所以△ABG≌△ACG(SAS所以BG=CG，故A选项不符合题意．当AG⊥BC时，∠AGB=∠AGC=90°，又∠BAG=∠CAG，且AG=AG，所以△ABG≌△ACG(ASA所以BG=CG，故B选项不符合题意．当∠DGB=∠EGC时，因为∠BAG=∠CAG，AD=AE，AG=AG，所以△ADG≌△AEG(AAS所以∠AGD=∠AGE，又∠DGB=∠EGC，所以∠AGD+∠DGB=∠AGE+∠EGC，即∠AGB=∠AGC．又∠AGB+∠AGC=90°，所以∠AGB=∠AGC=90°，则方法同（2）可得出BG=CG，故C选项不符合题意．故选：D．【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．【变式3-1】（2023·河南·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=4，BC=3．分别以点A，C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是A．22 B．4 C．3 D．【答案】A【分析】连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出AF=FC．再根据ASA证明ΔFOA≌ΔBOC，那么AF=BC=3，等量代换得到【详解】解：如图，连接FC，则AF=∵AD∥BC，∴∠FAO=∠BCO．在ΔFOA与Δ∠FAO=∠BCOOA=OC∴Δ∴AF=BC=3，∴FC=AF=3，FD=AD-AF=4-3=1．在ΔFDC中，∵∠D=∴CD∴CD∴CD=22故选：A．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF与DF是解题的关键．【变式3-2】（2023·广东广州·统考二模）如图，四边形ABCD是矩形，以点B为圆心，BA长为半径的半圆，交BC于点M．

(1)作线段BC的垂直平分线交BC于点O；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)以点O为圆心，以OB为半径作⊙O，交弧AM于点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），证明：BE⊥CE；(3)在（2）的条件下，延长线段CE交AD于点F，从条件①或者条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求cos∠EBC条件①：AF:DF=1:3；条件②：S△CDF注明：如果选择条件①与条件②分别作答，按第一个解答计分．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)7【分析】（1）分别以点B，C为圆心，大于12BC的长为半径，在BC的上下两侧画弧，连接两弧的交点，与BC交于点（2）以点O为圆心，以OB为半径作⊙O，交弧AM于点E，连接CE．根据直径所对的圆周角是直角即可证明；（3）选用条件①，设AB=r，BC=a，根据矩形的性质可得AD∥BC，∠D=90°，AD=BC=a，AB=DC=BE=r，根据全等三角形的判定和性质可得DF=EC，根据勾股定理可得DF2=CE2【详解】（1）如图：分别以点B，C为圆心，大于12BC的长为半径，在BC的上下两侧画弧，连接两弧的交点，与BC交于点

（2）如图：以点O为圆心，以OB为半径作⊙O，交弧AM于点E，连接CE．

∵点O是BC的中点，∴BC是圆O的直径，∴∠AEC=90°，即BE⊥CE．（3）如图，设AB=r，BC=a，且AF:DF=1:3

∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠D=90°，AD=BC=a，∴∠BCE=∠CFD，∵BE⊥CE，∴∠BEC=∠D=90°，在△FDC和△CEB中，∠CFD=∠ECB∠D=∠CEB∴△FDC≌∴DF=EC，由勾股定理，得：CE∴DF∵AF:DF=1:3，∴DF=3∴916∴7a∴ra∴cos∠EBC=选用条件②：S△CDF则S△CDF即AF:DF=1:3，同理可得cos∠EBC=【点睛】本题考查了尺规作图——作垂线，画圆，直径所对的圆周角是直角，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，余弦的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．【变式3-3】（2023·福建福州·福建省福州屏东中学校考二模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，∠BAC为锐角．(1)将线段AD绕点A顺时针旋转（旋转角小于90°），在图中求作点D的对应点E，使得BE=1(2)在（1）的条件下，过点C作CF⊥AB于点F，连接EF，BE，若sin∠EBA=57【答案】(1)见解析(2)EF【分析】（1）以点A为圆心，AD为半径画弧，以点B为圆心，以BD为半径画弧，两弧相交于点E，连接AE、BE，则BE即为所求；（2）先证明△ABC是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一知CD=12BC，进一步证明，△ABE≌△ABD（SSS），得到∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA，又AF＝AF，，得到△AEF≌△ADF（SAS），EF=DF，在Rt△BCF中，sin∠EBA=CFCB=57【详解】（1）解：如图1所示，点E即为所求．理由是：∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝12BC∴线段AD绕点A顺时针旋转（旋转角小于90°），旋转角为∠DAE，且BE=1（2）解：如图2，连接DF．在△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AD⊥BC，∴CD=1由（1）可知BE=12BC∴BE=BD，又∵AB=AB，∴△ABE≌△ABD（SSS），∴∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA，又∵AF=AF，∴△AEF≌△ADF（SAS），∴EF=DF，∵CF⊥AB，∴在Rt△BCF中，sin∠EBA=设CF=5a，BC=7a，∵CD=1∴DF=1∴EF=7∴EFCF【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、图形的旋转、锐角三角函数、直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键【题型4全等三角形模型-平移模型】【例4】（2023·江苏常州·统考一模）如图，将Rt△ABC沿BC所在直线平移得到△DEF．(1)如图①，当点E移动到点C处时，连接AD，求证：△CDA≌△ABC；(2)如图②，当点E移动到BC中点时，连接AD、AE、CD，请你判断四边形AECD的形状，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）四边形AECD是菱形，理由见解析．【分析】（1）根据平移的性质得到∠BAC=∠DCA，从而利用SAS证明△CDA≌△ABC；（2）根据平移的性质得到AD//BC，AD=BE，结合点E是BC中点得到四边形AECD为平行四边形，再结合AE=EC可得结论.【详解】解：（1）证明：∵ΔABC平移得到ΔDCF，∴AB//DC，AB=CD，∴∠BAC=∠DCA，在ΔABC与ΔCDA中，AB=CD∠BAC=∠DCA∴ΔABC≅ΔCDA(SAS)；（2）四边形AECD是菱形∵ΔABC平移得到ΔDEF，∴AD//BC，AD=BE，∵点E是BC中点，∠BAC=90∴AE=BE=EC=1∴AD平行且等于EC，即四边形AECD是平行四边形，∵AE=EC，∴平行四边形AECD是菱形.【点睛】本题考查了平移的性质，全等三角形的判定，菱形的判定，直角三角形斜边中线定理，解题的关键是熟练运用平移的性质得到判定的条件.【变式4-1】（2023上·河南南阳·八年级统考期末）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，∠ABC=∠DEF．给出下列三个条件：①AC=DF，②BC=EF，③∠BAC=∠EDF．(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件序号为______，你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA(2)请用（1）中所选条件证明△ABC≌(3)△DEF可看作是由△ABC沿AC方向平移得到的，过B作BM⊥AC于M，当AB=10，BM=8，△ABD是以BD为腰的等腰三角形时，直接写出平移距离AD【答案】(1)②，SAS（或③，ASA）(2)见解析(3)12或25【分析】(1)根据三角形的判定定理即可解答；(2)根据(1)所选取的条件，证明三角形全等即可；(3)首先根据勾股定理可求得AM的长，再分两种情况，即BA=BD和AD=BD，分别计算即可求得．【详解】（1）解：已知AB=DE，∠ABC=∠DEF，故只要再添加一对角或已知相等角的边，即可使得△ABC≌故答案为：②，SAS（或③，ASA）；（2）证明：选②，在△ABC和△DEFAB=DE∠ABC=∠DEF∴△（3）解：如图：在Rt△ABM，∵AB=10，BM=8∴AM=A当AB=BD时，∵△ABD是等腰三角形，BM⊥AC，∴AD=2AM=12；当AD=BD时，设AD=BD=x，则MD=AD-AM=x-6，在Rt△BDM，B得x2解得x=25综上，AD的长为12或253【点睛】本题考查了添加条件使三角形全等及证明，等腰三角形的性质，勾股定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．【变式4-2】（2023·云南德宏·统考模拟预测）如图，将△ABC沿射线AB平移4cm后能与△BDE完全重合，连接CE、CD交BE于点O，OB＝OC．(1)求证：四边形CBDE为矩形；(2)若S△BOC＝433cm2，求∠【答案】(1)见解析(2)120°【分析】（1）由平移的性质及ASA判定定理可证得△OCE≌△ODB，根据全等三角形的性质即可求证结论．（2）根据矩形的性质及面积公式即可求得BC，进而可利用特殊三角函数值可求得∠BCD=60°，根据垂直平分线的性质即可求解．【详解】（1）证明：由题意可知：△BDE由△ABC平移后得到，∴BC//DE，且BC=DE，∴四边形CBDE是平行四边形，∴CE//BD，且CE=BD，∴∠ECD=∠CDB，∠CEB=∠EBD，在△OCE和△ODB中∠ECD=∠CDBCE=BD∴△OCE≌△ODB(ASA)∴OC=OD，OB=OE，又∵OB=OC，∴CD=BE，∴平行四边形CBDE为矩形．（2）由（1）可知四边形CBDE为矩形，∴∠CBD=90°，且BD=4cm，在△OBC中过点O作BC的垂线，垂足为F，则OF=2，∵S△BOC∴BC=43∴在Rt△CBD，tan∠BCD=BD∴∠BCD=60°，又∴在△ACD中，BC是AD的垂直平分线，∴∠ACB=∠BCD=60°，∴∠ACD=120°，∴∠ACD的度数为120°．【点睛】本题考查了平移的性质、全等三角形的判定及性质、矩形的判定及性质、特殊三角函数值求角度，熟练掌握相关性质及判定定理是解题的关键．【变式4-3】（2023·北京门头沟·二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC延长线上，且DC=AC，将△ABC延BC方向平移，使点C移动到点D，点A移动到点E，点B移动到点F，得到△EFD，连接CE，过点F作FG⊥CE于G．

(1)依题意补全图形；(2)求证：CG=FG；(3)连接BG，用等式表示线段BG，EF的数量关系，并证明．【答案】(1)见详解(2)见详解(3)EF=2【分析】（1）按要求作图即可；（2）根据平移的性质可求∠ECD=45°，再求∠CFG=90°-∠ECD=45°，即可得证；（3）连接AG、DG，可证△ACG≌△DCG，从而可得AG=DG，∠AGC=∠DGC，再证△BCG≌△DFG，从而可得BG=DG，∠BGC=∠DGF，从而可证∠AGB=90°，即可得证．【详解】（1）解：如图

（2）证明：由平移得：∠D=∠ACB=90°，AC=ED，∵DC=AC，∴DC=DE，∴∠ECD=1∵FG⊥CE，∴∠CGF=90°，∴∠CFG=90°-∠ECD=45°，∴CG=FG．（3）解：EF=2理由：如图，连接AG、DG，

∵∠ACF=∠ACB=90°，∴∠ACG=∠DCG=45°，在△ACG和△DCG中AC=DC∠ACG=∠DCG∴△ACG≌△DCG(SAS)，∴AG=DG，∠AGC=∠DGC；∵∠BCG=∠ACB+∠ACG=135°，∠DFG=180°-∠CFG=135°，∴∠BCG=∠DFG；由平移得：BC=DF；在△BCG和△DFG中BC=DF∠BCG=∠DFG∴△BCG≌△DFG(SAS)，∴BG=DG，∠BGC=∠DGF，∴BG=AG，∠AGC-∠BGC=∠DGC-∠DGF，∴∠AGB=∠CGF=90°，∴AB=2∴EF=2【点睛】本题考查了平移的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握相关的判定方法及性质，并会根据题意作出辅助线是解题的关键．【题型5全等三角形模型-对称模型】【例5】（2023·云南昆明·统考三模）如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B、D．

(1)求证：△ABC≌△ADC；(2)若AB=4，CD=3，求BD的长．【答案】(1)证明见解析；(2)BD=24【分析】（1）由角平分线与垂直的定义可得∠BAC=∠DAC，∠ABC=∠ADC，又公共边AC，通过AAS可证得△ABC≌△ADC；（2）由△ABC≌△ADC可得BC=DC=3，S四边形ABCD=2S△ABC=12．在Rt△ABC中，根据勾股定理求得AC=AB2+BC2【详解】（1）∵AC平分∠BAD∴∠BAC=∠CAD∵CB⊥AB，CD⊥AD∴∠ABC=∠ADC=90°在△ABC和△ADC中，∠ABC=∠ADC∠BAC=∠DAC∴△ABC≌△ADCAAS（2）∵△ABC≌△ADC，∴BC=DC=3，S四边形∵在Rt△ABC中，AB=4，BC=3∴AC=A∵△ABC≌△ADC，∴AB=AD，BC=DC，∴AC垂直平分BD，∴S四边形∴12∴BD=24【点睛】本题考查三角形全等的证明与性质，勾股定理，对角线互相垂直的四边形的面积，熟练运用四边形的面积求线段的长是解题的关键．【变式5-1】（2023·重庆渝中·统考二模）如图，已知∠C=∠F=90°，AC=DF，AE=DB，BC与EF交于点（1）求证：Rt△ABC≌（2）若∠A=50°，求∠BOF的度数．【答案】（1）见解析；（2）80°．【分析】（1）由HL证明Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）根据三角形内角和180°解得∠ABC＝40°，由（1）中结论证得∠ABC＝∠DEF＝40°,最后由三角形的外角性质解题．【详解】证明：（1）∵AE＝DB，∴AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE又∵∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF．（2）∵∠C＝90°，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠C－∠A＝90°－50°＝40°，由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠ABC＝∠DEF,∴∠DEF＝40°∴∠BOF＝∠ABC＋∠BEF＝40°＋40°＝80°．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．【变式5-2】（2023·浙江湖州·统考二模）如图，点A、E、B、D在一条直线上，∠A=∠D，AC=DF，AE=DB．求证：∠C=∠F．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证△CAB≌△FDE即可．【详解】解：∵AE=DB，∴AE+BE=DB+BE，即：AB=DE∵∠A=∠D，AC=DF，∴△CAB≌△FDE∴∠C=∠F【变式5-3】（2023·辽宁大连·统考二模）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC．AD，BC交于点O．求证：OC＝OD．【答案】见解析【分析】根据HL证明Rt△ABD和Rt△BAC全等，进而利用AAS证明△AOC和△BOD全等解答即可．【详解】证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C＝∠D＝90°．在Rt△ABD和Rt△BAC中，AD=BC,AB=BA,∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），∴BD＝AC，在△AOC和△BOD中，∠C=∠D,∠AOC=∠BOD,∴△AOC≌△BOD（AAS），∴OC＝OD．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL证明Rt△ABD和Rt△BAC全等．【题型6全等三角形模型-旋转模型】【例6】（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC，点D在边AC上，将线段DA绕点D按顺时针方向旋转90°得到DA'，线段DA'交AB于点E，作A'F⊥AB于点F

(1)求证：△ADE≌△A(2)求证：AF⋅GB=AG⋅FC；(3)若AC=8，tanA=12，当A'G【答案】(1)见解析(2)见解析(3)8【分析】（1）根据旋转的性质可得DA=DA',∠ADA'（2）根据∠BFG=∠ACB=90°，可得点B，C，G，F四点共圆，从而得到∠CBG=∠CFG，∠ABC+∠CGF=180°，从而得到∠AGF=∠ABC，进而得到∠ACF=∠ABG，可证明△ABG∽（3）连接EG，根据AC=8，tanA=12，可得BC=4,A'D=AD=2DE，A'F=2EF，AB=45，设DE=DG=x，则A'D=AD=2x可得AE=A'G=5x，A'【详解】（1）证明：∵线段DA绕点D按顺时针方向旋转90°得到DA∴DA=DA∴∠A+∠AED=90°，∵A'F⊥AB，即∴∠A∵∠AED=∠AEF，∴∠A=∠A在△ADE和△A∵∠A=∠A'，∴△ADE≌△A（2）证明：∵∠BFG=∠ACB=90°，∴点B，C，G，F四点共圆，∴∠CBG=∠CFG，∠ABC+∠CGF=180°，∵∠AGF+∠CGF=180°，∴∠AGF=∠ABC，∵∠AGF=∠CFG+∠ACF,∠ABC=∠ABG+∠CBG，∴∠ACF=∠ABG，∵∠A=∠A，∴△ABG∽∴AGAF即AF⋅GB=AG⋅FC；（3）解：如图，连接EG，

∵△ADE≌△A∴DE=DG，AE=A∵AC=8，tanA=∴tanA=∴BC=4,A'D=AD=2DE∴AB=45设DE=DG=x，则A'∴AE=A'G=5x∴EF=5∴FG=355∵A'G平分四边形∴S△DEG∴12即12解得：x=4∴AD=2x=8【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．【变式6-1】（2023·辽宁阜新·统考中考真题）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE<AB），∠EDF=90°，DE=DF，连接AE，CF．(1)如图1，求证：△ADE≌△CDF；(2)直线AE与CF相交于点G．①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；②如图3，连接BG，若AB=4，DE=2，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．【答案】(1)见解析(2)①见解析②2【分析】1根据SAS证明三角形全等即可；2①②作DH⊥AG交AG于点H，作BM⊥AG于点M，证明△BMG是等腰直角三角形，求出BM的最小值，可得结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°．∵DE=DF，∠EDF=90°．∴∠ADC=∠EDF，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中，DA=DC∠ADE=∠CDF∴△ADE≌△CDFSAS（2）①证明：如图2中，设AG与CD相交于点P．∵∠ADP=90°，∴∠DAP+∠DPA=90°．∵△ADE≌△CDF，∴∠DAE=∠DCF．∵∠DPA=∠GPC，∴∠DAE+∠DPA=∠GPC+∠GCP=90°．∴∠PGN=90°，∵BM⊥AG，BN⊥GN，∴四边形BMGN是矩形，∴∠MBN=90°．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠MBN=90°．∴∠ABM=∠CBN．又∵∠AMB=∠BNC=90°，∴△AMB≌△CNB．∴MB=NB．∴矩形BMGN是正方形；②解：作DH⊥AG交AG于点H，作BM⊥AG于点M，∵∠DHA=∠AMB=90°,∠ADH=90°-∠DAH=∠BAM,AD=AB∴△AMB≌△DHA．∴BM=AH．∵AH2=A∴DH最大时，AH最小，DH∴BM由2①可知，△BGM∴BG【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．【变式6-2】（2023·广西·统考中考真题）已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到△EOF，连接AE，CF．（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是；（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．

【答案】（1）AE=CF；（2）成立，证明见解析；（3）5【分析】（1）结论AE=CF．证明ΔAOE≅ΔCOF(SAS)，可得结论．（2）结论成立．证明方法类似（1）．（3）首先证明∠AED=90°，再利用相似三角形的性质求出AE，利用勾股定理求出DE即可．【详解】解：（1）结论：AE=CF．理由：如图1中，

∵AB=AC，∠BAC=90°，OC=OB，∴OA=OC=OB，AO⊥BC，∵∠AOC=∠EOF=90°，∴∠AOE=∠COF，∵OA=OC，OE=OF，∴ΔAOE≅ΔCOF(SAS)，∴AE=CF．（2）结论成立．理由：如图2中，

∵∠BAC=90°，OC=OB，∴OA=OC=OB，∵∠AOC=∠EOF，∴∠AOE=∠COF，∵OA=OC，OE=OF，∴ΔAOE≅ΔCOF(SAS)，∴AE=CF．（3）如图3中，

由旋转的性质可知OE=OA，∵OA=OD，∴OE=OA=OD=5，∴∠AED=90°，∵OA=OE，OC=OF，∠AOE=∠COF，∴OAOC∴ΔAOE∽ΔCOF，∴AECF∵CF=OA=5，∴AE5∴AE=25∴DE=A【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．【变式6-3】（2023·湖南·统考中考真题）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．(1)特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB=AC=2，分别求出线段BD、CE(2)规律探究：①如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α0<α<45°，请探究线段BD、CE和DE②如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α45°<α<90°，与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE=3，DE=1，求S△BFC【答案】(1)BD=1；CE=1；DE=2(2)①DE=CE+BD；理由见解析；②BD=CE+DE；理由见解析(3)S【分析】（1）先根据得出∠ABC=∠ACB=90°2=45°，根据l∥BC，得出∠DAB=∠ABC=45°，∠EAC=∠ACE=45°，再根据∠BDA=∠CEA=90°，求出∠ABD=45°即可得出∠DAB=∠ABD=∠EAC=∠ACE=45°，最后根据三角函数得出AD=BD=1，AE=CE=1，即可求出DE=AD+AE=2；（2）①DE=CE+BD；根据题意，利用“AAS”证明ΔABD≌ΔCAE，得出AD=CE，BD②BD=CE+DE；根据题意，利用“AAS”证明ΔABD≌ΔCAE，得出AD=CE，BD（3）在Rt△AEC中，根据勾股定理求出AC=AE2+CE2=5，根据DF∥CE，得出ADAE【详解】（1）解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=90°∵l∥BC，∴∠DAB=∠ABC=45°，∠EAC=∠ACE=45°，∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴∠BDA=∠CEA=90°，∴∠ABD=90°-45°=45°，∠ACE=90°-45°=45°，∴∠DAB=∠ABD=∠EAC=∠ACE=45°，∴AD=BD=AB×sinAE=CE=AC×sin∴DE=AD+AE=2．（2）①DE=CE+BD；理由如下：∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴∠BDA=∠CEA=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAB+∠CAE=90°，∴∠DBA=∠CAE，∵AB=AC，∴ΔABD≌∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD+AE=CE+BD，即DE=CE+BD；②BD=CE+DE，理由如下：∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴∠BDA=∠CEA=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAB+∠CAE=90°，∴∠DBA=∠CAE，∵AB=AC，∴ΔABD≌∴AD=CE，BD=AE，∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，即BD=CE+DE．（3）根据解析（2）可知，AD=CE=3，∴AE=AD+DE=3+1=4，在Rt△AEC中，根据勾股定理可得：AC=A∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴DF∥CE，∴ADAE即34解得：AF=15∴CF=AC-AF=5-15∵AB=AC=5，∴SΔ【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形，根据题意证明ΔABD≌ΔCAE，是解题的关键．【题型7全等三角形模型-一线三等角模型】【例7】（2023·四川成都·统考二模）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（模型呈现）（1）如图1，∠BAD=90°,AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D．又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC=_____________，BC=AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；

（模型应用）（2）如图2，∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AC=AE，连接BC,DE，且BC⊥AF于点F,DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；（深入探究）（3）如图，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1,△DCE的面积为S2，则有S1_____________S2（填“>、【答案】（1）AC=DE；（2）见解析；（3）=。【分析】（1）根据全等三角形的性质可直接进行求解；（2）分别过点D和点E作DH⊥FG于点H，EQ⊥FG于点Q，进而可得∠BAF=∠ADH，然后可证△ABF≌△DAH，则有AF=DH，进而可得DH=EQ（3）过点D作DO⊥AF交AF于O，过点E作EN⊥OD交OD延长线于N，过点C作CM⊥OD交OD延长线于M，由题意易得∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE，然后可得∠ADO=∠DCM，则有△AOD≌△DMC，【详解】解：（1）∵△ABC≌△DAE，∴AC=DE，故答案为AC=DE；（2）分别过点D和点E作DH⊥FG于点H，EQ⊥FG于点Q，如图所示：

∴∠DAH+∠ADH=90°，∵∠BAD=90°，∴∠BAF+∠DAH=90°，∴∠BAF=∠ADH，∵BC⊥AF，∴∠BFA=∠AHD=90°，∵AB=DA，∴△ABF≌△DAH，∴AF=DH，同理可知AF=EQ，∴DH=EQ，∵DH⊥FG，EQ⊥FG，∴∠DHG=∠EQG=90°，∵∠DGH=∠EGQ∴△DHG≌△EQG，∴DG=EG，即点G是DE的中点；（3）S1如图所示，过点D作DO⊥AF交AF于O，过点E作EN⊥OD交OD延长线于N，过点C作CM⊥OD交OD延长线于M

∵四边形ABCD与四边形DEGF都是正方形∴∠ADC=∠90°，∵DO⊥AF，CM⊥OD，∴∠AOD=∠CMD=90°，∠又∵∠ODA+∴∠ADO=∴△AOD≌△DMC，∴S△AOD=S同理可以证明△FOD≌△DNE，∴S△FOD=S∴MC=NE，∵EN⊥OD，CM⊥OD，∠EPN=∴△ENP≌△CMP，∴S△ENP∵S△ADF∴S△DCE∴S△DCE=S故答案为：=．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．【变式7-1】（2023·重庆·统考二模）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．

(1)当∠BDA=115°时，∠EDC=°，∠DEC=°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；(2)当DC等于多少时，△ABD≌(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．【答案】(1)25；115；小(2)当DC=2时，△ABD≌△DCE(3)可以；∠BDA的度数为110°或80°【分析】（1）由已知平角的性质可得∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE，再利用三角形内角和定理进而求得∠DEC，即可判断点D从B向C运动过程中，∠BDA逐渐变小；（2）当DC=2时，由已知和三角形内角和定理可得∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，等量代换得∠ADB=∠DEC，又由AB=AC=2，可得△ABD≌△DCEAAS（3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可．【详解】（1）解：∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=180°-115°-40°=25°，∠DEC=180°-∠EDC-∠C=180°-25°-40°=115°，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小，故答案为：25；115；小．（2）解：当DC=2时，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，又∵∠B=∠C，AB=DC=2，∴△ABD≌△DCEAAS（3）解：当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形；理由：∵∠BDA=110°时，∴∠ADC=70°，∵∠C=40°，∴∠DAC=70°，∠AED=∠C+∠EDC=30°+40°=70°，∴∠DAC=∠AED，∴△ADE是等腰三角形；∵∠BDA=80°时，∴∠ADC=100°，∵∠C=40°，∴∠DAC=40°，∴∠DAC=∠ADE，∴△ADE的形状是等腰三角形．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．【变式7-2】（2023·山西晋中·统考一模）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：[模型呈现]如图1，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．求证：BC=AE．[模型应用]如图2，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________________．[深入探究]如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．若BC=21，AF=12，则△ADG的面积为_____________．【答案】[模型呈现]见解析；[模型应用]50；[深入探究]63【分析】[模型呈现]证明△ABC≌△DAE，根据全等三角形的对应边相等得到BC=AE；[模型应用]根据全等三角形的性质得到AP=BG=3，AG=EP=6,CG=DH=4，CG=BG=3，根据梯形的面积公式计算，得到答案；[深入探究]过点D作DP⊥AG于P，过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q，根据全等三角形的性质得到DP=AF=12,EQ=AF=12,AP=BF,AQ=CF，证明△DPG≌△EQG，得到PG=GQ.，进而求出AG，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】[模型呈现]证明：∵∠BAD=90°，∴∠BAC+∠DAE=90°，∵BC⊥AC,DE⊥AC，∴∠ACB=∠DEA=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∴∠ABC=∠DAE，在△ABC和△DAE中，∠ABC=∠DAE∠ACB=∠DAE∴△ABC≌△DAE(AAS∴BC=AE；[模型应用]解：由[模型呈现]可知，△AEP≌△BAG,△CBG≌△DCH，∴AP=BG=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CG=BG=3，则S实线围成的图形故答案为：50；[深入探究]过点D作DP⊥AG于P，过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q，由[模型呈现]可知，△AFB≌△DPA,△AFC≌△EQA，∴DP=AF=12,EQ=AF=12,AP=BF,AQ=CF，在△DPG和△EQG中，∠DPG=∠EQG∠DGP=∠EGQ∴△DPG≌△EQG(AAS∴PG=GQ，∵BC=21，∴AQ+AP=21，∴AP+AP+PG+PG=21，∴AG=AP+PG=10.5，∴S△ADQ故答案为：63．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形确定的判定定理是解题的关键．【变式7-3】（2023下·山东威海·一模）已知：CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F是直线CD上两点，∠BEC＝∠CFA＝∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，∠BCD＞∠ACD．①如图1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，写出BE，EF，AF间的等量关系：．②如图2，∠α与∠BCA具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出∠α与∠BCA的数量关系．（2）如图3．若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明．【答案】（1）①EF=BE-AF；②∠α+∠BCA=180°，理由见解析；（2）不成立，EF=BE+AF，证明见解析【分析】（1）①求出∠BEC=∠AFC=90°,∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可得出结论；②求出∠BEC=∠AFC,∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可得出结论;（2）求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可得出结论．【详解】（1）①EF、BE、AF的数量关系：EF=BE-AF，证明：当α=90°时，∠BEC=∠CFA=90°，∵∠BCA=90°,∴∠BCE＋∠ACF=90°,∵∠BCE＋∠CBE=90°，∴∠ACF=∠CBE，∵AC=BC,∴△BCE≌△CAF,∴BE=CF,CE=AF,∵CF=CE＋EF,∴EF=CF-CE=BE-AF；②∠α与∠BCA关系：∠α+∠BCA=180°当∠α+∠BCA=180°时，①中结论仍然成立;理由是：如题图2，∵∠BEC=∠CFA=∠α,∠CBE+∠BCE+∠BEC=180°,∠α+∠ACB=180°,∴∠ACB=∠CBE+∠BCE又∵∠ACB=∠ACF+∠BCE∴∠CBE=∠ACF,在△BCE和△CAF中∠BEC=∠CFA∴△BCE≌△CAF(AAS),∴BE=CF,CE=AF，∴EF=CF-CE=BE-AF;故答案为:∠α+∠BCA=180°；（2）EF、BE、AF的数量关系:EF=BE+AF，理由如下∵∠BEC=∠CFA=∠α,∠α=∠BCA,又∵∠EBC+∠BCE＋∠BEC=180°,∠BCE＋∠ACF+∠ACB=180°,∴∠EBC＋∠BCE=∠BCE＋∠ACF∴∠EBC=∠ACF，在△BEC和△CFA中∠EBC=∠FCA∴△ABE≌△CFA(AAS)∴AF=CE，BE=CF∵EF=CE+CF,∴EF=BE＋AF．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，证明△BCE≌△CAF是解题的关键．【题型8全等三角形模型-手拉手模型】【例8】（2023·江苏扬州·统考二模）点D为△ABC外一点，∠ACB=90°，AC=BC．(1)如图1，∠DCE=90°，CD=CE，求证：∠ADC=∠BEC；(2)如图2，若∠CDB=45°，AE∥BD，CE⊥CD，求证：AE=BD；(3)如图3，若∠ADC=15°，CD=2，BD=n，请直接用含n的式子表示AD【答案】(1)见解析(2)见解析(3)n【分析】（1）根据SAS证明△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC；（2）延长DC交AE于F，连BF，根据SAS证明△ACE≌△BCF，则AE=BF，∠BFC=∠AEC=45°=∠FDB，结论得证；（3）过点C在CD上方作CE⊥CD,CE=CD，连BE、DE．由（1）知△ACD≌△BCE，则∠BEC=∠ADC=15°，求出∠BED=30°，可求出OE,OB的长，则【详解】（1）证明：∵∠DCE=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠BCE，又∵AC=BC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE(SAS∴∠ADC=∠BEC．（2）如图1，延长DC交AE于F，连BF，∵AE∥BD，∴∠EFC=∠CDB=45°．∵EC⊥CD，∠CEF=∠CFE=45°，∴EC=CF．∵∠ACE=∠BCF，AC=BC，∴△ACE≌△BCF(SAS∴AE=BF，∠BFC=∠AEC=45°=∠FDB，∴BF=BD，∴AE=BD；（3）如图2，过点C在CD上方作CE⊥CD，CE=CD，连BE、DE．设AD、BE交于点O，由（1）知△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠DOE=∠DCE=90°．又∵∠CED=∠CDE=45°，∴DE=2CD=2，∴OD=1∴OE=DE2∴AD=BE=OB+OE=n【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键.【变式8-1】（2023·山东淄博·模拟预测）如图，△ABC是一个锐角三角形，分别以AB、AC为边向外作等边三角形△ABD、△ACE，连接BE、CD交于点F，连接AF．(1)求证：△ABE≌△ADC；(2)求∠EFC的度数；(3)求证：AF平分∠DFE．【答案】(1)见解析(2)60°(3)见解析【分析】（1）由△ABD、△ACE是等边三角形，易证∠DAC=∠BAE，继而可证△ABE≌△ADC；（2）由△ABE≌△ADC，得到∠AEB=∠ACD，进一步得到∠CEF+∠ECF=∠AEC+∠ACE=120°，由三角形内角和得到答案；（3）作AH⊥DC于点H，AN⊥BE于点N，证明AH=AN，由【详解】（1）证明：∵△ABD、△ACE是等边三角形，∴DA=AB，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，∴△ABE≌△ADCSAS（2）解：∵△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∵∠AEB+∠CAE=∠ACD+∠EFC，∴∠EFC=∠CAE=60°；（3）证明：如图，作AH⊥DC于点H，AN⊥BE于点∵△ABE≌△ADC，∴∠ADC=∠ABE，∵∠AHD=∠ANB=90°，AD=AB，∴△AHD≌△ANB(AAS∴AH=AN，∵AH⊥DC，∴AF平分∠DFE．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分性的判定知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【变式8-2】（2023下·陕西咸阳·模拟预测）△ABC和△ADE如图所示，其中∠ABC=∠ACB,∠ADE=∠AED,∠BAC=∠DAE．(1)如图①，连接BE、CD，求证：(2)如图②，连接BE、CD、BD，若∠BAC=∠DAE=60°，CD⊥AE，AD=3，【答案】(1)见解析(2)34【分析】（1）只需证ΔABE≌（2）先证明ΔBED是直角三角形，再用勾股定理求BD【详解】（1）证明：∵∠ABC=∠ACB，∠ADE=∠AED，∴AB=AC，AE=AD，∵，∠BAC=∠DAE，∴∠BAE=∠CAD，∴Δ∴BE=CD．（2）解：∵∠ADE=∠AED，∴AE=AD，∵∠DAE=60°，∴Δ∴AD=ED=3，∠AED=∠ADE=60°，∵CD⊥AE，∴∠ADC=1由（1）知：ΔABE≌∴BE=CD=5，∠AEB=∠ADC=30°，∴∠BED=90°，∴BD=B【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理，解题的关键是确定全等三角形的条件．【变式8-3】（2023上·山东临沂·二模）已知在△ABC中，AB=AC，过点B引一条射线BM，D是BM上一点【问题解决】(1)如图1，若∠ABC=60°，射线BM在∠ABC内部，∠ADB=60°，求证：∠BDC=60°，小明同学展示的做法是：在BM上取一点E使得AE=AD，通过已知的条件，从而求得∠BDC的度数，请你帮助小明写出证明过程；【类比探究】(2)如图2，已知∠ABC=∠ADB=30°．①当射线BM在∠ABC内，求∠BDC的度数②当射线BM在BC下方，如图3所示，请问∠BDC的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求出∠BDC的度数；【答案】(1)见解析(2)①∠BDC=120°②；∠BDC的度数会变化，理由见解析【分析】（1）根据等边三角形的判定定理得到△ADE、△ABC是等边三角形，进而得到∠BAE=∠CAD，根据SAS证明△BAE≌△CAD，根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠AEB=120°，得到答案；（2）①在BD上取一点E，AE=AD，证明△BAE≌△CAD，得到∠ADC=150°，可求出答案；②在DB延长线上取一点E，使得AE=AD，同理证明△BAE≌△CAD，求出∠ADC=∠E=30°，进而求出∠BDC．【详解】（1）证明：如图1，在BM上取一点E，使AE=AD，∵∠ADB=60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠EAD=60°，∵AB=AC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠BAC=∠EAD，∴∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC，即∠BAE=∠CAD，∵在△BAE和△CAD中AB=AC∠BAE=∠CAD∴△BAE≌△CADSAS∴∠ADC=∠AEB=120°，∴∠BDC=120°-60°=60°；（2）证明：①在BD上取一点E，AE=AD，如图所示：∵∠ABC=∠ADB=30°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=30°，∠AED=∠ADE=30°，∴∠BAC=∠EAD=120°，∴∠BAE=∠CAD，∵在△BAE和△CAD中AB=AC∠BAE=∠CAD∴△BAE≌△CADSAS∴∠ADC=∠AEB=180°-30°=150°，∴∠BDC=150°-30°=120°；②∠BDC的度数会变化，理由如下：在DB延长线上取一点E，使得AE=AD，如图所示：同理①的方法可证：△BAE≌△CAD，∴∠ADC=∠E=30°，∴∠BDC=∠ADE+∠ADC=30°+30°=60°．【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构造全等三角形进行计算和证明是解题的关键．【题型9构造辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法】【例9】（2023上·北京通州·二模）如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA＝OD，OB＝OC，∠AOB+∠COD＝180°．（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝22，求OB（2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．【答案】（1）2；（2）OE=1【分析】（1）由已知条件∠BOE＝∠BAO，且公共角∠OBE=∠ABO，证明△OBE∽△ABO，进而列出比例式，代入数值即可求得OB；（2）延长OE到点F，使得EF=OE，连接AF，FB，证明△AOF≌△DOC，进而可得OF=CD，即OE=【详解】（1）解：∵∠BOE＝∠BAO，∠OBE=∠ABO，∴△OBE∽△ABO，∴BEOB∵AB＝22，E为AB∴BE=∴2OB∴OB=2（舍负）.（2）线段OE和CD的数量关系是：OE=1证明：如图，延长OE到点F，使得EF=OE，连接AF，FB.∵AE=BE∴四边形AFBO是平行四边形，∴AF∥OB，∴∠FAO+∠AOB=180°，∵∠AOB+∠COD＝180°，∴∠FAO=∠COD，∵OB＝OC，∴AF=OC，在△AOF和△DOC中，OA=OD&∴△AOF≌△ODC，∴OF=CD∴OE=1【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，第（2）小问中，根据题意正确的添加辅助线是解题的关键．【变式9-1】（2023·湖北十堰·统考一模）如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若∠AEF=∠FAE，BE=4，EF=1.6，则CF的长为．【答案】2.4【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．延长AD至G，使DG=AD，连接BG，根据SAS证明△BDG≌△CDA，则BG=AC,∠CAD=∠G，根据AF=EF可得∠CAD=∠AEF，由此可得∠G=∠BEG，即可得出AC=BE=4，然后利用线段的和差即可求出CF的长．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【详解】如图，延长AD至G，使DG=AD，连接BG，在△BDG和△CDA中BD=CD∠BDG=∠CDA∴△BDG≌△CDA(SAS∴BG=AC,∠CAD=∠G．∵∠AEF=∠FAE，∠BEG=∠AEF，∴∠CAD=∠BEG，∴∠G=∠BEG，∴BG=BE=4，∴AC=BE=4．∵∠AEF=∠FAE，∴AF=EF=1.6，∴CF=AC-AF=4-1.6=2.4．故答案为：2.4【变式9-2】（2023上·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，△ABC中，点D在AC上，AD=3,AB+AC=10，点E是BD的中点，连接CE,∠ACB=∠ABC+2∠BCE，则CD=．【答案】43/【分析】如图，延长CE至F，使得EF=CE，交AB于点G，通过“边角边”证明△BEF≌△DEC，则∠F=∠DCE,BF=DC，根据题意与三角形的外角性质可得∠AGC=∠DCE，进而可得AG=AC,BF=BG=CD，设BF=BG=CD=x，根据题意得到关于【详解】解：如图，延长CE至F，使得EF=CE，交AB于点G，∵点E是BD的中点，∴BE=DE，在△BEF与△DEC中，BE=DE∠BEF∴△BEF≌∴∠F=∠DCE,BF=DC，∵∠ACB=∠ABC+2∠BCE，∴∠DCE=∠ACB-∠BCE=∠ABC+∠BCE，∵∠AGC=∠ABC+∠BCE，∴∠AGC=∠DCE，∴∠F=∠DCE=∠AGC=∠BGF,AG=AC，∴BF=BG=CD，

设BF=BG=CD=x，∵AD=3,AB+AC=10，∴10-x2解得x=4即CD=4故答案为：4【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，根据中点作出适当的辅助线．【变式9-3】（2023上·湖北武汉·一模）（1）如图1，已知△ABC中，AD是中线，求证：AB+AC>2AD；（2）如图2，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE；（3）如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AB+AC>AD+AE．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）利用“倍长中线”法，延长AD，然后通过全等以及三角形的三边关系证明即可；（2）取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到AB=CQ，AD=EQ，然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论；（3）同（2）处理方式一样，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE，结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论．【详解】证：（1）如图所示，延长AD至P点，使得AD=PD，连接CP，∵AD是△ABC的中线，∴D为BC的中点，BD=CD，在△ABD与△PCD中，BD=CD∴△ABD≌△PCD(SAS)，∴AB=CP，在△APC中，由三边关系可得AC+PC＞AP，∴AB+AC>2AD；（2）如图所示，取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，∵H为DE中点，D、E为BC三等分点，∴DH=EH，BD=DE=CE，∴DH=CH，在△ABH和△QCH中，BH=CH∴△ABH≌△QCH(SAS)，同理可得：△ADH≌△QEH，∴AB=CQ，AD=EQ，此时，延长AE，交CQ于K点，∵AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CK＞AK，∴AC+CQ＞AK+QK，又∵AK+QK=AE+EK+QK，EK+QK＞QE，∴AK+QK＞AE+QE，∴AC+CQ＞AK+QK＞AE+QE，∵AB=CQ，AD=EQ，∴AB+AC>AD+AE；（3）如图所示，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE，∵M为DE中点，∴DM=EM，∵BD=CE，∴BM=CM，在△ABM和△NCM中，BM=CM∴△ABM≌△NCM(SAS)，同理可证△ADM≌△NEM，∴AB=NC，AD=NE，此时，延长AE，交CN于T点，∵AC+CN=AC+CT+NT，AC+CT＞AT，∴AC+CN＞AT+NT，又∵AT+NT=AE+ET+NT，ET+NT＞NE，∴AT+NT＞AE+NE，∴AC+CN＞AT+NT＞AE+NE，∵AB=NC，AD=NE，∴AB+AC>AD+AE．【点睛】本题考查全等三角形证明问题中辅助线的添加，掌握“倍长中线”的基本思想，以及熟练运用三角形的三边关系是解题关键．【题型10构造辅助线证明两个三角形全等-截长补短法】【例10】（2023上·四川南充·二模）(1)阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA到点N，使得BN=BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题．结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．(2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接AC，当∠DAC=60°时，探究线段AB，BC，BD(3)问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，DA=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，请写出线段AB、CE【答案】（1）见解析；（2）AB+BC=BD，见解析；（3）BC-AB=2CE，见解析【分析】（1）方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，证明△ABD≌△MBD(SAS)，得出∠A=∠BMD，AD=MD，进而得出∠C=∠CMD，则DM=DC，等量代换即可得证；方法2：延长AB到N，使BN=BC，连接DN，证明△NBD≌△CBD(SAS（2）AB，BC，BD之间的数量关系为AB+BC=BD．方法1：在BD上截取BF=AB，连接AF，由(1)知∠BAD+∠BCD=180°，得出△ABF，△ADC为等边三角形，证明△ABC≌△AFD(SAS)，得出DF=BC，进而即可得证；方法2：延长CB到P，使BP=BA，连接AP，由(1)知AD=CD，则△ADC，△ABP（3）线段AB、CE、BC之间的数量关系为BC-AB=2CE，连接BD，过点D作DF⊥AB于点F，证明△DFA≌△DEC(AAS)，Rt△BDF≌和Rt【详解】解：（1）方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，∵BD平分∠ABC∴∠在△ABD和△MBD中，BD=BD∠ABD=∠MBD∴△ABD≌△MBD(SAS∴∠A=∠∵∠BMD+∠∴∠∴DM=DC，∴DA=DC；方法2：延长AB到N，使BN=BC，连接DN，∵BD平分∠ABC∴∠在△NBD和△CBD中，BD=BD∠NBD=∠CBD∴△NBD≌△CBD(SAS∴∠BND=∠∵∠NAD+∠∴∠∴DN=DA，∴DA=DC；（2）AB，BC，BD之间的数量关系为AB+BC=BD．方法1：理由如下：如图2，在BD上截取BF=AB，连接AF，由(1)知∠BAD+∴∠∵∠∴∠∴∠∴△ABF为等边三角形，∴AB=AF=BF，∠BAF=60°∵AD=DC，∴△ADC为等边三角形，∴AD=AC，∠DAC=60°∴∠∴△ABC≌△AFD(SAS∴DF=BC，∴BD=BF+DF=AB+BC．方法2：理由：延长CB到P，使BP=BA，连接AP，由(1)知AD=CD，∵∠∴△ADC是等边三角形，∴AC=AD，∠ADC=60°∵∠∴∠∴∠∵BP=BA，∴△ABP为等边三角形，∴∠PAB=60°，∵∠∴∠即∠PAC=在△PAC和△BAD中，PA=BA∠PAC=∠BAD∴△PAC≌△BAD(SAS∴PC=BD，∵PC=BP+BC=AB+B