专题22 胡不归模型（解析版）

胡不归模型一、知识导航在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．本文简单介绍“胡不归”模型．【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？【模型建立】如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．【问题分析】，记，即求BC+kAC的最小值．【问题解决】构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．【模型总结】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．二、典例精析如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是_______．【分析】本题关键在于处理“”，考虑tanA=2，△ABE三边之比为，，故作DH⊥AB交AB于H点，则．问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H共线时值最小，此时．【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．三、中考真题演练1．（2023·山东·中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，其对称轴为．

(1)求抛物线的表达式；(3)如图2，动点P在直线上方的抛物线上，过点P作直线的垂线，分别交直线，线段于点E，F，过点F作轴，垂足为G，求的最大值．【分析】（1）由题易得c的值，再根据对称轴求出b的值，即可解答；（3）求得所在直线的解析式为，设，设所在直线的解析式为：，得，令，解得，分别表示出和，再对进行化简计算，配方成顶点式即可求解．【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点，∴，∵对称轴为，∴，，∴抛物线的解析式为；（3）设所在直线的解析式为，把B、C坐标代入得：，解得，∴，∵，∴，∵，∴直线与x轴所成夹角为，设，设所在直线的解析式为：，把点P代入得，∴，令，则，解得，∴∴∵点P在直线上方，∴，∴当时，的最大值为．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，利用数形结合的思想是解题的关键．2．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．

(1)求抛物线和一次函数的解析式．(3)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（3）得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，则，点在抛物线上，且横坐标为得出，进而可得，则，根据二次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：把，，代入得

解得

∴

把代入得∴（3）∵向右平移8个单位长度得到抛物线当，即解得：∴，∵过，，三点∴

在直线下方的抛物线上任取一点，作轴交于点，过点作轴于点

∵，∴∴是等腰直角三角形∵，∴又∴是等腰直角三角形∴∵点在抛物线上，且横坐标为∴∴

∵∴∴∴

∴∴当时，的最大值为．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，正方形的性质，二次函数的性质，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．

(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；【分析】（1）将、、代入抛物线解析式求解即可；（2）可求直线的解析式为，设（），可求，从而可求，即可求解；【详解】（1）解：由题意得，解得：，抛物线的解析式为．（2）解：设直线的解析式为，则有，解得：，直线的解析式为；设（），，解得：，，，，，，，当时，的最大值为，，．故的最大值为，．4．（2023·天津·中考真题）已知抛物线，为常数，的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为．(1)若．①求点和点的坐标；②当时，求点的坐标；(2)若点的坐标为，且，当时，求点的坐标．【答案】(1)①点的坐标为；点的坐标为；②点的坐标为(2)【分析】（1）①待定系数法求解析式，然后化为顶点式，即可求得的坐标，令，解方程，即可求得的坐标；②过点作轴于点，与直线相交于点．得出．可得中，．中，．设点，点．根据，解方程即可求解；（2）根据题意得出抛物线的解析式为．得点，其中．则顶点的坐标为，对称轴为直线．过点作于点，则，点．由，得．于是．得出(舍)．，同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点，则点，点，点．根据已知条件式，建立方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：①由，得抛物线的解析式为．∵，∴点的坐标为．当时，．解得．又点在点的左侧，∴点的坐标为．②过点作轴于点，与直线相交于点．

∵点，点，∴．可得中，．∴中，．∵抛物线上的点的横坐标为，其中，∴设点，点．得．即点．∴．中，可得．∴．又，得．即．解得(舍)．∴点的坐标为．（2）∵点在抛物线上，其中，∴．得．∴抛物线的解析式为．得点，其中．∵，∴顶点的坐标为，对称轴为直线．过点作于点，则，点．由，得．于是．∴．即．解得(舍)．同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点，则点，点，点．∵，∴．即．解得(舍)．∴点的坐标为．

【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，角度问题，线段问题，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，已知抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为．

(1)若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；(2)在（1）条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止．当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少?【答案】(1)(2)【分析】（1）由点的坐标求出直线的解析式，再由点的横坐标代入直线的解析式求出点的坐标，然后将点的坐标代入抛物线解析式求，从而得到抛物线的函数表达式；（2）过点作轴于点，过点和点分别作轴的平行线和轴的平行线，交于点，过点作于点，由点和点的坐标求线段、和的长度，得到，结合速度可知时间为，然后利用“角所对的直角边是斜边的一半”得，从而得到，进而求得此时点坐标．【详解】（1）解：对于，当时，或，∴，，将点代入，得：∴，则直线的解析式为：，当时，，∴，将点代入，得：，∴，∴抛物线的表达式为：；（2）由题意得：点的运动时间为，过点作轴于点，

∵，，∴，，，∴，过点和点分别作轴的平行线和轴的平行线，交于点，∴，∴，∴，过点作于点，此时，∴与直线的交点即为所求点，∵，∴当时，，∴点的坐标为时，点在整个运动过程中用时最少．【点睛】本题考查了二次函数和一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求抛物线解析式、特殊角的直角三角形三边关系，第2问的突破点是利用转化的思想结合“角所对的直角边是斜边的一半”将进行转化，然后利用垂线段最短求得用时最小时的点坐标．6．（2023·广西柳州·二模）已知抛物线过点，两点，与轴交于点，，

(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；(2)点为抛物线上位于直线下方的一动点，当面积最大时，求点的坐标；(3)若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)解析式为，顶点的坐标为(2)点的坐标为(3)存在，最小值为【分析】（1）根据题意设抛物线的交点式，然后代入点的坐标，求解即可；（2）作轴，交于点，通过设和的坐标，利用“割补法”表示出，从而利用二次函数的性质求解最值即可；（3）将直线绕着点逆时针旋转，并过点作其垂线，垂足为，分别连接，，，构造出含角的直角三角形，然后转换为求得最小值，继而确定当、、三点共线时，满足取得最小值，此时利用含角的直角三角形的性质分段求解再相加即可得出结论．【详解】（1）解：由题意，设抛物线解析式为，其中，∵，∴点的坐标为，将代入，解得：，∴，∴抛物线的解析式为，∵对称轴为直线，∴将代入，得：，∴顶点的坐标为；（2）解：∵，，∴直线的解析式为：，∵点在抛物线上，且位于直线下方，∴设，其中，，如图所示，作轴，交于点，∴，∴，∵，，，∴，∴，整理可得：，其中，∵，∴当时，取得最大值，将代入，得：，∴此时点的坐标为；

（3）解：存在最小值，理由如下：如下图所示，将直线绕着点逆时针旋转，并过点作其垂线，垂足为，分别连接，，，则，，

∴在中，，∴随着点的运动，总有，∴，要使得取得最小值，即要使得取得最小值，如下图，当、、三点共线时，满足取得最小值，

此时，，，∵，∴，，∴，∴，∴，∴存在最小值，最小值为．【点睛】本题考查求二次函数解析式，二次函数综合面积问题，以及利用“胡不归”模型构造三角形求线段和最值问题，掌握二次函数的基本性质，熟练运用函数思想解决图形面积问题是解题关键．7．（2022·四川成都·模拟预测）抛物线分别交x轴于点，，交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且．(1)求抛物线的表达式；(2)线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由；(3)在M，N移动的过程中，DM＋MC是否有最小值，如果有，请写出理由．【答案】(1)(2)，见解析(3)有，最小值为【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）在中，，，根据，有，即可得，问题得解；（3）先求出，即，即有，则的最小值是的最小值，即点D到AC的垂线段DN的长，问题随之得解．【详解】（1）把点，代入抛物线中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2），理由是：如图1，令，则，即，∵，，∴，，，在中，，，∵，∴，∴，∴，∴；（3）在M，N移动的过程中，有最小值是，理由如下：由（2）知：，∴，即，∴，∴的最小值是的最小值，即D、M、N三点共线时，点D到AC的垂线段DN的长，如图2，抛物线解析式为：；∴对称轴是：，即，∴，在中，，∴，即，∴在M，N移动的过程中，有最小值是．【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的性质，解直角三角形以及垂线段最短等知识．题目难度不大，细心作答即可．掌握二次函数的性质是解答本题的关键．8．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90°得到，点A的对应点是点E．①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标．【答案】(1)(2)①点E在抛物线上；②P（0，−）【分析】（1）先求出A、B坐标，然后根据待定系数法求解即可；（2）①根据旋转的性质求出EF=AO=3，CF=CO=6，从而可求E的坐标，然后把E的坐标代入（1）的函数解析式中，从而判断出点E是否在抛物线上；②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H，，则，得，可知HP＋PE的最小值为EH的长，从而解决问题．【详解】（1）解：当x=0时，y=-4，当y=0时，，∴x=-3，∴A（-3，0），B（0，-4），把A、B代入抛物线，得，∴，∴抛物线解析式为．（2）解：①∵A（-3，0），C（0，6），∴AO=3，CO=6，由旋转知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°∴E到x轴的距离为6-3=3，∴点E的坐标为（6，3），当x=3时，，∴点E在抛物线上；②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H，∵A（−3，0），B（0，−4），∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝5，∵，∴，∴，∴HP＋PE的最小值为EH的长，作EG⊥y轴于G，∵∠GEP＝∠ABO，∴tan∠GEP＝tan∠ABO，∴，∴，∴，∴OP＝−3＝，∴P（0，−）．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，三角函数，两点之间、线段最短等知识，利用三角函数将转化为HP的长是解题的关键．9．（2018·江苏徐州·一模）如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A（-4，-4），B（0，4）两点，直线AC：y=-交y轴与点C，点E是直线AB上的动点，过点EF∥y轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）直接写出抛物线y=-x2+bx+c的解析式为_______；（2）在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；（3）在（2）的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为圆E上一动点，求AM+CM的最小值．【答案】（1）；（2）运动到x轴时，此时，；（3）【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）先判断出要以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，只有为对角线，利用中点坐标公式建立方程即可；（3）先取的中点，进而判断出，即可得出，连接交圆于点，再求出点的坐标即可得出结论．【详解】解：（1）将点代入抛物线解析式可得：，解得抛物线的解析式为（2）设直线解析式为将代入得，解得由题意可得：设，，则∵，，∴为直角三角形，结合图形可得，以A，E，F，H为顶点的矩形为矩形，为矩形的对角线由矩形的性质可得，线段的中点重合则，解得，∴，由E点坐标可知，E在x轴上（3）取的中点，如下图：由（2）可知，，，∴∴连接交圆于点，连接∴∴又∵∴∴∴∴，当三点共线时，等号成立设，化简得解得或（舍去，在点的左边）∴∴即的最小值为【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，中点坐标公式，距离公式，解题的关键是掌握并灵活运用相关性质进行求解．10．（2021九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，求点M的坐标；（3）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB＋PD的最小值．【答案】（1）y=（x）2，（，）；（2）（，）或（，）或（，）或（，）或（，）；（3）【详解】思路引领：（1）将A、B、C三点的坐标代入y＝ax2+bx+c，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式，进而得到其顶点坐标；（2）当以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形时，分三种情况：①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM＝AB；②以B为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM＝AB；③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM＝BM，分别列出方程，求解即可；（3）连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．最小值就是线段DH，求出DH即可．答案详解：（1）由题意，解得，∴抛物线解析式为yx2x，∵yx2x（x）2，∴顶点坐标（，）；（2）设点M的坐标为（，y）．∵A（﹣1，0），B（0，），∴AB2＝1+3＝4．①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM＝AB，则（1）2+y2＝4，解得y＝±，即此时点M的坐标为（，）或（，）；②以B为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM＝AB，则（）2+（y）2＝4，解得y或y，即此时点M的坐标为（，）或（，）；③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM＝BM，则（1）2+y2＝（）2+（y）2，解得y，即此时点M的坐标为（，）．综上所述，满足条件的点M的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）或（，）；（3）如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．理由：∵OA＝1，OB，∴tan∠ABO，∴