专题15 二倍角、半角问题（解析版）

二倍角、半角问题一、知识导航既有构造相等角的，也有在这个问题上再进行加工的，比如，在坐标系中构造已知角的半角或二倍角，角可以单独出现，也可以存在于某个几何图形中，因此，构造半角、二倍角的方法也并不唯一，常用如下：思路1：构造半角三角函数．构造二倍角三角函数：思路2：等腰三角形外角：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和．二、典例精析例一、如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点且与x轴的负半轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD=2∠BAC时，求点D的坐标．【分析】（1）抛物线：；（2）思路：转化为等角本题中的∠BAC和∠ABD是内错角，若是构造∠ABD=∠BAC，作平行线即可．两倍角亦可以作平行构造出，过B作x轴的平行线，作BA关于平行线对称的直线，与抛物线交点即为D点．考虑到，故，可得直线BD解析式为：，与抛物线联立方程：，解得：，，故D点坐标为（2，3）．

例二、如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．问题：当t=1时，抛物线经过P、Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．【分析】思路：三角函数构造相等角t=1时，P点坐标为（1，0），Q点坐标为（3，2），代入抛物线解析式，可求得抛物线：，故顶点K的坐标为．考虑要构造，过点K作KH⊥MQ交MQ于H点，则．根据图形可求得，故若，则，故，分别解得直线DQ解析式为或，与抛物线联立方程：，解得：，，则对应D点坐标为；，解得：，，则对应D点坐标为．综上所述，D点坐标为或．三、中考真题演练1．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点O，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．以为邻边的平行四边形的边与交于点E．设运动时间为，解答下列问题：

(1)当点M在上时，求t的值；(2)连接．设的面积为，求S与t的函数关系式和S的最大值；(3)是否存在某一时刻t，使点B在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）证明，则，即可求解；（2）由即可求解；（3）当点在的平分线上时，则，在中，，即可求解．【详解】（1）∵平行四边形，∴，，，由题意得∶，，如下图，点在上时，

∵，，，∴，∴，则即解得：（2）如上图，∵，∴，∵四边形是菱形，则，∴，∴为等腰三角形，则过点作于点，则即解得∶，则，设中边上的高为，则即：，故有最大值，当时，的最大值为；（3）存在，理由∶如下图，过点作于点，

当点在的平分线上时，则，在中，，解得：2．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．

(1)求，的值；(2)如图①，是第二象限抛物线上的一个动点，连接，，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(3)如图②，在（2）的条件下，当时，连接交轴于点，点在轴负半轴上，连接，点在上，连接，点在线段上（点不与点重合），过点作的垂线与过点且平行于的直线交于点，为的延长线上一点，连接，，使，是轴上一点，且在点的右侧，，过点作，交的延长线于点，点在上，连接，使，若，求直线的解析式．【详解】（1）点，在抛物线上，，解得：，，（2）由（1）知，抛物线的解析式是，是抛物线与轴的交点，时，，，，如下图，过点作轴，垂足为，

是第二象限抛物线上一点，点的横坐标为，，（3）如下图，以为一边作，的另一边交的延长线于点；作，垂足为；作，垂足为；作轴，垂足为，

，由（2）知，，，，，，，，即，，，，，，，，，又，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，，，，，轴，，，，，，，，，，，，，设，则，，，，，，，又点在轴负半轴上，，设直线的解析式为，把，代入，得：，解得：，直线的解析式为3．（2023·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点．(1)请直接写出，的值；(2)直线交轴于点，点是二次函数图像上位于直线下方的动点，过点作直线的垂线，垂足为．①求的最大值；②若中有一个内角是的两倍，求点的横坐标．【答案】(1)，(2)①；②2或【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）①过点作轴平行线分别交、于、．令，求得，勾股定理求得，得出，则，进而可得，求得直线的解析式为，设，则，进而表示出，最后根据二次函数的性质即可求解．②根据已知，令，，在上取点，使得，得出，然后根据，设，．进而分两种情况讨论，ⅰ当时，，则相似比为，得出代入抛物线解析式，即可求解；ⅱ当时，，同理可得，代入抛物线解析式即可求解．【详解】（1）∵二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点∴解得：∴，，；（2）①如图1，过点作轴平行线分别交、于、．∵，当时，，∴，∴，，∴，∴．∵，，∴，∴，∴，∴．∵设直线的解析式为∴解得：直线解析式为．设，，，当时，取得最大值为，的最大值为．②如图2，已知，令，则，在上取点，使得，∴，设，则，则，解得，∴，即．如图3构造，且轴，相似比为，又∵，设，则．分类讨论：ⅰ当时，则，∴与的相似比为，∴，，∴，代入抛物线求得，（舍）．∴点横坐标为．ⅱ当时，则，∴相似比为，∴，，∴，代入抛物线求得，（舍）．∴点横坐标为．综上所示，点的横坐标为2或．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数解析式，线段长的最值问题，相似三角形的性质与判定，正切的定义．利用分类讨论的思想并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．4．（2023·湖北黄冈·中考真题）已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，点P为第一象限抛物线上的点，连接．

(1)直接写出结果；_____，_____，点A的坐标为_____，______；(2)如图1，当时，求点P的坐标；【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可求得、，从而可得，，由，可得，求得，在中，根据正切的定义求值即可；（2）过点C作轴，交于点D，过点P作轴，交y轴于点E，由，即，再由，可得，证明，可得，设点P坐标为，可得，再进行求解即可；【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，∴，解得：，∴抛物线解析式为：，∵抛物线与x轴交于A、两点，∴时，，解得：，，∴，∴，，在中，，故答案为：，2，，；（2）解：过点C作轴，交于点D，过点P作轴，交y轴于点E，∵，，，∴，由（1）可得，，即，∴，∵，∴，∵轴，轴，∴，，∴，又∵，∴，∴，设点P坐标为，则，，∴，解得：（舍），，∴点P坐标为．

5．（2022·湖北武汉·模拟预测）抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴的正半轴交于C点，的面积为6．

(1)直接写出点A、B的坐标为、；抛物线的解析式为(3)如图2，平行于的直线交抛物线于M、N两点，在抛物线上存在点P，当PQ⊥y轴时，恰好平分，求P点坐标．【答案】(1)，；．(3)【分析】（1）令，可求出的值，进而可得出，的坐标；令，可求出的值，可得出点的坐标，得出线段的长，利用三角形的面积公式可得出的值；（3）过点作于，过点作于，根据，，可得，设出、、三点的坐标（只设横坐标，纵坐标用横坐标表示），分别用横坐标之差、纵坐标之差表示出两个相似三角形的直角边，列出比例等式；设出的解析式，与抛物线方程联立，得出两根之和的关系式，结合前面的比例等式解出点的横坐标，进而算出纵坐标．【详解】（1）令，即，解得或，，；令，则，，即，，解得，函数解析式为：．故答案为：，；．（3）如图，过点作于，过点作于，设，，，，，，则：，，，，恰好平分，即，，，，，，，，，设直线的解析式为，令，由消去整理得：，由韦达定理可知：，，，．

【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式、抛物线的对称性、相似三角形的判定与性质、三角形面积计算、配方法求二次函数最值、角平分线的定义、韦达定理等众多知识点，综合性很强，难度较大．本题第（3）问使用代数手段解决几何问题，是几何与代数的巧妙结合，有很强的解析性质，是难点所在，熟练掌握这些技巧，对今后高中的数学学习有很大的帮助．6．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知直线经过定点M，以M为顶点的抛物线与x轴交于A，B两点（A左B右）．

(1)点M的坐标是，，（直接写出结果）；(2)如图1，若直线l与抛物线交于另一点C，且恰好平分，求k的值；【答案】(1)；2；3(2)【分析】（1）根据直线的解析式的变形列出关于x，y的方程组进而解得即可得出M的坐标，再根据二次函数的顶点式即可解得b，c的值；（2）过点M作x轴的平行线，交的延长线于点D，得出，通过平分，得出，进而得出，联立，可得或，写出直线的解析式得出，的长度，即可得出k的值；【详解】（1）解：，，，解得：，，以M为顶点的抛物线与x轴交于A，B两点（A左B右），，解得：故，，；（2）解：过点M作x轴的平行线，交的延长线于点D，则，平分，，．联立，解得或，，直线的解析式为，，，，，，，，，；

7．（2022·广东汕头·二模）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，连接，．(1)求抛物线的解析式；(3)点M在抛物线上，当时，求点M的横坐标．【答案】(1)(3)或【分析】（1）将、代入，列方程组并且解该方程组求出、的值，即可得到抛物线的解析式为；（3）取点中，连接，则，，可证明，得，再证明，则，即可证明，再分两种情况讨论，一是点在轴的上方，则，可求得直线的解析式为，进而求得直线的解析式为，将其与抛物线的解析式联立方程组，即可求出此时点的横坐标；二是点在轴的下方，可求得直线的解析式为，将其与抛物线的解析式联立方程组，即可求出此时点的横坐标．【详解】（1）抛物线经过点和点，，解得，抛物线的解析式为．（3）如图2，取点中，连接，则，，，，，，，，，，当点在轴的上方，设交轴于点，，，∴，设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为，设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为，由，得，解得，（不符合题意，舍去），点的横坐标为；当点在轴的下方，设交轴于点，直线，当时，，，，，，，，，设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为，由，得，解得，（不符合题意，舍去），点的横坐标为，综上所述，点的横坐标为或．【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．8．（2022·四川绵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴负半轴交于点，连接，且．(1)求抛物线解析式．(2)点是抛物线上的一点．②当时，求点的坐标．【答案】(1)(2)②或【分析】（1）先根据直线的解析式求出点和的坐标，再利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）②过点作平分，交拋物线于点，过点作轴，交于点，可得到，利用勾股定理和等腰三角形的性质得到，可确定点G的坐标，进而求出直线BG与抛物线的交点坐标，便可得出其中一个满足条件的点坐标；利用翻折，设与轴的交点为点，关于轴的对称点为，进而求得直线BN与抛物线的交点坐标，便可得出另一个满足条件的点坐标．【详解】（1）解：∵直线与轴，轴分别交于、两点，当时，，∴，，当时，得，解得：，∴，，∵，设，，∵，∴，解得：，（舍去），∴，∴，∵抛物线经过、两点，与轴负半轴交于点，∴，解得：．∴拋物线的解析式为．（2）②如图，过点作平分，交拋物线于点，∴，∴，过点作轴，交于点，∴，∴，∵，，∴，∴，∴点G的坐标为，又∵，设直线BG的解析式为，∴，∴直线BG的解析式为，由，解得：，，∴；将直线沿轴翻折，交拋物线于点，∴，设与轴的交点为点，关于轴的对称点为，∵直线BG的解析式为，当时，，∴，∴，∴设直线BN的解析式为，∴∴，由，解得：，，∴．综上所述，当时，点坐标为或．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，三角函数的应用，角平分线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，根据解析式表示点的坐标，再由点的坐标表示线段的长，利用等量关系列方程或方程组求解，利用方程组确定两个函数图像的交点．分类讨论的应用是解题的关键．9．（2020