衔接点09 匀变速直线运动的位移与时间的关系（解析版）

衔接点09匀变速直线运动的位移与时间的关系课程标准初中初中无该知识点高中1.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系，会用公式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2解决匀变速直线运动的问题.2.理解匀变速直线运动的速度与位移的关系式并会应用公式v2－v02＝2ax解题．初中物理知识储备1．数学知识储备：梯形的面积公式：、、分别为梯形的上底、下底和高。2．抛物线方程：高中物理新知识、新模型一、匀变速直线运动的位移匀变速直线运动位移与时间的关系式：x＝v0t＋eq\f(1,2)at2，当初速度为0时，x＝eq\f(1,2)at2.二、速度与位移的关系1．关系式：v2－v02＝2ax.2．推导：由速度与时间的关系式v＝v0＋at，位移与时间的关系式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2，得v2－v02＝2ax.三、匀变速运动的位移公式的理解对速度与位移的关系式v2－v02＝2ax的理解1．适用范围：仅适用于匀变速直线运动．2．矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用解题时一定要先设定正方向，一般取v0方向为正方向：(1)若是加速运动，a取正值，若是减速运动，a取负值．(2)x＞0，位移的方向与初速度方向相同，x＜0位移的方向与初速度方向相反．(3)v＞0，速度的方向与初速度方向相同，v＜0速度的方向与初速度方向相反．四、刹车类问题的处理思路实际交通工具刹车后可认为是做匀减速直线运动，当速度减小到零时，车辆就会停止．解答此类问题的思路是：(1)先求出它从刹车到停止的刹车时间t刹＝eq\f(v0,a)；(2)比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动学公式求解．若t<t刹，则在t时间内未停止运动，可用公式求解；若t>t刹，不能盲目把时间代入．五、逆向思维法求解运动问题逆向思维法是把运动过程的“末状态”作为“初状态”来反向研究问题的方法．如物体做匀减速直线运动可看成反向匀加速直线运动来处理．末状态已知的情况下，若采用逆向思维法往往能起到事半功倍的效果．初、高中物理衔接点1.匀变速直线运动的位移与时间的关系式是本节学习的难点，因为二者不像匀速运动中是简单的线性关系，同学们从已有的数理知识不易直接推导出正确的结论。本部分内容渗透了用v-t图像所围面积求位移的积分思想。2.对刚进入高中的同学们来说，本节的另一个难点是如何选择适当的公式来分析和解决匀变速直线运动的问题。实际应用时这些公式还有很多具体的表现形式，因此同学们常常觉得头绪太多，无从下手。同学们可以根据已知条件和要解决的问题分析物理量之间的相互联系，合理地选择公式。学习过程中，同学们要不断提升自己的分析综合、推理论证等科学思维能力。3.同学们要注意公式的使用条件，不可死记硬背、生搬硬套。表示匀变速直线运动规律有各种形式的公式，例如物体在一段时间内的平均速度等于这段时间中点时刻的瞬时速度等。1．如图为匀速直线运动的v－t图像，图中阴影部分的面积与物体在0～t1时间内的位移在数值上是否相等？答案相等2.如图是某物体以初速度v0做匀变速直线运动的v－t图像．试推导匀变速直线运动的位移与时间的关系．答案物体做匀变速直线运动的图像如图所示．可将物体的运动按时间分成若干小段，将每一小段内的运动看成是匀速直线运动，其速度用这一小段起始时刻的瞬时速度表示．这样匀变速直线运动转变成了匀速直线运动的问题．如果把整个运动过程分割得非常非常细，很多很多小矩形的面积之和就能非常精确地代表物体的位移了．这个梯形的面积就代表做匀变速直线运动的物体从开始到t时刻这段时间间隔的位移．v－t图线与坐标轴围成的梯形的面积x＝eq\f(1,2)(v0＋v)t①又v＝v0＋at②由①②式可得x＝v0t＋eq\f(1,2)at2.3.如果你是机场跑道设计师，若已知飞机的加速度为a，起飞速度为v，则跑道的长度至少为多长？有几种计算方法？哪种方法较简单？答案方法一由v＝at可得飞机从开始运动到起飞所用时间t＝eq\f(v,a).所以飞机起飞通过的位移为x＝eq\f(1,2)at2＝eq\f(v2,2a).方法二由v2－v02＝2ax得x＝eq\f(v2,2a)方法二较简单．例题1.一物体做匀减速直线运动，初速度大小为v0＝5m/s，加速度大小为0.5m/s2，求：(1)物体在前3s内的位移大小；(2)物体在第3s内的位移大小．答案(1)12.75m(2)3.75m解析(1)取初速度方向为正方向v0＝5m/s，a＝－0.5m/s2前3s内物体的位移x3＝v0t3＋eq\f(1,2)at32＝5×3m＋eq\f(1,2)×(－0.5)×32m＝12.75m.(2)同理，前2s内物体的位移x2＝v0t2＋eq\f(1,2)at22＝5×2m＋eq\f(1,2)×(－0.5)×22m＝9m因此第3s内物体的位移x＝x3－x2＝12.75m－9m＝3.75m.例题2.某型号航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统，已知某型号的飞机在平直跑道上加速时可产生的最大加速度为5.0m/s2，当飞机的速度达到50m/s时才能离开航空母舰起飞．设航空母舰处于静止状态．问：(1)若要求该飞机滑行160m后起飞，弹射系统必须使飞机具有多大的初速度？(2)若某舰上不装弹射系统，要求该型号飞机仍能在此舰上正常起飞，该舰身长至少为多长？答案(1)30m/s(2)250m解析(1)设弹射系统使飞机具有的初速度为v0，由速度与位移的关系式v2－v02＝2ax可得v0＝eq\r(v2－2ax)＝30m/s.(2)不装弹射系统时，飞机从静止开始做匀加速直线运动．由公式v2＝2ax可知该舰身长至少为x＝eq\f(v2,2a)＝250m.例题3.（刹车类问题分析）汽车以36km/h的速度在平直公路上匀速行驶，刹车后以2m/s2的加速度做匀减速直线运动，求：(1)刹车后3s末的速度大小；(2)刹车后汽车发生位移16m所经历的时间；(3)刹车后8s内汽车通过的位移大小．答案(1)4m/s(2)2s(3)25m解析(1)汽车的初速度大小为v0＝36km/h＝10m/s,刹车时间t＝eq\f(v0,a)＝5s,所以刹车后3s末的速度大小为v1＝v0－at1＝4m/s(2)设汽车发生位移x所经历的时间为t2，则汽车的位移x＝v0t2－eq\f(1,2)at22＝16m解得t2＝2s或t2＝8s(舍去)(3)由于8s大于汽车的刹车时间，所以8s内汽车通过的位移大小为刹车距离，即x1＝eq\f(v02,2a)＝25m.例题4.（刹车类问题分析）飞机着陆后以6m/s2的加速度做匀减速直线运动直至静止．其着陆速度为60m/s，求：(1)飞机着陆过程中滑行的距离；(2)飞机着陆过程中最后4s内滑行的位移大小．答案(1)300m(2)48m解析(1)取初速度方向为正方向，v0＝60m/s，a＝－6m/s2，v＝0,由v2－v02＝2ax得x＝eq\f(v2－v02,2a)＝eq\f(0－602,2×－6)m＝300m.(2)匀减速直线运动速度减到零，其逆过程为初速度为零的匀加速直线运动，a′＝6m/s2飞机最后4s内滑行的位移x′＝eq\f(1,2)a′t2＝eq\f(1,2)×6×42m＝48m.一、单选题1．如图所示为A、B两人在同一直线上运动的位移图像，图像表示（）

A．0~2s内，A、B两人同向而行B．0~2s内，A的位移比B的位移大C．整个6s内，A走的路程比B走的路程多D．整个6s内，A走的位移比B走的位移大【答案】D【解析】A.由图可知，0~2s内A、B两人相向而行，则A错；B.通过计算0~2s内A的位移为xA=（8－12）m＝－4m大小为4m。B的位移为xB=（10－0）m＝10m故B错；C.全程A的路程为12m，B的路程为20m，则C错；D.全程A的位移等于－12m，B的位移为0，D正确。故选D。2．拧开水龙头，水向下流出的过程水柱的直径会发生变化。如图，水龙头的内径为2cm。接在流量恒定不变的水管上，若水龙头出口处的流速为1m/s，且当水柱的直径为1cm时开始出现断续现象，不考虑安装高度，不计空气阻力，取重力加速度大小为，则水柱第一次出现断续现象的位置到出水口的距离为（）

A．45cm B．50cm C．65cm D．75cm【答案】D【解析】单位时间内的流量恒定为取一段水柱，从离开水龙头到断续时有由题意知由于水下流流量相同得而代入数据联合解得故选D。3．汽车从发现情况到开始减速到停止运动的情景过程如下，已知减速过程的加速度大小为a，减速过程的平均速度大小为，减速过程时间是反应过程时间的5倍，反应过程可视为匀速，下列说法正确的是（

）

A．汽车正常行驶的速度大小为B．反应过程的时间为C．减速过程位移是反应过程位移的倍D．从发现情况到汽车停止整个过程的平均速度大小为【答案】A【解析】A．设汽车正常行驶的速度为，由匀变速直线运动的平均速度与瞬时速度的关系可得可得A正确；B．减速过程时间为反应过程的时间为B错误；C．减速过程的位移为反应过程的位移为则有C错误；D．发现情况到汽车停止整个过程的平均速度为D错误。故选A。4．如图所示，一辆汽车A在时刻从坐标为的A点以的速率沿x轴正方向匀速行驶，另一辆汽车B在时刻从坐标为的B点以的速率沿y轴正方向匀速行驶，运动过程中两车相距最近的时刻是（）

A． B． C． D．【答案】B【解析】经2s时间A车运动到O点，以此为计时起点解得s最小时t有极值故运动过程中两车相距最近的时刻是。故选B。5．如图是子弹射过扑克牌的一幅照片。已知子弹的平均速度约为900m/s，子弹的真实长度为2.0cm，试估算子弹完全穿过扑克牌的时间t约为（）A．8.9×10-5s B．8.9×10-3s C．2.2×10-5s D．2.2×10-3s【答案】A【解析】扑克牌的宽度约为子弹长度的3倍，即子弹穿过扑克牌的过程中位移大小为Δx=4×2.0cm=8cm由公式知穿过时间故选A。6．在一笔直公路上有甲乙两辆车同向运动，甲车在前，速度为5m/s，乙车在后，速度为8m/s，当甲乙两车相距9.5m时，甲车开始刹车做匀减速直线运动，5s后甲车停止运动。为了不撞上甲车，乙车在甲刹车后1s也开始刹车，求乙的加速度大小至少为（）A．m/s2 B．m/s2C．2m/s2 D．m/s2【答案】A【解析】甲的加速度大小：两车不相撞的临界是两车速度相等时恰好相遇，设经过时间两车速度相等，则当解得故选A。7．甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其图像如图所示。已知两车在时相遇，则下列说法正确的是（）

A．甲车的加速度大小为B．时甲车的速度为31.5m/sC．的时间内甲发生的位移为80mD．在时，乙车在甲车前40m【答案】D【解析】A．图像中图线的斜率表示加速度，则甲车的加速度大小为故A错误；B．时甲车的速度为故B错误；C．图像中图线与时间轴围成的面积表示位移大小，的时间内甲车发生的位移为故C错误；D．的时间内乙车发生的位移则在时，乙车在甲车前故D正确。故选D。8．一小汽车以速度在平直轨道上正常行驶，要通过前方一隧道，需提前减速，以速度匀速通过隧道后，立即加速到原来的速度，小汽车的v-t图像如图所示，则下列说法正确的是（）

A．加速阶段与减速阶段的加速度大小之比为1：2B．加速阶段与减速阶段的位移大小之比为2：1C．加速阶段与匀速阶段的位移大小之比为1：2D．小汽车从开始减速直至再恢复到的过程中通过的路程为【答案】D【解析】A．v-t图像中图线斜率表示加速度，加速阶段与减速阶段的加速度大小之比为，故A错误；BCD．v-t图像中图线与时间轴所围的面积在数值上等于位移大小，由题图知减速阶段位移大小为匀速阶段位移大小为加速阶段位移大小为则加速阶段与减速阶段的位移大小之比为，加速阶段与匀速阶段的位移大小之比为，小汽车从开始减速到再恢复到的过程中通过的路程为故BC错误，D正确。故选D。二、多选题9．如图所示，汽车以10m/s的速度匀速驶向路口，当行驶至距路口停车线20m处时，绿灯还有3s熄灭。而该汽车在绿灯熄灭时刚好停在停车线处，则汽车运动的速度—时间图像可能是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】BC【解析】A．图像中图线与时间轴所围几何图形的面积表示位移，该图像中汽车的位移为表明汽车没有停在停车线处，该图像图像不可能，A错误；B．图像中图线与时间轴所围几何图形的面积表示位移，该图像中汽车的位移为表明汽车有可能停在停车线处，B正确；C．图像中图线与时间轴所围几何图形的面积表示位移，该图像中汽车的位移为表明汽车恰好停在停车线处，C正确；D．图像中图线与时间轴所围几何图形的面积表示位移，该图像中汽车的位移为表明汽车没有停在停车线处，该图像图像不可能，D错误。故选BC。10．有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁。2022年9月20日，中国中车股份有限公司面向全球发布时速600公里高速磁浮交通系统。据了解，该磁悬浮列车可以在3.5min内达到最大速度600km/h。假设在某次试运行时起始站到终点站间距离为60km，加速过程、减速过程都以3.5min变化600km/h的加速度变速，请你根据已有数据分析以下试运行方案的v-t图像，不可能实现的有（）A．

B．

C．

D．

【答案】AD【解析】A．根据v-t图像与t轴围成的面积表示位移，可知A项图中，加速和减速过程中行驶的距离均为匀速过程前进的距离为行驶的总路程为A项方案不可能实现，故A错误；B．同理，B项图中，加速和减速过程中行驶的距离均为匀速过程前进的距离为行驶的总路程为B项方案有可能实现，故B正确；C．C项图中，加速和减速过程中行驶的距离均为匀速过程前进的距离为行驶的总路程为C项方案有可能实现，故C正确；D．D项图中，加速和减速过程中行驶的距离均为匀速过程前进的距离为行驶的总路程为D项方案不可能实现，故D错误。本题选错误的，故选AD。11．汽车以的速度匀速运动，突遇紧急情况，以的加速度刹车，则（）

A．刹车后6秒内的位移为50m。B．刹车后4秒内的平均速度为C．刹车后第2秒与第4秒的位移之比为7：3D．图线与坐标轴围成的“面积”为【答案】AC【解析】A．取初速度方向为正方向，则根据速度时间关系可知，汽车做匀减速运动的总时间为则刹车后5s内的位移实为，刹车后6秒内的位移为刹车总位移，为50m，故A正确；B．刹车后4秒时速度为故4s内的平均速度为故B错误；C．刹车时间为5s，其逆过程为：初速度为零的匀加速直线运动相等时间内的位移之比为，由此可知刹车后第2秒（对应逆过程的第４s）与第4秒的位移（对应逆过程的第2s）之比为7：3，故C正确；D．图线与坐标轴围成的“面积”为刹车过程总位移，即为50m，故D错误。故选AC。12．某质点做匀变速直线运动的图像如图所示，则下列关于其运动情况的分析正确的是（）

A．该质点的加速度为 B．该质点的初速度为C．该质点末的速度为 D．该质点第内的位移为【答案】BD【解析】AB．根据数学知识可得即结合质点的初速度为v0=2m/s加速度为a=2.5m/s2选项A错误B正确；C．质点2s末的速度为选项C错误；D．该质点第3s内的位移为选项D正确。故选BD。13．甲、乙、丙、丁四个物体做直线运动的速度图像分别如图所示，以向东为正方向，由图看出下列判断正确的是（）

A．甲做往返运动，10s末在出发点的东边B．乙做往返运动，10s末在出发点的西边C．丙做往返运动，10s末在出发点的东边D．丁做往返运动，10s末在出发点的西边【答案】CD【解析】A．v-t图像中速度正负代表方向，甲图中速度始终为正，则可知甲始终向东运动，故A错误；B．v-t图像中速度正负代表方向，与坐标轴围成的面积表示位移大小，则可知乙做往复运动，10s末位移为则10s末在出发点的东边2m处，故B错误；C．v-t图像中速度正负代表方向，与坐标轴围成的面积表示位移大小，则可知丙做往复运动，且由图可知前10s第一象限围成面积更大，则向东走过位移更大，可知10s末在出发点的东边，故C正确；D．v-t图像中速度正负代表方向，与坐标轴围成的面积表示位移大小，则可知丁做往复运动，且由图可知前10s第四象限围成面积更大，则向西走过位移更大，可知10s末在出发点的西边，故D正确。故选CD。三、解答题14．甲、乙两辆电动遥控玩具赛车（可视为质点），在水平平行的两条相隔很近的直轨道上玩追逐游戏，某一时刻两车相距最近（可视为在同一位置），从该时刻开始，两车的图像如图所示，在图示的内，求：（1）两车再次相距最近所用的时间；（2）两车之间的最远距离。

【答案】（1）；（2）【解析】（1）在前内，甲车的位移为乙车的位移为即在前内两车位移相等，故两车再次相距最近所用的时间为。（2）由题图可知，前内，在第时两车间的距离最大，为从第末开始，两车的加速度分别为故甲车相对乙车做速度为的匀速直线运动，两车之间的距离逐渐增大。所以第末，两车相距最远，最远距离为15．如图所示，一长为200m的列车沿平直的轨道以80m/s的速度匀速行驶，当车头行驶到进站口O点时，列车接到停车指令，立即匀减速停车，因OA段铁轨不能停车，整个列车只能停在AB段内，已知，。求：（1）列车减速运动